3.2.2 直线的两点式方程3.2.3 直线的一般式方程
知识导图
学法指导
1.体会直线的两点式方程、截距式方程的推导过程，并由此求直线的方程．
2．明确平面上的直线和二元一次方程的区别与联系．
3．弄清楚直线的一般式方程和其他几种形式之间的关系以及每种形式的适用条件，在解题时注意选择恰当的直线方程．
4．明确利用直线方程的几种形式判断直线平行和垂直问题的方法．
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1.利用两点坐标求直线的方程或利用直线的截距式求直线的方程是常考知识点，分值5分．
2．由直线的一般式方程判断直线的位置关系或求参数的值也是高考的常考题型，以选择题或填空题为主，分值5分.
知识点一 直线的两点式、截距式方程
两点式
截距式
条件
P1(x1，y1)和P2(x2，y2)
在x轴上的截距是a，在y轴上的截距是b
图形
方程
＝(x2≠x1，y2≠y1)
＋＝1
适用范围
不表示平行于坐标轴的直线
不表示平行于坐标轴的直线及过原点的直线
1．截距式方程中间以“＋”相连，右边是1.
2．a叫做直线在x轴上的截距，a∈R，不一定有a >0.
知识点二 线段的中点坐标公式
若点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则
知识点三 直线的一般式方程
1．直线与二元一次方程的关系
在平面直角坐标系中的直线与二元一次方程的对应关系如下：
2．直线的一般式方程
式子：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0；
条件：A，B不同时为零；
简称：一般式．
3．直线的一般式方程与其他四种形式的转化
认识直线的一般式方程
(1)方程是关于x，y的二元一次方程；
(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列；
(3)x的系数一般不为分数和负数；
(4)平面直角坐标系内的任何一条直线都有一个二元一次方程与它相对应，即直线的一般式方程可以表示任何一条直线．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示．( )
(2)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1) (x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( )
答案：(1)× (2)√
2．经过点A(－3,2)，B(4,4)的直线的两点式方程为( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
解析：由方程的两点式可得直线方程为＝，即＝.
答案：A
3．在x轴和y轴上的截距分别为－2,3的直线方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：由直线的截距式方程，可得直线方程是＋＝1.
答案：C
4．直线＋＝1化成一般式方程为( )
A．y＝－x＋4 B．y＝－(x－3)
C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12
解析：直线＋＝1化成一般式方程为4x＋3y－12＝0.
答案：C
类型一 利用两点式求直线方程
例1 已知三角形的顶点是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，求AC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．
【解析】 过点A(－5,0)，C(0,2)的直线的两点式方程为＝，整理得2x－5y＋10＝0，这就是AC边所在直线的方程．
AC边上的中线是顶点B与AC边的中点所连的线段．
设边AC的中点为D(x，y)，则即D.
由两点式得直线BD的方程为＝，
整理可得8x＋11y＋9＝0.此即AC边上的中线所在直线的方程.
找到直线上两点坐标，利用两点式直接写出两点式方程，并化简得到结论．
方法归纳
求直线的两点式方程的策略以及注意点
(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．
(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．
跟踪训练1 在△ABC中，A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)．
(1)求BC所在直线的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
解析：(1)∵B(5，－4)，C(0，－2)，∴BC所在直线方程为＝，即2x＋5y＋10＝0.
故BC所在直线的方程为2x＋5y＋10＝0.
(2)设BC的中点为M(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝＝－3，∴M.
又BC边上的中线所在直线经过点A(－3,2)，∴由两点式得＝，即10x＋11y＋8＝0.
故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.
(1)由两点式直接求BC所在直线的方程；
(2)先求出BC的中点，再由两点式求直线方程．
类型二 直线的截距式方程及应用
例2 (1)过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为( )
A．x＋y＝5 B．x－y＝5
C．x＋y＝5或x－4y＝0 D．x－y＝5或x－4y＝0
(2)两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一平面直角坐标系中的图象可以是( )
【解析】 (1)当直线过点(0,0)时，直线方程为y＝x，即x－4y＝0；当直线不过点(0,0)时，可设直线方程为＋＝1，把(4,1)代入，解得a＝5，∴直线方程为x＋y＝5.综上可知，直线方程为x＋y＝5或x－4y＝0.
(2)两条直线方程化成截距式为l1：＋＝1，l2：＋＝1，则l1与x轴交于(a,0)，与y轴交于(0，－b)，l2与x轴交于(b,0)，与y轴交于(0，－a)．
综合各选项，先假定l1的位置，判断出a，b的正负，然后确定l2的位置，知A项符合．
【答案】 (1)C (2)A
(1)用直线的截距式方程解题时要注意截距式方程存在的条件，特别是要考虑直线过原点的情况．
(2)先将直线方程化为截距式的标准形式，然后结合图形来判断．
方法归纳
用截距式方程解决问题的优点及注意事项
(1)由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．
(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．
(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．
跟踪训练2 求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．
解析：设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a，b.
①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＋＝1.∵点(4，－3)在直线上，∴＋＝1，
若a＝b，则a＝b＝1，∴直线方程为x＋y＝1.
若a＝－b，则a＝7，b＝－7，∴直线方程为x－y＝7.
②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，∴直线的方程为3x＋4y＝0.
综上所述，所求直线方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.
当所给条件涉及直线的横、纵截距求直线方程时，可考虑用直线的截距式方程．但要特别注意截距式方程使用的条件是横、纵截距都存在且不为零，当截距有可能为零时，要注意分类讨论，防止漏解．
类型三 直线的一般式方程
例3 (1)设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，若直线l的斜率为－1，则k＝________；若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0，则k＝________；
(2)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)，若l不经过第二象限，则实数a的取值范围是________．
【解析】 (1)因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－x＋2，由题意得－＝－1，解得k＝5.
直线l的方程可化为＋＝1，由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.
(2)将直线l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2.
则或∴a≤－1.
【答案】 (1)5 1 (2)(－∞，－1]
一般式方程→化成斜截式方程或截距式方程→建立关于参数的方程?或不等式?→求解即得参数的值?或取值范围?
方法归纳
解决直线的一般式方程的有关问题的方法(或思路)
1．直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0中要求A，B不同时为0.
2．由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程(化为一般式方程后原方程的限制条件就消失了)；反过来，也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程，注意斜截式、截距式方程的使用条件．
3．解决直线的图象问题时，常通过把直线的一般式方程化为斜截式，利用直线的斜率和纵截距作出判断．
跟踪训练3 已知直线经过点A(－5,6)和点B(－4,8)，求该直线的一般式、斜截式和截距式方程．
解析：直线过点A(－5,6)，B(－4,8)，由两点式得＝，整理得2x－y＋16＝0，即为直线的一般式方程．
方程2x－y＋16＝0移项，得y＝2x＋16，即为直线的斜截式方程．
方程2x－y＋16＝0移项，得2x－y＝－16，两边同除以－16，整理得＋＝1，即为直线的截距式方程．
先写出直线的两点式方程，然后将其变形写出直线的其他形式方程．
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．[2019·河南省实验中学检测]一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( )
A．可以写成两点式或截距式
B．可以写成两点式或斜截式或点斜式
C．可以写成点斜式或截距式
D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式
解析：当直线过原点时，不能写成截距式，故B正确．
答案：B
2．过点A(5,6)和点B(－1,2)的直线的两点式方程是( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
解析：根据直线的两点式方程，得＝.
答案：B
3．[2019·武汉检测]直线＋＝1过第一、三、四象限，则( )
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0
C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
解析：因为直线过第一、三、四象限，所以它在x轴上的截距为正，在y轴上的截距为负，即a>0，b<0.
答案：B
4．光线从A(－3,4)点射出，到x轴上的B点后，被x轴反射，这时反射光线恰好过点C(1,6)，则BC所在直线的方程为( )
A．5x－2y＋7＝0 B．2x－5y＋7＝0
C．5x＋2y－7＝0 D．2x＋5y－7＝0
解析：点A(－3,4)关于x轴的对称点A′(－3，－4)在反射光线所在的直线上，所以所求直线为＝，即5x－2y＋7＝0.
答案：A
5．已知直线l1：x＋ay＋1＝0与直线l2：x－2y＋2＝0垂直，则a的值为( )
A．2 B．－2
C．－ D.
解析：直线l2可化为y＝x＋1，所以其斜率k2＝，所以直线l1的斜率存在，即a≠0且k1＝－.由k1·k2＝×＝－1，解得a＝.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知M(－1,2)，N(3，－4)，线段MN的中点坐标为(a，b)，则a＝________，b＝________.
解析：由中点坐标公式可得即
答案：1 －1
7．直线(2a2－7a＋3)x＋(a2－9)y＋3a2＝0的倾斜角为45°，则实数a＝________.
解析：由题意斜率存在，倾斜角为45°，则k＝1.所以－＝1，解得a＝－或3.
当a＝3时，2a2－7a＋3与a2－9同时为0，所以应舍去，所以a＝－.
答案：－
8．若直线l经过点P(1,2)，且在y轴上的截距与直线2x＋3y－9＝0在y轴上的截距相等，则直线l的方程为________．
解析：直线2x＋3y－9＝0在y轴上的截距等于3，即直线l经过点M(0,3)，则直线l的斜率k＝＝－1，故直线l的方程为y＝－x＋3，即x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知?ABCD的顶点A(1,2)，B(2，－1)，C(3，－3)，求直线BD的方程．
解析：因为平行四边形ABCD两对角线AC与BD的交点M为AC的中点，所以M，
直线BM的方程为x＝2，
即直线BD的方程为x－2＝0.
10．若直线经过点A(1,4)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，求直线的方程．
解析：当直线经过坐标原点时，直线在x轴、y轴上的截距都是0，符合题意，设其方程为y＝kx，又直线经过点A(1,4)，所以4＝k，即方程为y＝4x；当直线不经过坐标原点时，设其方程为＋＝1，又直线经过点A(1,4)，所以＋＝1，解得a＝，此时直线方程为＋＝1，即x＋2y－9＝0.故所求直线方程为y＝4x或x＋2y－9＝0.
[能力提升](20分钟，40分)
11．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx＋y－a＝0(ab≠0)的图象只可能是( )
解析：因为ab≠0，则
①当a>0，b>0时，其图象可能为：
此时没有符合的．
②当a>0，b<0时，其图象可能为：
因此B符合．
③当a<0，b>0时，其图象可能为：
没有符合的．
④当a<0，b<0时，其图象可能为：
也没有符合的．
综上，选B.
答案：B
12．如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过第________象限．
解析：由题意知A·B·C≠0，直线方程变形为y＝－x－.∵A·C<0，B·C<0，∴A·B>0，∴其斜率k＝－<0，又y轴上的截距b＝－>0.∴直线过第一、二、四象限，不经过第三象限．
答案：三
13．已知点A关于B(2,1)的对称点为C(－4,3)，C关于D的对称点为E(－6，－3)，求A，D的坐标及线段AD中点的坐标．
解析：设A(x1，y1)，由题意知AC的中点为B，所以＝2，＝1，所以x1＝8，y1＝－1，所以A(8，－1)．
设D(x2，y2)，由题意知D为CE的中点，
所以x2＝＝－5，y2＝＝0，所以D(－5,0)．
所以线段AD中点的坐标为，即.
14．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求直线l′的方程，使l′满足：
(1)过点(－1,3)，且与l平行；
(2)过点(－1,3)，且与l垂直；
(3)l′与l垂直，且l′与两坐标轴围成的三角形面积为4.
解析：(1)方法一 由题设，l的方程可化为y＝－x＋3，
∴l的斜率为－，∵l′与l平行，∴l′的斜率为－.
又l′过点(－1,3)，∴由点斜式得直线方程为y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.
方法二 由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠－12)，
将点(－1,3)代入上式得m＝－9.
∴所求直线方程为3x＋4y－9＝0.
(2)方法一 由题设，l的方程可化为y＝－x＋3，
∴l的斜率为－，由l′与l垂直，得l′的斜率为.
又l′过点(－1,3)，∴由点斜式得直线方程为y－3＝(x＋1)，即4x－3y＋13＝0.
方法二 由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0，
将(－1,3)代入上式得n＝13.
∴所求直线方程为4x－3y＋13＝0.
(3)方法一 由题设l的方程可化为y＝－x＋3，
∴l的斜率为－，∵l′⊥l，∴kl′＝.
设l′在y轴上的截距为b，直线l′的方程为y＝x＋b，则l′在x轴上的截距为－b，
由题意可知，围成的三角形面积S＝·|b|·＝4，
∴b＝±.
∴直线l′的方程为y＝x＋或y＝x－.
即4x－3y＋4＝0或4x－3y－4＝0.
方法二 由l′与l垂直，可设直线l′的方程为4x－3y＋p＝0，则l′在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为，
由题意可知，围成的三角形面积S＝··＝4，
得p＝±4.
∴直线l′的方程为4x－3y＋4＝0或4x－3y－4＝0.
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