3.2.1 几类不同增长的函数模型
知识点一 常见的增长模型
1．线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
2．指数函数模型
能利用指数函数(底数a>1)表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大，函数值的增长速度越来越快，常形象地称为指数爆炸．
3．对数函数模型
能用对数函数(底数a>1)表达的函数模型叫做对数函数模型，对数函数增长的特点是随自变量的增大，函数值增长速度越来越慢．
4．幂函数模型
幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．
函数模型的选取
(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．
(3)幂函数模型y＝xn(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化，n值越小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n>1)时，增长较快．
知识点二 指数函数y＝ax(a>1)，对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)增长速度的比较
1．在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．
2．在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a>1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢．
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．( )
(2)当a>1，n>0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有logax
答案：(1)× (2)×
2．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝3x B．y＝1 000x
C．y＝log2x D．y＝x3
解析：指数函数模型增长速度最快．
答案：A
3．设a＝log3，b＝0.2，c＝2，则( )
A．aC．c解析：∵由指数函数、对数函数的性质可知：a＝log31，∴有a答案：A
4．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是( )
A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋c
C．y＝a·ex＋b D．y＝aln x＋b
解析：由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c.
答案：B
类型一 几类函数模型的增长差异
例1 (1)下列函数中，增长速度最快的是( )
A．y＝2 018x B．y＝x2 018
C．y＝log2 018x D．y＝2 018x
(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1 024
32 768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
则关于x呈指数型函数变化的变量是________．
【解析】 (1)比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知，指数函数增长速度最快．
(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．
【答案】 (1)A (2)y2,
(1)由题意，指数函数增长速度最快．
(2)观察变量y1，y2，y3，y4的变化情况→找出增长速度最快的变量→该变量关于x呈指数型函数变化
跟踪训练1 分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1，＋∞)上的增长情况．
解析：指数函数y＝2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，y2－y1＝23－21＝6；
对数函数y＝log2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，而y2－y1＝log23－log21≈1.585 0.
由此可知，在区间[1，＋∞)上，指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度快，而对数函数y＝log2x的增长速度缓慢．
在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和y＝log2x的图象，从图象上可观察出函数的增长变化情况．如图：
类型二 三类函数图象综合运用
例2 判断方程2x＝x2有几个实根．
【解析】 设y1＝x2，y2＝2x，作出这两个函数的图象，由图象知，方程一定有一个负根，当x>0时，开始y1＝x2在y2＝2x图象的下方，但此时由于y1＝x2比y2＝2x增长的速度快，所以存在x0当x>x0时，y1＝x2的图象就会在y2＝2x的上方，故此时产生一个实根x0，但最终还是y2＝2x比y1＝x2增长得快，故存在x1，当x>x1时，y2＝2x的图象又在y1＝x2的上方，故又产生一个实根x1，以后就永远是y2＝2x比y1＝x2增长得快了，故再没有实根了，故此方程有三个实根.
(1)根据指数函数与幂函数增减得快慢以及图象的上下位置判断出是否有实根．
(2)对于较复杂的方程根的个数问题，利用数形结合法较为方便，其解题步骤为：
①先设出两个可画图象的函数；
②画出两个函数的图象；
③由图象观察，其交点横坐标的个数即为方程实数解的个数．
方法归纳
由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．
跟踪训练2 函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
解析：(1)由题图知，C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)．
f(x)＝lgx图象是曲线．
g(x)＝0.3x－1图象是直线．
类型三 函数模型的选择问题
例3 某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，就月份x，产量为y给出三种函数模型： y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝abx＋c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？
【解析】 由题意，将产量随时间变化的离散量分别抽象为A(1,1)，B(2,1.2)，C(3,1.3)，D(4,1.37)这4个数据．
(1)设模拟函数为y＝ax＋b时，将B，C两点的坐标代入函数式，得解得
所以有关系式y＝0.1x＋1.
由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1 000双，这是不太可能的．
(2)设模拟函数为y＝ax2＋bx＋c时，将A，B，C三点的坐标代入函数式，得
解得所以有关系式y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7.
结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下 ，对称轴为x＝3.5)，不合实际．
(3)设模拟函数为y＝abx＋c时，将A，B，C三点的坐标代入函数式，得
由①，得ab＝1－c，代入②③，得则解得则a＝＝－0.8.所以有关系式y＝－0.8×0.5x＋1.4.结论为：当把x＝4代入得y＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.
比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而该指数函数模型恰好反映了这种趋势．因此选用指数函数y＝－0.8×0.5x＋1.4模拟比较接近客观实际.
通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型．
方法归纳
数学知识来源于客观实际，服务于实际问题．数学是人们认识世界、改造世界的工具，其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来描述．面临一个实际问题，选择合适的数学模型是一件非常重要的事情，根据三种不同的增长模型的特点，选择符合自己的模型，才能产生更大的经济效益．
跟踪训练3 1626年，有人从印第安人手里以60荷兰基尔特(相当于24美元)的代价借用纽约的曼哈顿岛，并在借据上注明：归还此岛时，对方要还本付息，年利率是6%，但借据上没有注明利息是按单利计算还是按复利计算．事隔354年之后的1980年，双方当事人的后代到法院打官司说是利息支付不公，要求法院判明是非．法官请数学家作了计算，结果使法官大吃一惊．请问按两种方法计算出的本息和分别是多少？
解析：若按单利算，本息和是24×6%×354＋24＝533.76(美元)．
若按复利算，本息和是24(1＋6%)354≈2.2×1010(美元)．
理解单利、复利的概念．
利用公式来计算.
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝1 B．y＝x
C．y＝2x D．y＝log3x
解析：结合函数y＝1，y＝x，y＝2x及y＝log3x的图象可知，随着x的增大，增长速度最快的是y＝2x.
答案：C
2．如图所示给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )
A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2
解析：由散点图可知，与指数函数拟合最贴切，故选A.
答案：A
3．已知a，b，c，d四个物体沿同一方向同时开始运动，假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果运动时间足够长，则运动在最前面的物体一定是( )
A．a B．b
C．c D．d
解析：根据四种函数的变化特点，指数函数是一个变化最快的函数．当运动时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数函数运动的物体．
答案：D
4．在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的图象，可能正确的是( )
解析：函数y＝ax与y＝logax的单调性相同，由此可排除C；直线y＝x＋a在y轴上的截距为a，则选项A中01，显然y＝ax的图象不符，排除A，B，选D.
答案：D
5．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3
C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1
解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．
解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图象，如图所示，
由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x图象的上方，则f(x)>g(x)．
答案：f(x)>g(x)
7．据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2013年的湖水量为m，从2013年起，过x年后湖水量y与x的函数关系是________．
解析：设湖水量每年为上年的q%，
则(q%)50＝0.9，
所以q%＝0.9，所以x年后湖水量y＝m·(q%)x＝m·0.9.
答案：y＝0.9·m
8．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示，以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变，其中说法正确的序号是________．
解析：由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y＝xα(0<α<1)，反应了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．
答案：②③
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现有两种方案如下：
方案一：每年植树1万平方米；
方案二：每年树木面积比上一年增加9%.
哪个方案较好？
解析：方案一：5年后树木面积为：10＋1×5＝15(万平方米)．
方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米)，
因为15.386>15，所以方案二较好．
10．某公司拟投资100万元，有两种投资方案可供选择：一种是年利率为10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率为9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)
解析：本金100万元，年利率为10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．
本金100万元，年利率为9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．
由此可见，按年利率为9%每年复利一次计算的投资方式要比按年利率为10%单利计算的更有利，5年后多得利息3.86万元．
[能力提升](20分钟，40分)
11．四个函数在第一象限中的图象如图所示，a、b、c、d所表示的函数可能是( )
A．a：y＝2x b：y＝x2 c：y＝ d：y＝2－x
B．a：y＝x2 b：y＝2x c：y＝2－x d：y＝
C．a：y＝x2 b：y＝2x c：y＝ d：y＝2－x
D．a：y＝2x b：y＝x2 c：y＝2－x d：y＝
解析：根据幂函数、指数函数、对数函数的性质和图象的特点，a，c对应的函数分别是幂指数大于1和幂指数大于0小于1的幂函数，且b，d对应的函数分别为底数大于1和底数大于0小于1的指数函数．
答案：C
12．已知a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3，则a，b，c的大小关系为________．
解析：∵a＝0.32<1<20.3＝c，∴c>a>0.
又∵b＝log20.3a>b.
答案：c>a>b
13．现有某种细胞100个，其中占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂为2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)
解析：现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数；
1 h后，细胞总数为
×100＋×100×2＝×100；
2 h后，细胞总数为
××100＋××100×2＝×100；
3 h后，细胞总数为
××100＋××100×2＝×100；
4 h后，细胞总数为
××100＋××100×2＝×100.
可见，细胞总数y与时间x(h)之间的函数关系为
y＝100×x，x∈N*.
由100×x>1010，得x>108，
两边同时取以10为底的对数，
得xlg>8，∴x>.
∵＝≈45.45，
∴x>45.45.
故经过46 h，细胞总数超过1010个．
14．某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；
(2)据测定，每毫升血液中含药量不少于4 μg时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为上午7：00，问：一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？
解析：(1)依题意得y＝
(2)设第二次服药时在第一次服药后t1小时，则－t1＋＝4，解得t1＝4，因而第二次服药应在11：00.
设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即有－t2＋－(t2－4)＋＝4，解得t2＝9，故第三次服药应在16：00.
设第四次服药在第一次服药后t3小时(t3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量应为第二、第三次的和，即有－(t3－4)＋－(t3－9)＋＝4，解得t3＝13.5，故第四次服药应在20：30.
课件30张PPT。3.2.1 几类不同增长的函数模型