3.
3.2函数的极值与导数
课前预习学案
一、预习目标
了解并掌握函数极值的定义以及导数与函数极值的关系，会利用导数求函数的极值
二、预习内容
已知函数
f(x)=
(1)求f(x)的单调区间,并画出其图象;
(2)函数f(x)在x=-1和x=1处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系?导数为多少？
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
1.了解并掌握函数极值的定义以及导数与函数极值的关系
2.会利用导数求函数的极值
学习重难点：导数与函数极值的关系。
二、学习过程
(一)知识回顾：
1、已知函数
f(x)=
(1)求f(x)的单调区间,并画出其图象;
(2)函数f(x)在x=-1和x=1处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系?导数为多少？
2、观察图像，哪些是极大值?
哪些是极大值点?
哪些是极小值?
哪些是极小值点?
概念：什么是极大值?
什么是极大值点?什么是极小值?
什么是极小值点?什么是极值
极大值:
极大值点:
极小值:
极小值点：
极值：
思考与总结:1.极值是最大值或最小值吗？
2.函数的极值是不是唯一的？
3.极大值一定比极小值大吗？举例说明.
4.点是极值点是在该
点的导数为0的什么条件？举例说明
5.判别f(x0)是极大、极小值的方法是怎样的？
6、函数的极值点能否出现在区间的内部,区间的端点能否成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点能在区间的内部,也可能在区间的端点吗.
（二）探究一、例1．（课本例4）求的极值
探究二、例2求y=(x2－1)3+1的极值
探究三、例3
设，在和处有极值，且=－1,求，，的值，并求出相应的值。
（三）反思总结
请同学们归纳利用导数求函数极值的步骤：
(四)当堂检测
1、
已知函数，
（1）求函数的的极值并画出函数的大致图像，
（2）求函数在区间[-3，4]上的最大值和最小值。
2、
求f（x）＝x3－3
x2－9
x
＋5在[－4，4]上的最大值和最小值.
课后练习与提高
1、下列说法正确的是(
)
A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大
B.函数在闭区间上的最大值一定是极大值
C.对于f(x)=x3+px2+2x+1，若|p|＜，则f(x)无极值
D.函数f(x)在区间(a，b)上一定存在最值
2、函数y=1
+3x－x3有(
)
A.极小值－1，极大值1
B.极小值－2，极大值3
C.极小值－2，极大值2
D
极小值－1，极大值3
3求函数y=x3－27x的极值
说一说，这节课你学到了什么？
§3.3.2函数的极值与导数
一、教学目标
知识与技能：理解极大值、极小值的概念；
能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；
掌握求可导函数的极值的步骤；
过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；
情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点难点
教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.
教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.
三、教学过程：
函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．我们以导数为工具，对研究函数的增减及极值和最值带来很大方便．
四、学情分析
我们的学生属于平行分班，学生已有的知识和实验水平有差距。需要教师指导并借助动画给予直观的认识。
五、教学方法
发现式、启发式
新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习
六、课前准备
1．学生的学习准备：
2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时
八、教学过程
(一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
提问
（二）情景导入、展示目标。
设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。
1、有关概念
(1).极大值：
一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点
(2).极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点
(3).极大值与极小值统称为极值
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：
（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是大或小；并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
（ⅱ）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个
（ⅲ）极大值与极小值之间
无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如上图所示，是极大值点，是极小值点，而>
（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
2.
判别f(x0)是极大、极小值的方法:
若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值
3.
求可导函数f(x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)
(2)求方程f′(x)=0的驻点（一阶导数为0的x的值）
(3)检查
f′(x)=0的驻点左右的符号；如果左正右负，那么f(x)在这个驻点处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个驻点处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个驻点处无极值
（三）合作探究、精讲点拨。
例1．（课本例4）求的极值
解：
因为，所以。
令，得
下面分两种情况讨论：
（1）当>0,即，或时；（2）当<0,即时.
当x变化时，
，的变化情况如下表：
—2
(-2,2)
2
+
0
－
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
因此，=；
=。
函数的图像如图所示。
例2求y=(x2－1)3+1的极值
解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2,
令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1
当x变化时，y′，y的变化情况如下表
-1
(-1,0)
0
(0,1)
1
－
0
－
0
+
0
+
↘
无极值
↘
极小值0
↗
无极值
↗
∴当x=0时，y有极小值且y极小值=0
例3
设，在和处有极值，且=－1,求，，的值，并求出相应的值。
解：，∵是函数的极值点，则－1,1是方程的根，即有?，又，则有，由上述三个方程可知，，，此时，函数的表达式为，∴，令，得，当变化时，，的变化情况表：
-1
(-1,1)
1
+
0
－
0
+
↗
极大值1
↘
极小值－1
↗
由上表可知，
，
（学生上黑板解答）
多媒体展示探究思考题。
在学生分组实验的过程中教师巡回观察指导。
(课堂实录)
（四）反思总结，当堂检测。
教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。
设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（课堂实录）
（五）发导学案、布置预习。
设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。
九、板书设计
极大值:
极大值点:
极小值:
极小值点：
极值：
十、教学反思
本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。
在后面的教学过程中会继续研究本节课，争取设计的更科学，更有利于学生的学习，也希望大家提出宝贵意见，共同完善，共同进步!
十一、学案设计(见下页)
PAGE
7舜耕中学高一数学选修1—1导学案(教师版)
编号21
等级：
周次
上课时间
月
日周
课型
新授课[]
主备人
胡安涛
使用人
课题
3.3.2函数的极值与导数
教学目标
1.理解函数的极大值、极小值、极值点的意义；2.掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用.
教学重点
求函数的极值
教学难点
严格套用求极值的步骤
课前准备
多媒体课件
一．【复习回顾】
二．【新知探究】
函数的极值与导数的关系
1、观察下图中的曲线
a点的函数值f(a)比它临近点的函数值都大．b点的函数值f(b)比它临近点的函数值都小．
[]
2、观察函数
f(x)＝2x3－6x2＋7的图象，
思考：函数y＝f(x)在点x＝0，x＝2处的函数值，与它们附近所有各点
处的函数值，比较有什么特点?
（1）函数在x＝0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，
我们说
f(0)
是函数的一个极大值；
（2）函数在x＝2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，
则f(2)是函数的一个极小值．
函数y＝2x3－6x2＋7
的一个极大值:
f
(0)；
一个极小值:
f
(2)．
函数y＝2x3－6x2＋7
的
一个极大值点:
(
0，
f
(0)
)；
一个极小值点:
(
2，f
(2)
)．
3、极值的概念：
一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜
f(x0)
我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有的点，
都有f(x)＞f(x0)，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．
极大值与极小值统称为极值．
4、观察下图中的曲线
考察上图中，曲线在极值点处附近切线的斜率情况．
[]
[]
上图中，曲线在极值点处切线的斜率为0，
极大值点左侧导数为正，右侧为负；极小值点左侧导数为负，右侧为正．
函数的极值点xi是区间[a,
b]内部的点，区间的端点不能成为极值点．
函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值．
函数在[a,
b]上有极值，其极值点的分布是有规律的，像相邻两个极大值间必有一个极小值点．
5、利用导数判别函数的极大（小）值：
一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，判别f(x0)是极大（小）值的
方法是：
⑴如果在x0附近的左侧f
'(x)＞0，右侧f
'(x)＜0，那么，f(x0)是极大值；
⑵如果在x0附近的左侧f
'(x)＜0，右侧f
'(x)＞0，那么，f(x0)是极小值；
思考：导数为0的点是否一定是极值点？
导数为0的点不一定是极值点．
如函数f(x)＝x3，x＝0点处的导数是0，但它不是极值点．
三．【例题精析】
例1求函数
解：y＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．令
y＝0，解得
x1＝－2，x2＝2．
当x变化时，y，y的变化情况如下表．
因此，当x＝－2时，
y极大值＝
，当x＝2时，y极小值＝－．[]
求可导函数f
(x)的极值的步骤：
⑴
求导函数f
(x)；
⑵
求方程
f
(x)＝0的根；
⑶
检查f
(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f
(x)在这个根处取得极大值；
如果左负右正，那么f
(x)在这个根处取得极小值．
例2．求函数的极值
例3
求函数y＝(x2－1)3＋1的极值．
解：定义域为R，y＝6x(x2－1)2.由y＝0可得x1＝－1，x2＝0，x3＝1
当x变化时，y，y的变化情况如下表：
当x＝0时，y有极小值，并且y极小值＝0．
例4．的极值
思考:
导数值为0的点一定为极值点吗？极值点一定导数值为0吗？
练习：求函数的极值
四．【课堂小结】
1．考察函数的单调性的方法；2．导数与单调性的关系；3．用导数求单调区间的步骤.
五．【书面作业】
六．【板书设计】
七．【教后记】
1.
2.(共25张PPT)
3.3.2《导数在研究函数
中的应用-极值》
(1)知识目标：能探索并应用函数的极值与导数的关系求函数极值，能由导数信息判断函数极值的情况。
(2)能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识。
(3)情感目标：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的良好习惯。
教学重点：探索并应用函数极值与导数的关系求函数极值。
教学难点：利用导数信息判断函数极值的情况。
教学方法：发现式、启发式
教学目标
设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y`>0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y`<0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数.
判断函数单调性的常用方法：
（1）定义法
（2）导数法
y`>0
增函数
y`<0
减函数
用导数法确定函数的单调性时的步骤是：
(1)
求函数的定义域
（2）求出函数的导函数
（3）求解不等式f
`(x)>0，求得其解集，
再根据解集写出单调递增区间
求解不等式f``(x)<0，求得其解集，
再根据解集写出单调递减区间
注、单调区间不
以“并集”出现。
练习2、
确定y=2x3-6x2+7的单调区间
练习1、讨论f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的单调区间
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。
极大值与极小值统称为极值.
函数极值的定义——
如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f’(x)<0，在x0右侧附近f’(x)>0，那么是f(x0)函数f(x)的一个极小值.
导数的应用二、求函数的极值
如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0的
左侧附近f’(x)>0，在x0右侧附近f’(x)<0，
那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值
(1)???
求导函数f
`(x)；
(2)???
求解方程f
`(x)=0；
(3)???
检查f
`(x)在方程f
`(x)=0的根的左右
的符号，并根据符号确定极大值与极小值.
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。
用导数法求解函数极值的步骤：
例1
、求函数y=x3/3-4x+4极值.
练:(1)y=x2-7x+6
(2)y=-2x2+5x
(3)y=x3-27x
(4)y=3x2-x3
表格法
注、极值点是导数值为0的点
导数的应用之三、求函数最值.
在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的最值问题.
(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值
求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：
(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)
表格法
一是利用函数性质
二是利用不等式
三是利用导数
注：
求函数最值的一般方法：
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内
的最大值和最小值
法一
、
将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函数单调性处理
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内
的极值与最值
故函数f(x)
在区间[1，5]内的极小值为3，
最大值为11，最小值为2
法二、
解、
f
’(x)=2x-4
令f
’(x)=0，即2x-4=0，
得x=2
-
+
3
11
2
x
1
（1，2）
2
（2，5）
5
0
y
思考、已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间[1,5]内的最小值为2，求m的值
导数
导数的定义
求导公式与法则
导数的应用
导数的几何意义
多项式函数的导数
函数单调性
函数的极值
函数的最值
基本练习
1、曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1，0)处的切线的斜率为(
)
(A)
–5
(B)
–6
(C)
–7
(D)
–8
2、函数y=x100+2x50+4x25的导数为(
)
y’=100(x99+x49+x24)
(B)
y’=100x99
(C)
y’=100x99+50x49+25x24
(D)
y’=100x99+2x49
3、已知过曲线y=x3/3上点P的切线方程为12x-3y=16，则点P的坐标为
.
4、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为(
)
(A)
(-1,1)
(B)
(1,2)
(C)
(-∞,-1)
(D)
(-∞,-1)
，(1,
+∞)
6、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是(
)
单调递增函数
(B)
单调递减函数
(C)
部份单调增，部分单调减
(D)
单调性不能确定
7、
如果质点M的运动规律为S=2t2-1，则在一小段时间[2，2+Δt]中相应的平均速度等于(
)
(A)
8+2Δt
(B)
4+2Δt
(C)
7+2Δt
(D)
–8+2Δt
8、如果质点A按规律S=2t3运动，则在t=3秒时的瞬时速度为(
)
(A)
6
(B)
18
(C)
54
(D)
81
9、
已知y=f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6，那么a等于(
)
(A)
6
(B)
0
(C)
5
(D)
1
10、函数y=x3-3x的极大值为(
)
(A)
0
(B)
2
(C)
+3
(D)
1
例1、
若两曲线y=3x2+ax与y=x2-ax+1在点x=1处的切线互相平行，求a的值.
分析
原题意等价于函数y=3x2+ax与
y=x2-ax+1在x=1的导数相等，
即：6+a=2-a
例2
、
已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a、b、c的值.
分析
由条件知：
y=ax2+bx+c在点Q(2，-1)处的导数为1，于是
4a+b=1
又点P(1，1)、Q(2，-1)在曲线y=ax2+bx+c上，从而
a+b+c=1且4a+2b+c=-1
例3
已知P为抛物线y=x2上任意一点，则当点P到直线x+y+2=0的距离最小时，求点P到抛物线准线的距离
分析
点P到直线的距离最小时，抛物线在点P处的切线斜率为-1，即函数在点P处的导数为-1，令P(a,b),于是有：2a=
-1.
例4
设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定实数a的取值范围，并求出这三个单调区间.
思考、
已知函数y=x2-2(m-1)x+2在区间[2，6]内单调递增，求m的取值范围。
(1)若曲线y=x3在点Ｐ处的切线的斜率等于３，则点Ｐ的坐标为(
)
(2,8)
(B)
(-2,-8)
(C)
(-1,-1)或(1,1)
(D)
(-1/2,-1/8)
(2)若曲线y=x5/5上一点Ｍ处的切线与直线y=3-x垂直，则此切线方程为(
)
5x+5y-4=0
(B)
5x-5y-4=0
(C)
5x-5y+4=0
(D)以上皆非
(3)曲线y=x3/3-x2+5在点Ａ处的切线的倾角为3π/4，则Ａ的坐标为 .导数在研究函数中的应用
单元测试
一、选择题
1．下列函数在内为单调函数的是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：Ｃ
2．函数在区间上是（ ）
Ａ．单调增函数
Ｂ．单调减函数
Ｃ．在上是单调减函数，在上是单调增函数
Ｄ．在上是单调增函数，在上是单调减函数
答案：Ｃ
3．函数的极大值点是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：Ｄ
4．已知函数的图象与轴相切于极大值为，极小值为（ ）
Ａ．极大值为，极小值为0
Ｂ．极大值为0，极小值为
Ｃ．极大值为0，极小值为
Ｄ．极大值为，极小值为0
答案：Ａ
5．函数在上取最大值时，的值为（ ）
Ａ．0
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：Ｂ
6．设函数在定义域内可导，的图象如图1所示，则导函数的图象可能为（ ）
答案：Ｂ
二、填空题
7．函数的单调增区间为 ．
答案：
8．函数的极值点为，，则 ， ．
答案：
9．函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
答案：4
10．函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
答案：
11．函数在上的值域为 ．
答案：
12．在一块正三角形的铁板的三个角上分别剪去三个全等的四边形，然后折成一个正三棱柱，尺寸如图2所示．当为 时，正三棱柱的体积最大，最大值是 ．
答案：
三、解答题
13．已知，证明不等式．
证明：原不等式等价于证明．
设，则．
，．
在上是单调增函数．
又，
即，亦即．
14．已知函数在处有极小值，试求的值，并求出的单调区间．
解：由已知，可得，
又， ①
， ②
由①，②，解得．
故函数的解析式为．
由此得，根据二次函数的性质，当或时，；
当，．
因此函数的单调增区间为和，函数的单调减区间为．
15．已知某工厂生产件产品的成本为（元），问：（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？
解：（1）设平均成本为元，则，
，令得．
当在附近左侧时；
在附近右侧时，故当时，取极小值，而函数只有一个点使，故函数在该点处取得最小值，因此，要使平均成本最低，应生产1000件产品．
（2）利润函数为，，
令，得，当在附近左侧时；在附近右侧时，故当时，取极大值，而函数只有一个点使，故函数在该点处取得最大值，因此，要使利润最大，应生产6000件产品．
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3(共18张PPT)
导数在研究函数中的应用(2)
f
'(x)>0
f
'(x)<0
复习:函数单调性与导数关系
设函数y=f(x)
在
某个区间
内可导，
f(x)增函数
f(x)减函数
巩固：
定义域R,f′(x)=x2-x=x(x-1)
令x(x-1)>0,
得x<0或x>1，
则f(x)单增区间（－∞，0）,（1，+∞）
令x(x-1)<0,得0f(x)单减区(0,2).
注意:
求单调区间:
1:首先注意
定义域,
2:其次区间不能用
(
U)
连接
（第一步）
解
（第二步）
（第三步）
在x1
、
x3处函数值f(x1)、
f(x3)
与x1
、
x3左右近旁各点处的函数值相比,有什么特点?
f
(x2)、
f
(x4)比x2
、x4左右近旁各点处的函数值相比呢?
观察图像：
一、函数的极值定义
设函数f(x)在点x0附近有定义，
如果对X0附近的所有点，都有f(x)则f(x0)
是函数f(x)的一个极大值，
记作y极大值=
f(x0)；
如果对X0附近的所有点，都有f(x)>f(x0),
则f(x0)
是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=
f(x0)；
◆函数的极大值与极小值统称为极值.
(极值即峰谷处的值）
使函数取得极值的点x0称为极值点
探究：极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？
结论:极值点处，如果有切线，切线水平的.即:
f
?(x)=0
f
?(x1)=0
f
?(x2)=0
f
?(x3)=0
思考;若
f
?(x0)=0，则x0是否为极值点？
进一步探究:极值点两侧函数图像单调性有何特点?
极大值
极小值
即:
极值点两侧单调性互异
f
?(x)<0
x1
极大值点两侧
极小值点两侧
f
?(x)<0
f
?(x)>0
f
?(x)>0
探究:极值点两侧导数正负符号有何规律?
x2
f?(x)
>0
f?(x)
=0
f?(x)
<0
极大值
f?(x)
<0
f?(x)
=0
极小值
f?(x)
>0
注意：（1）f?(x0)
=0，
x0不一定是极值点
(2）只有f?(x0)
=0且x0两侧单调性不同
，
x0才是极值点.
(3)求极值点，可以先求f?(x0)
=0的点，再列表判断单调性
结论：极值点处，f?(x)
=0
x
Xx2
X>x2
f?(x)
f(x)
x
Xx1
X>x1
f?(x)
f(x)
例1:
求
的极值。
变式1
求
在
时极值。
例题2:
若f(x)=ax3+bx2-x
在x=1与
x=-1
处有极值.
(1)求a、b的值
(2)求f(x)的极值.
变式训练1:
下一张总结
详细解答
小结：
1:
极值定义
2个关键
①可导函数y=f(x)在极值点处的f’(x)=0
。
②极值点左右两边的导数必须异号。
3个步骤
①确定定义域
②求f’(x)=0的根
③并列成表格
用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开
区间，并列成表格由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况
思考吗
结束
返回总结
注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。
思考1.
判断下面4个命题，其中是真命题序号为
。
①
f
?(x0)=0,则f
(x0)必为极值；
②
f
(x)=
在x=0
处取极大值0，
③函数的极小值一定小于极大值
④函数的极小值（或极大值）不会多于一个。
⑤函数的极值即为最值
结束吗
下一个思考
有极大值和极小值,求a范围?
思考2
解析
:f(x)有极大值和极小值
f’(x)=0有2实根,
已知函数
解得
a>6或a<3
结束吗(共65张PPT)
3.3.2 函数的极值与导数
课本导学
教材导读
基础自测
思维聚焦
思维激活(共20张PPT)
作业：
已知函数f(x)=ax?+3x?-x+1在R上是减函数，求a的取值范围。
函数的极值与导数
a
b
x
y
O
定义
一般地,
设函数
f
(x)
在点x0附近有定义,
如果对x0附近的所有的点,
都有
我们就说
f
(x0)是
f
(x)
的一个极大值,
点x0叫做函数
y
=
f
(x)的极大值点.
反之,
若
,
则称
f
(x0)
是
f
(x)
的一个极小值,
点x0叫做函数
y
=
f
(x)的极小值点.
极小值点、极大值点统称为极值点,
极大值和极小值统称为极值.
（1）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值
（2）极大值不一定比极小值大
（3）可导函数f(x),点是极值点的必要条件是在该
点的导数为0
例：y=x3
练习1
下图是导函数
的图象,
试找出函数
的极值点,
并指出哪些是极大值点,
哪些是极小值点.
a
b
x
y
x1
O
x2
x3
x4
x5
x6
因为
所以
题1
求函数
的极值.
解:
令
解得
或
当
,
即
,
或
;
当
,
即
.
当
x
变化时,
f
(x)
的变化情况如下表:
–
+
+
单调递增
单调递减
单调递增
所以,
当
x
=
–2
时,
f
(x)有极大值
28
/
3
;
当
x
=
2
时,
f
(x)有极小值
–
4
/
3
.
x
(–∞,
–2)
–2
(–2,
2)
2
(
2,
+∞)
0
0
f
(x)
求解函数极值的一般步骤：
（1）确定函数的定义域
（2）求方程f’(x)=0的根
（3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格
（4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况
练习2
求下列函数的极值:
解:
令
解得
列表:
+
单调递增
单调递减
–
所以,
当
时,
f
(x)有极小值
x
0
f
(x)
练习2
求下列函数的极值:
解:
解得
列表:
–
+
+
单调递增
单调递减
单调递增
所以,
当
x
=
–3
时,
f
(x)有极大值
54
;
当
x
=
3
时,
f
(x)有极小值
–
54
.
x
(–∞,
–3)
–3
(–3,
3)
3
(
3,
+∞)
0
0
f
(x)
练习2
求下列函数的极值:
解:
解得
所以,
当
x
=
–2
时,
f
(x)有极小值
–
10
;
当
x
=
2
时,
f
(x)有极大值
22
.
解得
所以,
当
x
=
–1
时,
f
(x)有极小值
–
2
;
当
x
=
1
时,
f
(x)有极大值
2
.
特别注意：
已知函数f(x)=x?-3ax?+2bx在点x=1处有极小值-1，试确定a,b的值，并求出f(x)的单调区间。
习题
A组
#4
下图是导函数
的图象,
在标记的点中,
在哪一点处
(1)导函数
有极大值?
(2)导函数
有极小值?
(3)函数
有极大值?
(4)函数
有极小值?
或
