3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
知识导图
学法指导
1.本节的重难点是直线平行和垂直的判定，注意平行和垂直的条件．
2．判断直线的位置关系时，要注意斜率不存在的情形．
3．当直线的斜率含参数时，要对参数进行分类讨论
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两条直线平行与垂直的判定是高考考查的重点，一般不单独考查，常与其他知识(直线方程等)综合考查，分值4～6分.
知识点一 两条直线平行
设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k1，k2.则对应关系如下：
前提条件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
对应关系
l1∥l2?k1＝k2
l1∥l2?两直线斜率都不存在
图示
1. l1∥l2?k1＝k2成立的前提条件是：
①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．
2．当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90 °，则l1∥l2.
知识点二 两条直线垂直
图示
对应
关系
l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2?k1·k2＝－1
l1与l2两直线的斜率一个不存在，另一个为0时，则l1与l2的位置关系是垂直
l1⊥l2?k1·k2＝－1成立的前提条件是：
①两条直线的斜率都存在；
②k1≠0且k2≠0.
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．( )
(2)若l1∥l2，则k1＝k2.( )
(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．( )
(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．[2019·蚌埠市淮上区校级检测]给出下列说法：①若两直线斜率相等，则两直线平行；②若l1∥l2，则k1＝k2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；④若两直线斜率都不存在，则两直线平行，其中说法正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：当k1＝k2时，l1与l2平行或重合，①不正确；若两直线平行，那么它们的斜率可能都不存在，②不正确；显然③正确；若两直线斜率都不存在，则两直线平行或重合，④不正确．
答案：A
3．已知直线l1的倾斜角为30°，直线l1∥l2，则直线l2的斜率为( )
A. B．－
C. D．－
解析：因为l1∥l2，所以kl2＝kl1＝tan30°＝.
答案：C
4．已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1＝2，l1⊥l2，则k2＝________.
解析：∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，∴k2＝＝－.
答案：－
类型一 两条直线的平行关系
例1 (1)[2019·衡水检测]直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(1,2)，B(a－1,3)，l1∥l2，则a的值为( )
A．－3 B．1 C. D.
(2)已知l1经过点A(－3,3)，B(－8,6)，l2经过点M，N，求证：l1∥l2.
【解析】 (1)直线l2的斜率k2＝＝，∵l1∥l2，∴k1＝k2，∴＝，∴a＝.
(2)证明：直线l1的斜率为k1＝＝－，
直线l2的斜率为k2＝＝－，
因为k1＝k2，且kAN＝＝－，
所以l1与l2不重合，所以l1∥l2.
【答案】 (1)C (2)见解析
两直线平行?根据所给条件求出两直线的斜率，根据斜率是否相等进行判断，要注意斜率不存在及两直线重合的情况．
方法归纳
判断两条不重合直线是否平行的步骤
跟踪训练1 根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．
(1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；
(2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(3,2)，N(－2，－3)．
解析：(1)由题意知k1＝＝－，k2＝＝－.
因为k1＝k2，且A，B，C，D四点不共线，所以l1∥l2.
(2)由题意知k1＝tan60°＝，k2＝＝.
因为k1＝k2，所以l1∥l2或l1与l2重合．
直接结合斜率公式，比较所给直线的斜率关系，确定其位置关系．
类型二 两条直线的垂直关系
例2 判断下列各题中l1与l2是否垂直．
(1)l1经过点A(－3，－4)，B(1,3)，l2经过点M(－4，－3)，N(3,1)；
(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；
(3)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)．
【解析】 (1)k1＝＝，k2＝＝，k1k2＝1，∴l1与l2不垂直．
(2)k1＝－10，k2＝＝，k1k2＝－1，∴l1⊥l2.
(3)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴；k2＝＝0，则l2∥x轴，∴l1⊥l2.
直线斜率均存在时，直接计算所给直线的斜率，通过比较它们的斜率之间的关系，确定其位置关系，有一条直线斜率不存在时，可比较两直线的倾斜角大小，确定其位置关系．
方法归纳
使用斜率公式解决两直线垂直问题的步骤
(1)首先查看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则将点的坐标代入斜率公式．
(2)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，要应用斜率公式对参数进行讨论．
总之，l1与l2一个斜率为0，另一个斜率不存在时，l1⊥l2；l1与l2斜率都存在时，满足k1·k2＝－1.
跟踪训练2 已知点A(－2，－5)，B(6,6)，点P在y轴上，且∠APB＝90°，则点P的坐标为( )
A．(0，－6) B．(0,7) C．(0，－6)或(0,7) D．(－6,0)或(7,0)
解析：由题意可设点P的坐标为(0，y)．因为∠APB＝90°，所以AP⊥BP，且直线AP与直线BP的斜率都存在．
又kAP＝，kBP＝，kAP·kBP＝－1，
即·＝－1，解得y＝－6或y＝7.
所以点P的坐标为(0，－6)或(0,7)，故选C.
答案：C
若斜率均存在，求出斜率，利用l1⊥l2?k1k2＝－1进行判断，但要注意斜率不存在的特殊情况．
类型三 直线平行与垂直关系的应用,,例3 已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，求第四个顶点D的坐标．
【解析】 设第四个顶点D的坐标为(x，y)，
因为AD⊥CD，AD∥BC，
所以kAD·kCD＝－1，且kAD＝kBC.
所以解得或其中不合题意，舍去．
所以第四个顶点D的坐标为(2,3).
计算kAB，kCD，kBC，kDA，再结合两条直线平行、垂直的判定求解即可．
方法归纳
利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率，特别是含参数的问题，必须要分类讨论；其次要注意的是斜率不存在并不意味着问题无解．
跟踪训练3 已知A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状．
解析：由题意，可得kAB＝＝－1，kCD＝＝－1，kBC＝＝1，kDA＝＝1，
∵kAB＝kCD，kBC＝kDA，∴AB∥CD，BC∥DA，
∴四边形ABCD为平行四边形．
又∵kAB·kBC＝－1，
∴直线AB与BC垂直，即∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD为矩形．
利用几何图形各边所在直线的斜率可以确定各边所在直线是否相互平行或垂直，从而判定几何图形的形状.
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列命题中，正确的是( )
A．斜率相等的两条直线一定平行
B．若两条不重合的直线l1，l2平行，则它们的斜率一定相等
C．直线l1：x＝1与直线l2：x＝2不平行
D．直线l1：(－1)x＋y＝2与直线l2：x＋(＋1)y＝3平行
解析：A错误，斜率相等的两条直线还可能重合．B错误，当两条不重合的直线l1，l2平行时，它们的斜率可能相等，也可能不存在．C错误，直线l1与l2的斜率都不存在，且1≠2，所以两直线平行．D正确，由于直线l1：(－1)x＋y＝2与直线l2：x＋(＋1)y＝3的斜率分别为k1＝1－，k2＝－＝1－，则k1＝k2，所以l1∥l2.
答案：D
2．由三条直线l1：2x－y＋2＝0，l2：x－3y－3＝0和l3：6x＋2y＋5＝0围成的三角形是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．锐角三角形
解析：kl2＝，kl3＝－3，∴kl2·kl3＝－1，∴l2⊥l3.
答案：A
3．若两条直线y＝ax－2和y＝(2－a)x＋1互相平行，则a等于( )
A．2 B．1
C．0 D．－1
解析：因为两条直线平行，则a＝2－a，得a＝1.
答案：B
4．如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为( )
A. B．a
C．－ D．－或不存在
解析：当a≠0时，由l1⊥l2得k1·k2＝a·k2＝－1，∴k2＝－；当a＝0时，l1与x轴平行或重合，则l2与y轴平行或重合，故直线l2的斜率不存在．∴直线l2的斜率为－或不存在．
答案：D
5．下列直线中，与已知直线y＝－x＋1平行，且不过第一象限的直线的方程是( )
A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0
C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0
解析：先看斜率，A、D选项中斜率为－，排除掉；直线与y轴交点需在y轴负半轴上，才能使直线不过第一象限，只有B选项符合．
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．[2019·山东省济南市校级月考]若经过两点A(2,3)，B(－1，x)的直线l1与斜率为1的直线l2平行，则x＝________.
解析：设直线l1的斜率为k，则k＝.∵l1∥l2，∴k＝1＝，∴x＝0.
答案：0
7．已知在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)，则点D的坐标为____________．
解析：设D(a，b)，由平行四边形ABCD，得kAB＝kCD，kAD＝kBC，即，解得，所以D(－1,6)．
答案：(－1,6)
8．已知直线l过点(－2，－3)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程为________．
解析：直线2x－3y＋4＝0的斜率为，又直线l与该直线垂直，所以直线l的斜率为－.又直线l过点(－2，－3)，因此直线l的方程为3x＋2y＋12＝0.
答案：3x＋2y＋12＝0
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．根据给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系．
(1)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0,5)；
(2)l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)；
(3)l1经过点A(－1,6)，B(1,2)，l2经过点M(－2，－1)，N(2,1)．
解析：(1)由题意知l1的斜率不存在，且l1不是y轴，l2的斜率也不存在，l2恰好是y轴，所以l1∥l2.
(2)由题意知k1＝＝1，k2＝＝1，虽然k1＝k2，但是kEG＝＝1，即E，F，G，H四点共线，所以l1与l2重合．
(3)直线l1的斜率k1＝＝－2，直线l2的斜率k2＝＝，k1k2＝－1，故l1与l2垂直．
10．当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：
(1)倾斜角为135°；
(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；
(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．
解析：(1)由kAB＝＝－1，得2m2＋m－3＝0，解得m＝－或1.
(2)由＝3及垂直关系，得＝－，解得m＝或－3.
(3)令＝＝－2，解得m＝或－1.
经检验m＝－1，m＝均符合题意．
[能力提升](20分钟，40分)
11．直线l1的倾斜角为α，l1⊥l2，则直线l2的倾斜角不可能为( )
A．90°－α B．90°＋α
C．|90°－α| D．180°－α
解析：(1)当α＝0°时，l2的倾斜角为90°(如图1)
(2)当0°<α<90°时，l2的倾斜角为90°＋α.(如图2)
(3)当α＝90°时，l2的倾斜角为0°.(如图3)
(4)当90°<α<180°时，l2的倾斜角为α－90°.(如图4)
答案：D
12．已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D坐标为________时，AB⊥CD.
解析：设点D(x,0)，因为kAB＝＝4≠0，
所以直线CD的斜率存在．
则由AB⊥CD知，kAB·kCD＝－1，
所以4·＝－1，解得x＝－9.
答案：(－9,0)
13．已知△ABC的顶点分别为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值．
解析：若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1，即×＝－1，解得m＝－7；若∠B为直角，则AB⊥BC，
∴kAB·kBC＝－1，即×＝－1，解得m＝3；若∠C为直角，则AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1，即×＝－1，解得m＝±2.
综上，m的值为－7，－2,2或3.
14．已知四点A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状．
解析：
由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图所示，由斜率公式可得kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－.所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，
所以AB∥CD，
因为kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．
又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1，所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．
课件25张PPT。
