3.1.1 方程的根与函数的零点
课标要点
课标要点
学考要求
高考要求
1.函数零点的概念
a
b
2.f(x)＝0有实根与y＝f(x)有零点的关系
b
c
3.函数零点的判定
b
c
知识导图
学法指导
1.会用因式分解、公式法等求一元二次方程的根，并明白与相应二次函数图象间的关系．
2．熟悉基本函数(一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数)的图象与性质，能根据图象判断零点的情况.
知识点一 函数的零点
1．零点的定义
对于函数y＝f(x)，把f(x)＝0的实数x，叫做函数y＝f(x)的零点．
函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
2．方程的根与函数零点的关系
知识点二 函数零点的判定
函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0.
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有的函数都有零点．( )
(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1,0)(x2,0)．( )
(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)<0.( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．函数y＝3x－2的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是( )
A.； B.；
C．－；－ D.；－
解析：令3x－2＝0，则x＝，∴函数y＝3x－2的图象与x轴的交点坐标为，函数零点为.
答案：B
3．函数f(x)＝ln (x＋1)－的零点所在的一个区间是( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
解析：f(1)＝ln 2－2<0，
f(2)＝ln 3－1>0，
∴f(1)·f(2)<0，
∴函数f(x)的一个零点区间为(1,2)．
答案：B
4．函数f(x)＝x3－x的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：f(x)＝x(x－1)(x＋1)，令x(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0，x＝1，x＝－1，即函数的零点为－1,0,1，共3个．
答案：D
类型一 函数零点的概念及求法
例1 (1)下列图象表示的函数中没有零点的是( )
(2)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
①f(x)＝－x2－4x－4；
②f(x)＝4x＋5；
③f(x)＝log3(x＋1)．
【解析】 (1)由图观察，A中图象与x轴没有交点，所以A中函数没有零点．
(2)①令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2，所以函数的零点为x＝－2.②令4x＋5＝0，则4x＝－5<0，即方程4x＋5＝0无实数根，所以函数不存在零点．③令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，所以函数的零点为x＝0.
【答案】 (1)A (2)见解析
(1)由函数图象判断函数是否有零点是看函数的图象与x轴是否有交点．
(2)求函数对应方程的根即为函数的零点．
方法归纳
函数零点的求法
求函数y＝f(x)的零点通常有两种方法：其一是令f(x)＝0，根据解方程f(x)＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
跟踪训练1 若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点．
解析：由题意知f(－3)＝0，即(－3)2－3－a＝0，a＝6.所以f(x)＝x2＋x－6.
解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2.所以函数f(x)其余的零点是2.
由函数f(x)的零点是－3，得f(－3)＝0，求a.
类型二 确定函数零点的个数
例2 (1)函数f(x)＝x－－2的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)判断函数f(x)＝x－3＋ln x的零点个数．
【解析】 (1)令f(x)＝0得x－－2＝0，设t＝(t≥0)，则t2－t－2＝0，解得t＝2或t＝－1(舍)．
故＝2即x＝4，因此方程f(x)＝0有一个根4，所以函数f(x)有一个零点．
(2)令f(x)＝x－3＋ln x＝0，则ln x＝－x＋3，在同一平面直角坐标系内画出函数y＝ln x与y＝－x＋3的图象，如图所示：由图可知函数y＝ln x，y＝－x＋3的图象只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋ln x只有一个零点．
【答案】 (1)B (2)见解析
思路一：解方程求零点，方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数；
思路二：画出函数图象，依据图象与x轴的交点的个数来判断函数的零点个数．
方法归纳
判断函数零点个数的三种方法
(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．
(2)图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．
(3)定理法：函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)<0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．
跟踪训练2 f(x)＝的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：方法一 方程x＋2＝0(x<0)的根为x＝－2，方程x2－1＝0(x>0)的根为x＝1，所以函数f(x)有2个零点－2与1.
方法二 画出函数f(x)＝的图象，如图所示，观察图象可知，f(x)的图象与x轴有2个交点，所以函数f(x)有2个零点．
答案：C
解决分段函数的零点个数问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量的取值范围，代入相应的解析式求解零点，注意自变量的取值范围．
类型三 判断函数的零点所在的大致区间
例3 设x0是函数f(x)＝ln x＋x－4的零点，则x0所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
【解析】 因为f(2)＝ln 2＋2－4＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3－1>ln e－1＝0，f(2)·f(3)<0.由零点存在性定理，得x0所在的区间为(2,3)．
【答案】 C
根据零点存在性定理，对照选项，只需验证区间端点函数值的符号，或可借助于图象分析．
方法归纳
判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．
(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．
(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
跟踪训练3 函数f(x)＝2x－1＋x－5的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
解析：f(2)＝22－1＋2－5<0，f(3)＝23－1＋3－5>0，故f(2)·f(3)<0，又f(x)在定义域内是增函数，则函数f(x)＝2x－1＋x－5只有一个零点，且零点所在的区间为(2,3)．
答案：C
利用f(a)·f(b)<0求零点区间.
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列函数不存在零点的是( )
A．y＝x－ B．y＝
C．y＝ D．y＝
解析：令y＝0，得A中函数的零点为1，－1；B中函数的零点为－，1；C中函数的零点为1，－1；只有D中函数无零点．
答案：D
2．函数f(x)＝的零点有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：由f(x)＝＝0，得x＝1，
∴f(x)＝只有一个零点．
答案：B
3．函数f(x)＝的零点个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0得x1＝－3，x2＝1(舍去)；
当x>0时，由f(x)＝－2＋ln x＝0得x＝e2.
所以函数的零点个数为2.
答案：B
4．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )
A．0,2 B．0，
C．0，－ D．2，－
解析：∵2a＋b＝0，
∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．
∴零点为0和－.
答案：C
5．函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为( )
A. B.
C. D.
解析：因为f＝＋log2<0，
f＝＋log2>0，
所以f·f<0，故函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．函数f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点．
解析：方法一 ∵f(1)＝12－3×1－18＝－20<0，
f(8)＝82－3×8－18＝22>0，∴f(1)·f(8)<0，
又 f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上的图象是连续的，
故f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．
方法二 令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，
∴(x－6)(x＋3)＝0.
∵x＝6∈[1,8]，x＝－3?[1,8]，
∴f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．
答案：存在
7．已知函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．
解析：由题意知，方程x2－ax－b＝0的两根为2、3，
∴即a＝5，b＝－6，
∴方程bx2－ax－1＝－6x2－5x－1＝0的根为－、－，即为函数g(x)的零点．
答案：－，－
8．已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a<0)在区间(0,1)上有零点，则a的取值范围为________．
解析：由题意f(1)·f(0)<0.∴a(2＋a)<0.
∴－2
答案：(－2,0)
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2＋2x＋4；
(3)f(x)＝2x－3；
(4)f(x)＝1－log3x.
解析：(1)令＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝的零点是－3.
(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12<0，
所以方程x2＋2x＋4＝0无解，所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点.
(3)令2x－3＝0，解得x＝log23，所以函数f(x)＝2x－3的零点是log23.
(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3.
10．已知函数f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，求函数y＝logn(mx＋1)的零点．
解析：由题可知，f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的两个零点为1和2.
则1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的两根．
可得
解得
所以函数y＝logn(mx＋1)的解析式为
y＝log2(－2x＋1)，要求其零点，令
log2(－2x＋1)＝0，解得x＝0.
所以函数y＝log2(－2x＋1)的零点为0.
[能力提升](20分钟，40分)
11．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
m
－4
－6
－6
－4
n
6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是( )
A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)
C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
解析：因为f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，所以在(－3，－1)内必有根，又由f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，所以在(2,4)内必有根．
答案：A
12．函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数是________．
解析：方法一 函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．
在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点．从而ln x＋x2－3＝0有一个根，即函数f(x)＝ln x＋x2－3有一个零点．
方法二 因为f(1)＝－2，f(2)＝ln 2＋1>0.
所以f(1)·f(2)<0，
又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，
所以f(x)在(1,2)上必有零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．
答案：1
13．函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求实数a的取值范围．
解析：由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2，
因为函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，
所以函数y＝a－1与y＝2|x|－x2的图象有四个交点，画出函数y＝2|x|－x2的图象，如图所示，观察图象可知， 0即a的取值范围为(1,2)．
14．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，在下列条件下，求实数a的取值范围．
(1)零点均大于1；
(2)一个零点大于1，一个零点小于1；
(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．
解析：(1)因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得解得2≤a<.
即a的取值范围为.
(2)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f(1)＝5－2a<0，解得a>.
即a的取值范围为.
(3)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得
解得 即a的取值范围为.
课件25张PPT。