导数的几何意义
课前预习学案
预习目标：导数的几何意义是什么？
（预习教材P78~ P80，找出疑惑之处）
复习1：曲线上向上的连线称为曲线的割线，斜率
复习2：设函数在附近有定义当自变量在附近改变时，函数值也相应地改变 ，如果当 时，平均变化率趋近于一个常数，则数称为函数在点的瞬时变化率.
记作：当 时，
上课学案
学习目标：
通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，知道导数的概念并会运用概念求导数.
学习重难点： 导数的几何意义
学习过程：
学习探究
探究任务：导数的几何意义
问题1：当点，沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋是什么？
新知：当割线P无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线C在点P 处的切线
割线的斜率是：
当点无限趋近于点P时，无限趋近于切线PT的斜率. 因此，函数在处的导数就是切线PT的斜率，即
新知：
函数在处的导数的几何意义是曲线在处切线的斜率.
即=
典型例题
例1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图象.根据图象,请描述、比较曲线在附近的变化情况.
例2 如图,它表示人体血管中药物浓度(单位:)随时间(单位:min)变化的函数图象.根据图象,估计=0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)
有效训练
练1. 求双曲线在点处的切线的斜率,并写出切线方程.
练2. 求在点处的导数.
反思总结
函数在处的导数的几何意义是曲线在处切线的斜率.
即=
其切线方程为
当堂检测
1. 已知曲线上一点,则点处的切线斜率为（ ）
A. 4 B. 16 C. 8 D. 2
2. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3. 在可导，则（ ）
A．与、都有关 B．仅与有关而与无关
C．仅与有关而与无关 D．与、都无关
4. 若函数在处的导数存在，则它所对应的曲线在点的切线方程为
5. 已知函数在处的导数为11，则
=
课后练习与提高
如图,试描述函数在=附近的变化情况.
2．已知函数的图象,试画出其导函数图象的大致形状.
学校： 一中 学科：数学 编写人：由召栋 审稿人：张林
3.1.3导数的几何意义教案
教学目标：通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，知道导数的概念并会运用概念求导数.
教学重难点：函数切线的概念，切线的斜率，导数的几何意义
教学过程：
情景导入：如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的倾斜角.
展示目标：见学案
检查预习：见学案
合作探究：探究任务：导数的几何意义
问题1：当点，沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋是什么？
新知：当割线P无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线C在点P 处的切线
割线的斜率是：
当点无限趋近于点P时，无限趋近于切线PT的斜率. 因此，函数在处的导数就是切线PT的斜率，即
新知：
函数在处的导数的几何意义是曲线在处切线的斜率.
即=
精讲精练：
例1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图象.根据图象,请描述、比较曲线在附近的变化情况.
解:可用曲线 h(t) 在 t0 , t1 , t2 处的切线刻画曲线 h(t) 在上述三个时刻附近的变化情况.
当 t = t0 时, 曲线 h(t) 在 t0 处的切线 l0 平行于 x 轴.故在 t = t0 附近曲线比较平坦, 几乎没有升降. (2)当 t = t1 时, 曲线 h(t) 在 t1 处的切线 l1 的斜率 h’(t1) <0 .故在t = t1 附近曲线下降,即函数 h(t) 在 t = t1 附近单调递减. (3)当 t = t2 时, 曲线 h(t) 在 t2处的切线 l2 的斜率 h’(t2) <0 .故在 t = t2 附近曲线下降,即函数 h(t) 在t = t2 附近也单调递减. 从图可以看出，直线 l1 的倾斜程度小于直线 l2 的倾斜程度，这说明 h(t) 曲线在 l1 附近比在 l2 附近下降得缓慢。
例2 如图,它表示人体血管中药物浓度(单位:)随时间(单位:min)变化的函数图象.根据图象,估计=0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)
有效训练
练1. 求双曲线在点处的切线的斜率,并写出切线方程.
练2. 求在点处的导数.
反思总结
函数在处的导数的几何意义是曲线在处切线的斜率.
即=
当堂检测
1. 已知曲线上一点,则点处的切线斜率为（ ）
A. 4 B. 16 C. 8 D. 2
2. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3. 在可导，则（ ）
A．与、都有关 B．仅与有关而与无关
C．仅与有关而与无关 D．与、都无关
4. 若函数在处的导数存在，则它所对应的曲线在点的切线方程为
5. 已知函数在处的导数为11，则
=
其切线方程为
板书设计;略
作业布置：略
舜耕中学高一数学选修1—1教案
周次
上课时间
月 日
周
课型
新授课
主备人
胡安涛
使用人[来源:Zxxk.Com][来源:学。科。网]
课题
3.1. 3 导数的几何意义
教学目标
1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;2.理解曲线的切线的概念;
3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题.[来源:Zxxk.Com]
教学重点
曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义.
教学难点
导数的几何意义.
课前准备
多媒体课件
一。【复习回顾】
二。【创设情境】
（一）.平均变化率、割线的斜率
（二）。瞬时速度、导数
我们知道,导数表示函数在处的瞬时变化率,反映了函数在附近的变化情况,导数的几何意义是什么呢？
三、【新课讲授】
1.曲线的切线及切线的斜率
如图3.1-2,当沿着曲线趋近于点时,割线的变化趋势是什么？
我们发现,当点沿着曲线无限接近点即时,割线趋近于确定的位置,
这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.
问题: (1)割线的斜率与切线的斜率有什么关系？
(2)切线的斜率为多少？
容易知道,割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点时,
无限趋近于切线的斜率,即
说明: (1)设切线的倾斜角为,
那么当时,割线的斜率,称为曲线在点处的切线的斜率.
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
②切线斜率的本质—函数在处的导数.
(2)曲线在某点处的切线:
1)与该点的位置有关;
2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;
如不存在,则在此点处无切线;
3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.
2.导数的几何意义
函数在处的导数等于在该点处的切线的斜率,
即
说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出点的坐标;
②求出函数在点处的变化率得到曲线在点
的切线的斜率;
③利用点斜式求切线方程.
3.导函数
由函数在处求导数的过程可以看到,当时,是一个
确定的数,那么,当变化时,便是的一个函数,我们叫它为的导函数.
记作:或,即.
注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.
4.函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系
(1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的
极限,它是一个常数,不是变数.
(2)函数的导数,是指某一区间内任意点而言的,就是函数的导函数.
(3)函数在点处的导数就是导函数在处的函数值,这也是
求函数在点处的导数的方法之一.
[来源:学。科。网]
四。【例题精析】
例1 (1)求曲线在点处的切线方程.
(2)求函数在点处的导数.
解: (1)
所以,所求切线的斜率为
因此,所求的切线方程为即
(2)因为
所以,所求切线的斜率为,
因此,所求的切线方程为即
例2 如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数,
根据图像,请描述、比较曲线在、、附近的变化情况.
解: 我们用曲线在、、处的切线,
刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况.
当时,曲线在处的切线平行于轴,
所以,在附近曲线比较平坦,几乎没有升降.
(2)当时,曲线在处的切线的斜率,
所以,在附近曲线下降,
即函数在附近单调递减.
(3)当时,曲线在处的切线的斜率,
所以,在附近曲线下降,
即函数在附近单调递减．
从图3.1-3可以看出,直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度,
这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢.
例3 如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度(单位:)随时间(单位:)
变化的图象.根据图像,估计时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到).
解: 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度在此时刻的导数,
从图像上看,它表示曲线在此点处的切线的斜率.
如图3.1-4,画出曲线上某点处的切线,利用网格估计这条切线的斜率,
可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.
作处的切线,并在切线上去两点,如,,
则它的斜率为,所以
下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:
0.2
0.4
0.6
0.8
药物浓度瞬时变化率
0.4
0
-0.7
-1.4
五。课堂练习
1.求曲线在点处的切线.
2.求曲线在点处的切线.
六。【课堂小结】
1.曲线的切线及切线的斜率.
2.导数的几何意义.
七。【书面作业】
[来源:学科网ZXXK]
八。【板书设计】
九。【教后记】
1.
2.
课件19张PPT。3.1.2《导数的几何意义》先来复习导数的概念 瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数. 如果函数y=f(x)在点x=x0存在导数,就说函数y=f(x)在点x0处可导,如果极限不存在,就说函数 f(x)在点x0处不可导. 由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.
自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择
哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.下面来看导数的几何意义: 如图,曲线C是函数y=f(x)
的图象,P(x0,y0)是曲线C上的
任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)
为P邻近一点,PQ为C的割线,
PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的
倾斜角.斜率!PQ割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况. 我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率. 这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.因此,切线方程为y-2=2(x-1),
即y=2x.求曲线在某点处的切线方程
的基本步骤:先利用切线斜率
的定义求出切线的斜率,然后
利用点斜式求切线方程.即点P处的切线的斜率等于4. (2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.在不致发生混淆时，导函数也简称导数．什么是导函数?由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f’(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:如何求函数y=f(x)的导数?看一个例子:下面把前面知识小结:a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数
学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物
理意义了解认识这一概念的实质，学会用事物在全 过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。 b.要切实掌握求导数的三个步骤：
（1）求函数的增 量；
（2）求平均变化率；
（3）取极限，得导数。小结:（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改
变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个
常数，不是变数。c.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”
之间的区别与联系。d.求切线方程的步骤：小结: 无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求 函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导 数概念。
作业:P87 A组 4,5,6.(其中6题作在书上)
第二教材 P72 4,5,6再见
