第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
两角和与差的正切公式
名称
公式
简记符号
使用条件
两角和
的正切
tan(α＋β)＝
T(α＋β)
α，β，α＋β≠
kπ＋(k∈Z)
两角差
的正切
tan(α－β)＝
T(α－β)
α，β，α－β≠
kπ＋(k∈Z)
公式T(α±β)的结构特征和符号规律
(1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．
(2)
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( )
(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立．( )
(3)tan(α＋β)＝等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tanαtan β)．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√
2．已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：tan(α＋β)＝＝＝－.
答案：B
3．已知tan α＝3，则tan＝( )
A．－2 B．2
C. D．－
解析：tan＝tan＝＝＝－.
答案：D
4．计算：tan 75°＝________.
解析：tan 75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝＝＝2＋.
答案：2＋
授课提示：对应学生用书65页
类型一 正切公式的正用、逆用、变形用
例1 (1)已知tan＝，则tan α＝________；
(2)tan＝________；
(3)计算＝________.
【解析】 (1)因为tan＝tan＝，
所以＝，解得tan α＝.
(2)tan＝－tan ＝－tan＝－＝－＝－2＋.
(3)＝＝tan 45°＝1.
【答案】 (1) (2)－2＋ (3)1
(1)利用两角差的正切公式tan(α±β)＝.
(2)＝π－；＝－.
(3)＝tan 60 °.
方法归纳
利用公式T(α±β)化简求值的两点说明
(1)分析式子结构，正确选用公式形式：
T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：
当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan”“＝tan”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．
跟踪训练1 求值：(1)tan 15°；
(2)；
(3)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°.
解析：(1)tan 15°＝tan(45°－30°)＝＝＝＝＝2－.
(2)原式＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－.
(3)∵tan 60°＝＝，
∴tan 23°＋tan 37°＝－tan 23°tan 37°，
∴tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝.
(1)15 °＝45 °－30 °.
(2)利用公式求值．
类型二 给值求值
例2 (1)已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan等于( )
A. B.
C. D.
(2)已知＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.
【解析】 (1)tan＝tan＝＝.
(2)由条件知＝＝3，则tan α＝2，
因为tan(α－β)＝2，所以tan(β－α)＝－2.
故tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝＝＝.
【答案】 (1)C (2)
(1)α＋＝(α＋β)－(β－)．
(2)β－2α＝(β－α)－α.
方法归纳
给值求值问题的两种变换
(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系实现求值．
(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)、2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．
跟踪训练2 设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )
A.－3
B．－1
C．1
D．3
解析：∵tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，
∴tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，
∴tan(α＋β)＝＝＝－3.
答案：A
由一元二次方程的根与系数关系可知，tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝2.再利用公式求值．
类型三 给值求角
例3 已知tan α＝，sin β＝，且α，β为锐角，求α＋2β的值．
【解析】 ∵tan α＝<1且α为锐角，
∴0<α<.
又∵sin β＝<＝且β为锐角．∴0<β<，∴0<α＋2β<.①
由sin β＝，β为锐角，得cos β＝，∴tan β＝.
∴tan(α＋β)＝＝＝.
∴tan(α＋2β)＝＝＝1.②
由①②可得α＋2β＝.
1．先求tan(α＋β)．
2．再求tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]．
3．由已知求α＋2β的范围，最后求值．
方法归纳
给值求角问题的步骤及选取函数的原则
(1)给值求角问题的步骤．
①求所求角的某个三角函数值．
②确定所求角的范围(范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解)，根据范围找出角．
(2)选取函数的原则．
①已知正切函数值，选正切函数．
②已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是，选正弦或余弦函数均可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好．
跟踪训练3 已知tan(α－β)＝，tan β＝－，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
解析：tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝
＝＝.
又因为α∈(0，π)，而tan α>0，所以α∈.
tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝＝＝1.
因为tan β＝－，β∈(0，π)，所以β∈，
所以α－β∈(－π，0)．
由tan(α－β)＝>0，得α－β∈，
所以2α－β∈(－π，0)．
又tan(2α－β)＝1，
所以2α－β＝－.
(1)先求tanα＝tan[(α－β)＋β]
(2)再求tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]
(3)由已知求2α－β的范围，最后求值
3.1.2.2
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．tan 285°的值等于( )
A．2＋ B．2－
C．－2－ D．－2＋
解析：tan 285°＝tan(360°－75°)
＝－tan 75°＝－tan(45°＋30°)
＝－
＝－＝－2－.
答案：C
2.等于( )
A. B.
C．tan 6° D.
解析：∵＝tan(27°＋33°)＝tan 60°，
∴原式＝＝.
答案：A
3．已知α，β都是锐角，tan α＝，tan β＝，则α＋β的值为( )
A. B.
C. D.
解析：tan(α＋β)＝＝＝1，又因为α，β都是锐角，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
答案：C
4．若＝，则tan＝( )
A．－2 B．2
C．－ D.
解析：因为＝，所以＝，
因为＝
＝－tan＝，
所以tan＝－.
答案：C
5．已知tan α＝，tan(α－β)＝－，那么tan(β－2α)的值为( )
A．－ B．－
C．－ D.
解析：tan(β－2α)＝－tan(2α－β)
＝－tan[α＋(α－β)]＝－
＝－＝－.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若tan α＝3，则tan＝________.
解析：因为tan α＝3，所以tan＝＝＝－2.
答案：－2
7.＝________.
解析：＝tan(17°＋43°)＝tan 60°＝.
答案：
8．已知tan(α＋β)＝3，tan＝2，那么tan β＝________.
解析：tan＝＝2，
则tan α＝，
又tan(α＋β)＝＝3，
所以tan β＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，判断△ABC的形状．
解析：由根与系数关系得
∴tan(A＋B)＝＝＝，
在△ABC中，tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－<0，∴∠C是钝角，
∴△ABC是钝角三角形．
10．已知cos α＝，α∈(0，π)，tan(α－β)＝，求tan β及tan(2α－β)．
【解析】 ∵cos α＝>0，α∈(0，π)，
∴sin α>0.
∴sin α＝＝＝，
∴tan α＝＝＝.
∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝
＝＝，
tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝
＝＝2.
[能力提升](20分钟，40分)
11．(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值为( )
A．16 B．8
C．4 D．2
解析：由于21°＋24°＝45°，23°＋22°＝45°，利用两角和的正切公式及其变形可得(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，
(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2，
故(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)＝4.
答案：C
12．在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan Atan B的值为________．
解析：tan C＝tan(π－A－B)＝－tan(A＋B)＝－＝－＝－.
所以tan Atan B＝.
答案：
13．已知tan＝2，tan β＝，
求的值．
解析：由tan＝＝2，
解得tan α＝.
所以
＝
＝＝
＝tan(β－α)＝
＝＝.
14．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边的两个锐角为α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点，已知A，B两点的横坐标分别是和.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
解析：(1)由单位圆中三角函数的定义，
可得cos α＝，cos β＝.
由于α，β为锐角，所以sin α＝＝，
sin β＝＝.从而tan α＝7，tan β＝，
所以tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)因为tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝＝－1，又0<α<，0<β<，所以0<α＋2β<，
从而α＋2β＝.
课件25张PPT。
