课件14张PPT。3.3.1《导数在研究 函数中的应用-单调性》1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法
教学重点：
利用导数判断函数单调性.教学目标 函数的单调性与导数在（－ ∞ ，0）和（0, ＋∞）上分别是减函数。
但在定义域上不是减函数。在（－ ∞ ，1）上是减函数，在（1, ＋∞）上是增函数。在(－ ∞,＋∞)上是增函数概念回顾画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间单调性的概念对于给定区间上的函数f(x):
1.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1
f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间。
y1.在x＝1的左边函数图像的单调性如何？新课引入首页2.在x＝1的左边函数图像上的各点切线的倾斜角为 (锐角/钝角)?他的斜率有什么特征？3.由导数的几何意义，你可以得到什么结论？4.在x＝1的右边时，同时回答上述问题。定理：
一般地，函数y＝f（x）在某个区间内可导：
如果恒有 f′(x)>0，则 f（x） 是增函数。
如果恒有 f′(x)<0，则f（x） 是减函数。
如果恒有 f′(x)=0，则f（x） 是常数。
例1.确定函数 在哪个区间是减函数？在哪个区间上是增函数？解: (1)求函数的定义域
函数f (x)的定义域是(－ ∞,＋∞)令2x－4>0,解得x>2
∴x∈(2,＋∞)时， 是增函数
令2x－4<0,解得x<2
∴x∈(-∞,2)时， 是减函数
确定函数 ，在哪个区间是增函数，那个区间是减函数。令6x2－12x>0,解得x>2或x<0
∴当x ∈(2,＋∞)时，f(x)是增函数；
当x ∈(－∞，0)时，f(x)也是增函数
令6x2－12x<0,解得,0∴当x ∈(0,2)时，f(x)是减函数。首页定理：
一般地，函数y＝f（x）在某个区间内可导：
如果恒有 ，则 f(x)在是增函数。
如果恒有 ，则 f(x)是减函数。
如果恒有 ，则 f(x)是常数。
知识点：步骤：
（1）求函数的定义域
（2）求函数的导数
（3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,求自变量x的取值范围，即函数的单调区间。f’(x)>0f’(x)<0f’(x)＝0(1)f(x)=x3+3x;
(2)f(x)=sinx-x,x∈(0,π);
(3)f(x)=2x3+3x2-24x+1;
(4)f(x)=ex-x;
练习:判断下列函数的单调性作业布置：书本P107 A 1.（1）（2）,2.（2）(4).
第二教材 A
3. 3.1函数的单调性与导数
课前预习学案
一、预习目标
了解并掌握函数单调性的定义以及导数与函数单调性的关系，会利用导数求函数的单调区间，会利用导数画出函数的大致图象
二、预习内容
怎样判断函数的单调性？1、__________2、___________
例如判断函数y=x2的单调性：
想一想：怎样判断函数y=x3-3x的单调性呢？
函数单调性与导数的关系：
函数及图象
单调性
导数的正负
在上递减
在上递增
在(a,b)上递增
在(a,b)上递减
结论：对于函数f(x)，在某个区间（a，b）内，
__________________________________________
___________________________________________
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
1.了解并掌握函数单调性的定义以及导数与函数单调性的关系
2.会利用导数求函数的单调区间，会利用导数画出函数的大致图象
学习重难点：导数与函数单调性的关系。
二、学习过程
(一)知识回顾：
怎样判断函数的单调性？1、__________2、___________
例如判断函数y=x2的单调性：
想一想：怎样判断函数y=x3-3x的单调性呢？
函数单调性与导数的关系：
函数及图像
单调性
导数的正负
在上递减
在上递增
在(a,b)上递增
在(a,b)上递减
结论：对于函数f(x)，在某个区间（a，b）内，
__________________________________________
___________________________________________
（二）探究一：讨论函数单调性，求函数单调区间：
1、(选填:“增” ,“减” ,“既不是增函数,也不是减函数”)
(1) 函数y=x－3在[－3，5]上为__________函数。
(2) 函数 y = x2－3x 在[2，+∞)上为___________函数，
在(－∞,1]上为_____________函数，在[1,2]上为___________函数。
2、求函数y = x2－3x的单调区间。
探究二：变式1：求函数y =3 x3－3x2的单调区间。
变式2：求函数y=3ex-3x的单调区间。
变式3：求函数的单调区间。
（三）反思总结
请同学们归纳利用导数求函数单调区间的步骤：
能力提高：
已知函数，试讨论此函数的单调区间：
(四)当堂检测
1、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( )
(A) (-1,1) (B) (1,2)
(C) (-∞,-1) (D) (-∞,-1) ，(1, +∞)
2、若函数y=a(x3-x)的递减区间为，
则a的取值范围为( )
(A) a>0 (B) –11 (D) 03、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是( )
(A)单调递增函数 (B)单调递减函数
(C)部份单调增，部分单调减 (D)单调性不能确定
4确定函数大致图像：
已知函数f(x)的导函数的下列信息，试画出函数f(x)的大致形状。
(1)当2(2)当x>3或x<2时，>0；
(3)当x=3或x=2时，=0；
课后练习与提高
1、以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
2、函数y=x2（x－3）的增区间是________________________
3、函数f（x）=ax2－b在（－∞，0）内是减函数，则a、b应满足的关系式为________________
说一说，这节课你学到了什么？
学校： 一中 学科：数学 编写人：张艳敏 审稿人：张林
§3.3.1函数的单调性与导数
一、教学目标
知识与技能：了解可导函数的单调性与其导数的关系 ； 能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。
过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；
情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点难点
教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过4次的多项式函数的单调区间
教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过4次的多项式函数的单调区间
三、教学过程：
函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．我们以导数为工具，对研究函数的增减及极值和最值带来很大方便．
四、学情分析
我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。需要教师指导并借助动画给予直观的认识。
五、教学方法
发现式、启发式
新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习
六、课前准备
1．学生的学习准备：
2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时
八、教学过程
(一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
提问
1．判断函数的单调性有哪些方法？
（引导学生回答“定义法”，“图象法”。）
2．比如，要判断 y=x2 的单调性，如
何进行？（引导学生回顾分别用定义法、图象法完成。）
3．还有没有其它方法？如果遇到函数：
y=x3－3x判断单调性呢？（让学生短时
间内尝试完成，结果发现：用“定义法”，
作差后判断差的符号麻烦；用“图象法”,图象很难画出来。）
4．有没有捷径？（学生疑惑,由此引出课题）这就要用到咱们今天要学的导数法。
以问题形式复习相关的旧知识，同时引出新问题：三次函数判断单调性，定义法、图象法很不方便，有没有捷径？通过创设问题情境，使学生产生强烈的问题意识，积极主动地参与到学习中来。
（二）情景导入、展示目标。
设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。
（探索函数的单调性和导数的关系） 问：函数的单调性和导数有何关系呢？
教师仍以y=x2为例，借助几何画板动态演示，让学生记录结果在课前发的表格第二行中：
函数及图象 单调性 切线斜率k的正负 导数的正负
问：有何发现？（学生回答）
问：这个结果是否具有一般性呢？
（三）合作探究、精讲点拨。
我们来考察两个一般性的例子：
（教师指导学生动手实验：把准备的牙签放在表中曲线y=f(x)的图象上，作为曲线的切线，移动切线并记录结果在上表第三、四行中。）
问：能否得出什么规律？
让学生归纳总结，教师简单板书：
在某个区间(a，b)内，
若f ' (x)>0，则f(x)在(a，b)上是增函数；
若f ' (x)<0，则在f(x)(a，b)上是减函数。
教师说明：
要正确理解“某个区间”的含义，它必需是定义域内的某个区间。
1．这一部分是后面利用导数求函数单调区间的理论依据，重要性不言而喻，而学生又只学习了导数的意义和一些基本运算，要想得到严格的证明是不现实的，因此，只要求学生能借助几何直观得出结论，这与新课标中的要求是相吻合的。
2．教师对具体例子进行动态演示，学生对一般情况进行实验验证。由观察、猜想到归纳、总结，让学生体验知识的发现、发生过程，变灌注知识为学生主动获取知识，从而使之成为课堂教学活动的主体。
3．得出结论后，教师强调正确理解“某个区间”的含义，它必需是定义域内的某个区间。这一点将在例1的变式3具体体现。
4．考虑到本节课堂容量较大，这里没有提到函数在个别点处导数为零不影响单调性的情况（如y=x3在x=0处），这一问题将在后续课程中给学生补充。
应用导数求函数的单调区间
例1．求函数y=x2－3x的单调区间。
（引导学生得出解题思路：求导 →
令f ' (x)>0，得函数单调递增区间，令f ' (x)<0，得函数单调递减区间 → 下结论）
变式1：求函数y=3x3－3x2的单调区间。
（竞赛活动：将全班同学分成两大组指定分别用单调性的定义，和用求导数的方法解答，每组各推荐一位同学的答案进行投影。）
求单调区间是导数的一个重要应用，也是本节重点，为此，设计了例1及三个变式：
设计例1可引导学生得出用导数法求单调区间的解题步骤
设计变式1及竞赛活动可以激发学生的学习热情，让他们学会比较,并深刻体验导数法的优越性。
巩固提高
变式2：求函数y=3e x －3x单调区间。
（学生上黑板解答）
变式3：求函数 的单调区间。
设计变式2且让学生上黑板解答可以规范解题格式，同时使学生了解用导数法可以求更复杂的函数的单调区间。
设计变式3是可使学生体会考虑定义域的必要性
例1及三个变式，依次涉及二次，三次函数，含指数的函数、反比例函数，这样一题多变，逐步深化，从而让学生领会：如何应用及哪类单调性问题该应用“导数法”解决。
多媒体展示探究思考题。
在学生分组实验的过程中教师巡回观察指导。 (课堂实录) ，
（四）反思总结，当堂检测。
教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。
设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（课堂实录）
（五）发导学案、布置预习。
设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。
九、板书设计
例1．求函数y=3x2－3x的单调区间。
变式1：求函数y=3x3－3x2的单调区间。
变式2：求函数y=3e x －3x单调区间。
变式3：求函数 的单调区间。
十、教学反思
本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。
在后面的教学过程中会继续研究本节课，争取设计的更科学，更有利于学生的学习，也希望大家提出宝贵意见，共同完善，共同进步!
十一、学案设计(见下页)
课件55张PPT。§3.3 导数在研究函数中的应用
3.3.1 函数的单调性与导数舜耕中学高一数学选修1—1导学案(教师版) 编号20 等级：
周次
上课时间
月 日
周
课型
新授课[来源:学科网]
主备人
胡安涛
使用人
课题
3.3.1函数的单调性与导数
教学目标
1.会熟练用求导，求函数单调区间，证明单调性。2.会从导数的角度解释增减及增减快慢的情况
教学重点
会熟练用求导，求函数单调区间，会从导数的角度解释增减及增减快慢的情况
教学难点
证明单调性
课前准备
多媒体课件
一。【复习回顾】
（1）常函数：(C为常数)；
（2）幂函数 ：()
（3）三角函数 ： [来源:Z#xx#k.Com]
（4）对数函数的导数:
（5）指数函数的导数:
二。【创设情境】
下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数 的图象,
图(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 的图象.[来源:学§科§网Z§X§X§K]
运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?
①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t 的增加而增加,即h(t)是增函数.
相应地,
②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.
相应地,
观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系. 见课本P90图
结论：一般地，函数的单调性与其导数的正负有如下关系
在某个区间(a,b)内,如果 ,那么函数在这个区间内单调递增; 如果,
那么函数在这个区间内单调递减. 如果恒有，则是常数。
三. 【例题精讲】
例1 已知导函数 的下列信息:
当1 < x < 4 时,
当 x > 4 , 或 x < 1时,
当 x = 4 , 或 x = 1时,
试画出函数的图象的大致形状.
例2判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
练习：判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,
请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.
一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时,
函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.
如图,函数 在 或 内的图象“陡峭”,在 或 内的图象平缓.
四。【课堂小结】
1、求可导函数f(x)单调区间的步骤：
(1)求f’(x)
(2)解不等式f’(x)>0(或f’(x)<0)
(3)确认并指出递增区间（或递减区间）
2、证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法：
(1)求f’(x)[来源:Z,xx,k.Com]
(2)确认f’(x)在(a,b)内的符号
(3)作出结论
五。【书面作业】
[来源:学*科*网]
六。【板书设计】
七。【教后记】
1.
2.
课件28张PPT。1.求过曲线y=x3-2x上的点(1,-1)的切线方程求过某点的曲线的切线方程时，除了要判断该点是否
在曲线上，还要分“该点是切点”和“该点不是切点”两种
情况进行讨论。若M(x0,y0)为曲线y=f(x)上一点，则以M为切点的曲线的切线方程可设为y-y0=f’(x0)(x-x0)若设M(x0,y0)为曲线y=f(x)外一点，则过M点的曲线的切线方程可设为y-y0=f’(x1)(x-x0), 其中x1为切点横坐标,怎么求?3.3.1 函数的单调性与导数（4）.对数函数的导数:（5）.指数函数的导数: （3）.三角函数 ： （1）.常函数：(C)/ ? 0, (c为常数)； （2）.幂函数 ： (xn)/ ? nxn?1
一复习回顾：1.基本初等函数的导数公式函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时函数单调性判定单调函数的图象特征1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是增函数；2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是减函数；若 f(x) 在G上是增函数或减函数，增函数减函数则 f(x) 在G上具有严格的单调性。G 称为单调区间G = ( a , b )二、复习引入:(1)函数的单调性也叫函数的增减性； (2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概
念。这个区间是定义域的子集。(3)单调区间：针对自变量x而言的。
若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间；
若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。 以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1 察: 下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数 的图象, 图(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 的图象.
运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?aabbttvhOO(1)(2)xyOxyOxyOxyOy = xy = x2y = x3 观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系. 在某个区间(a,b)内,如果 ,那么函数
在这个区间内单调递增; 如果 ,那么函数 在这个区间内单调递减.题1 已知导函数 的下列信息:当1 < x < 4 时,当 x > 4 , 或 x < 1时,当 x = 4 , 或 x = 1时,试画出函数 的图象的大致形状.解: 题2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:解:(1) 因为 , 所以因此, 函数 在 上单调递增.(2) 因为 , 所以当 , 即 时, 函数 单调递增;当 , 即 时, 函数 单调递减.题2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:解:(3) 因为 , 所以因此, 函数 在 上单调递减.(4) 因为 , 所以 当 , 即 时, 函数 单调递增; 当 , 即 时, 函数 单调递减. 题3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO 一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.求可导函数f(x)单调区间的步骤：
(1)求f’(x)
(2)解不等式f’(x)>0(或f’(x)<0)
(3)确认并指出递增区间（或递减区间）证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的
方法：
(1)求f’(x)
(2)确认f’(x)在(a,b)内的符号
(3)作出结论练习1.判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:练习2.函数 的图象如图所示, 试画出导函数 图象的大致形状练习3.讨论二次函数 的单调区间.解: 练习4.求证: 函数 在 内是减函数.解: 一、求参数的取值范围增例2：求参数解：由已知得因为函数在（0，1]上单调递增增例2：增例2：本题用到一个重要的转化：
作业：
已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围。