第1课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
1.两角和的余弦公式
cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β，简记为C(α＋β)，使用的条件为α，β为任意角．
2．两角和与差的正弦公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和
的正弦
S(α＋β)
sin(α＋β)＝
sin_αcos_β＋cos_αsin_β
α，β∈R
两角差
的正弦
S(α－β)
sin(α－β)＝
sin_αcos_β－cos_αsin_β
α，β∈R
公式的记忆方法
(1)理顺公式间的联系．
C(α＋β)C(α－β)S(α－β)S(α＋β)
(2)注意公式的结构特征和符号规律．
对于公式C(α－β)，C(α＋β)，可记为“同名相乘，符号反”．
对于公式S(α－β)，S(α＋β)，可记为“异名相乘，符号同”．
公式逆用：sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin(α＋β)，
sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)，
cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，
cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(α＋β)．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( )
(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( )
(3)对于任意的α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( )
(4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°等于( )
A．0 B.
C. D．1
解析：sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°
＝sin 15°cos75°＋cos 15°sin 75°
＝sin(15°＋75°)＝sin 90°＝1.
答案：D
3．设α∈，若sin α＝，则cos＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：易得cos α＝，则cos
＝＝.
答案：B
4．计算sin＝________.
解析：sin＝sin＝sin cos ＋cos sin ＝×＋×＝.
答案：
类型一 给角求值
例1 求值：(1)cos 105°；(2).
【解析】 (1)cos 105°＝cos(60°＋45°)＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45°
＝×－×＝.
(2)＝
＝
＝＝＝.
(1)105 °＝60 °＋45 °
(2)找到31 °、91 °、29 °之间的联系利用公式化简求值
方法归纳
解决给角求值问题的方法
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．
跟踪训练1 (1)已知角α的终边经过点(－3,4)，则sin的值为( )
A. B．－
C. D．－
(2)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )
A.－ B.
C．－ D.
解析：(1)因为角α的终边经过点(－3,4)，则sin α＝，cos α＝，所以sin＝sin α cos ＋cos α sin ＝×－×＝.
(2)原式＝sin 20° cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.
答案：(1)C (2)D
(1)由角α的终边经过点(－3,4)，可以求出sinα＝，cosα＝－.
(2)可先用诱导公式再逆用两角和的正弦公式求解．
类型二 给值求值
例2 已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos 2α与cos 2β的值．
【解析】 因为<β<α<，
所以0<α－β<，π<α＋β<.
所以sin(α－β)＝＝＝，
cos(α＋β)＝－＝－＝－.
所以cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)
＝×－×＝－，cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝－.
1．正确判断α－β，α＋β的范围是求解前提．
2．巧妙利用角的变换方法，是求解此类题目常用方法．
方法归纳
给值(式)求值的策略
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
跟踪训练2 本例条件变为：<β<α<，sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2β的值．
解析：因为<β<α<，所以0<α－β<，π<α＋β<π.
所以cos(α－β)＝，cos(α＋β)＝－，
sin 2β＝sin[(α＋β)－(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β)
＝×－×＝0.
(1)由已知求出α－β、α＋β的范围．
(2)2β＝(α＋β)－(α－β)．
(3)利用公式求值．
类型三 给值求角
例3 已知cos α＝，sin(α＋β)＝，0<α<，0<β<，求角β的值．
【解析】 因为0<α<，cos α＝，所以sin α＝.
又因为0<β<，所以0<α＋β<π.
因为sin(α＋β)＝
所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝×－×＝.
又因为0<β<，所以β＝.
(1)已知α的范围及cosα，求sinα.
(2)求α＋β的范围及sin(α＋β)求cos(α＋β)．
(3)利用cosβ＝cos[(α＋β)－α]，求值．
方法归纳
解决给值(式)求角问题的方法
解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是或时，选取求正弦值．
跟踪训练3 若把本例中的“0<β<”改为“<β<π”，求角β的值．
解析：因为0<α<，cos α＝，
所以sin α＝.
又因为<β<π，所以<α＋β<.
因为sin(α＋β)＝，所以cos(α＋β)＝－，
所以sin β＝sin[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝×－×＝.
又因为<β<π，所以β＝.
对比例题β的范围更改则α＋β的范围更改，再由sin(α＋β)求cos(α＋β)最后利用sinβ＝sin[(α＋β)－α]公式求值．
3.1.2
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．sin 105°的值为( )
A. B.
C. D.
解析：sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝×＋×＝.
答案：D
2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝.
答案：D
3．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：因为cos α＝－，α是第三象限的角，所以sin α＝－，由两角和的正弦公式可得sin＝sin αcos＋cos αsin＝×＋×＝－.
答案：A
4．在△ABC中，若sin(B＋C)＝2sin Bcos C，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：因为sin(B＋C)＝2sin Bcos C，
所以sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，
即sin Bcos C－cos Bsin C＝0，所以sin(B－C)＝0，
所以B＝C.所以△ABC是等腰三角形．
答案：D
5．函数f(x)＝sin x－cos的值域为( )
A．[－2,2] B．[－，]
C．[－1,1] D.
解析：因为f(x)＝sin x－cos
＝sin x－cos xcos＋sin xsin
＝sin x－cos x＋sin x
＝
＝sin(x∈R)，
所以f(x)的值域为[－，]．
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知cos＝，则cos α＝________.
解析：由于0<α－<，
cos＝，
所以sin＝.
所以cos α＝cos
＝coscos－sinsin
＝×－×＝.
答案：
7．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.
解析：∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，∴sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1 ①，cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0 ②，①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，∴sin(α＋β)＝－.
答案：－
8．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin＝________.
解析：sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α
＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α
＝sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，
即sin β＝－，
又β是第三象限角，
所以cos β＝－，
所以sin＝sin βcos＋cos βsin＝×＋×＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求下列各式的值．
(1)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°；
(2)sin＋cos.
解析：(1)原式＝sin(360°－13°)·cos(180°－32°)＋sin(90°－13°)cos(90°－32°)
＝sin 13°cos 32°＋cos 13°sin 32°
＝sin(13°＋32°)
＝sin 45°＝.
(2)原式＝2
＝2
＝2sin＝2sin＝.
10．已知△ABC，若sin(A＋B)＝，cos B＝－，求cos A的值．
解析：∵cos B＝－，∴∴sin B＝＝，
cos(A＋B)＝－＝－，
∴cos A＝cos[(A＋B)－B]
＝cos(A＋B)cos B＋sin(A＋B)sin B
＝×＋×＝.
[能力提升](20分钟，40分)
11．在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6,3cos A＋4sin B＝1，则C的大小为( )
A. B.
C.或 D.或
解析：由已知可得(3sin A＋4cos B)2＋(3cos A＋4sin B)2＝62＋12，
即9＋16＋24sin(A＋B)＝37.
所以sin(A＋B)＝.所以在△ABC中sin C＝，所以C＝或C＝.又1－3cos A＝4sin B>0，所以cos A<.
又<，所以A>，所以C<，
所以C＝不符合题意，所以C＝.
答案：A
12．已知cos＋sin α＝，则sin的值是________．
解析：∵cos＋sin α＝cos αcos＋sin αsin＋sin α
＝cos α＋sin α，∴cos α＋sin α＝，
∴cos α＋sin α＝，即sin＝.
又sin＝sin＝－sin＝－.
答案：－
13．(1)已知sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，α，β为锐角，求cos(α－β)的值；
(2)已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2α的值．
解析：(1)由sin α－sin β＝－，知sin α又α，β为锐角，∴－<α－β<0.
又
①2＋②2得2－2(sin αsin β＋cos αcos β)＝，即cos(α－β)＝×＝.
(2)∵cos(α－β)＝>0，<β<α<，
∴0<α－β<，sin(α－β)＝.
又sin(α＋β)＝－，π<α＋β<，∴cos(α＋β)＝－.
∴sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝－×－×＝－.
14．已知sin＝－，sin＝，其中<α<，<β<，求角α＋β的值．
解析：因为<α<，
所以－<－α<0.
因为<β<，
所以<＋β<.
由已知可得cos＝，
cos＝－，
则cos(α＋β)＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝－.
因为<α＋β<π，
所以α＋β＝.
课件23张PPT。