第二章第2节 直接证明与间接证明
一、综合法与分析法
课前预习学案
预习目标：
了解综合法与分析法的概念，并能简单应用。
预习内容：
证明方法可以分为直接证明和间接证明
1．直接证明分为 和
2．直接证明是从命题的 或 出发，根据以知的定义，
公里，定理， 推证结论的真实性。
3．综合法是从 推导到 的方法。而分析法是一种从
追溯到 的思维方法，具体的说，综合法是从已知的条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论，分析法则是从待证的结论出发，一步一步寻求结论成立的 条件，最后达到题设的以知条件或以被证明的事实。综合法是由 导 ，分析法是执 索 。
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
学习目标
让学生理解分析法与综合法的概念并能够应用
二、学习过程：
已知a,b∈R+，求证：
例2．已知a,b∈R+，求证：
例3.已知a,b,c∈R，求证（I）
课后练习与提高
1．（A级）函数，若
则的所有可能值为 （ ）
A． B． C． D．
2．（A级）函数在下列哪个区间内是增函数 （ ）
A． B．
C． D．
3．（A级）设的最小值是 （ ）
A． B． C．－3 D．
4．（A级）下列函数中,在上为增函数的是 （ ）
A． B．
C． D．
5．（A级）设三数成等比数列，而分别为和的等差中项，则 （ ）
A． B． C． D．不确定
6．（A级）已知实数，且函数有最小值，则=__________。
7．（A级）已知是不相等的正数，，则的大小关系是_________。
8．（B）若正整数满足，则
9．（B）设图像的一条对称轴是.
（1）求的值；
（2）求的增区间；
（3）证明直线与函数的图象不相切。
10．（B）的三个内角成等差数列，求证：
综合法与分析法
一、教材分析
综合法与分析法作为高中数学中常用的两种基本方法，一直被学生所熟悉和应用，通过这节课的学习，学生将对这两种方法的掌握更加系统。同时也复习了有关的其他数学知识。
二、教学目标
知识目标：让学生理解分析法与综合法的概念并能够应用。
能力目标：提高证明问题的能力。
情感、态度、价值观：养成言之有理论证有据的习惯。
三、教学重点难点
教学重点：让学生理解分析法与综合法的概念并能够应用。
教学难点：提高证明问题的能力。
四、教学方法：探究法
五、课时安排：1课时
六、教学过程
已知a,b∈R+，求证：
例2．已知a,b∈R+，求证：
例3.已知a,b,c∈R，求证（I）
课后练习与提高
1．（A级）函数，若
则的所有可能值为 （ ）
A． B． C． D．
2．（A级）函数在下列哪个区间内是增函数 （ ）
A． B．
C． D．
3．（A级）设的最小值是 （ ）
A． B． C．－3 D．
4．（A级）下列函数中,在上为增函数的是 （ ）
A． B．
C． D．
5．（A级）设三数成等比数列，而分别为和的等差中项，则 （ ）
A． B． C． D．不确定
6．（A级）已知实数，且函数有最小值，则=__________。
7．（A级）已知是不相等的正数，，则的大小关系是_________。
8．（B）若正整数满足，则
9．（B）设图像的一条对称轴是.
（1）求的值；
（2）求的增区间；
（3）证明直线与函数的图象不相切。
10．（B）的三个内角成等差数列，求证：
七、板书设计
八、教学反思
课件17张PPT。①②④③④⑤③课件32张PPT。2．2 直接证明与间接证明
?2．2.1 综合法与分析法学习目标
1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．
2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．课前自主学案1．合情推理包括____推理和____推理；演绎推理的“三段论”包括______、______和____．
2．“a>b>0”是a2>b2的__________条件．归纳类比大前提小前提结论充分不必要12 综合法和分析法已知条件定义公理定理推理论证结论出发充分条件定理定义公理所要证明的结论已知条件定义公理定理1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．2．分析法是把所要求证的结论当作已知条件来推理吗？
提示：分析法并不是把所要求证的结论当作已知条件来推理，而是寻求使结论成立的充分条件．课堂互动讲练综合法的思维特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．【思路点拨】 解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论．【思维总结】 综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：
(1)a2≥0(a∈R)．分析法是由结论到条件的逆推证法，它的思维特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是寻求它的充分条件．【思路点拨】 条件和结论的联系不明确，考虑用分析法证明．【思维总结】 含有根号的式子，应想到用平方法去根号，且在平方时应保证两边为正，同时要有利于再次平方，因此需移项．变式训练2 已知a>6，用分析法去思考，寻找解题途径，用综合法进行书写，或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“已知”(分析)，双管齐下，两面夹击，找到沟通已知条件和结论的途径．【思路点拨】 本题所要证明的不等式看不出与已知条件有怎样的因果关系，故可先采用分析法寻找该不等式成立的充分条件是. 【思维总结】 本题证明中，前半部分用的是分析法，后半部分用的是综合法，两种方法综合使用，使问题较容易解决．方法技巧
1．综合法证明问题的步骤
第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有清晰的思路，严密的逻辑，简洁的语言．
第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取．2．应用分析法证明问题的模式
用分析法证明命题“若P，则Q”时的模式如下：
为了证明命题Q为真，
只需证明命题P1为真，从而有…
只需证明命题P2为真，从而有…
…
只需证明命题P为真，而已知P为真，故Q必为真．失误防范
1．利用综合法证明问题时，要把产生某结果的具体原因写完整，不可遗漏．
2．用分析法书写证明过程时，格式要规范，一般为“欲证…，只需证…，只需证…，由于…显然成立(已知，已证…)，所以原结论成立．”其中的关联词语不能省略．§2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法与分析法(一)
一、基础过关
1．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是 ( )
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若>，则a>b
C．若a3>b3且ab<0，则>
D．若a2>b2且ab>0，则<
2．A、B为△ABC的内角，A>B是sin A>sin B的 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．即不充分也不必要条件
3．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.
其中正确命题的个数是 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4．设a，b∈R＋，且a≠b，a＋b＝2，则必有 ( )
A．1≤ab≤ B．ab<1<
C．ab<<1 D.
5．已知a，b为非零实数，则使不等式：＋≤－2成立的一个充分不必要条件是( )
A．ab>0 B．ab<0
C．a>0，b<0 D．a>0，b>0
二、能力提升
6．设0A．a B．b
C．c D．不能确定
7．已知a、b、c∈R，且a＋b＋c＝0，abc>0，则＋＋的值 ( )
A．一定是正数 B．一定是负数
C．可能是0 D．正、负不能确定
8．设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为________．
9．已知p＝a＋(a>2)，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，则p、q的大小关系为________．
10．如果a＋b>a＋b，求实数a，b的取值范围．
11．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
12．已知a>0，－>1，求证：>.
三、探究与拓展
13．已知a、b、c是不全相等的正数，且0求证：logx＋logx＋logx 答案
1．C 2．C 3．B 4．B 5．C 6．C 7．B
8．a>c>b
9．p>q
10．解 a＋b>a＋b
?a－a>b－b
?a(－)>b(－)
?(a－b)(－)>0
?(＋)(－)2>0，
只需a≠b且a，b都不小于零即可．
即a≥0，b≥0，且a≠b.
11．证明 方法一3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)
＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)
＝(3a2－2b2)(a－b)．
因为a≥b>0，
所以a－b≥0,3a2－2b2>0，
从而(3a2－2b2)(a－b)≥0，
所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
方法二 要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，
只需证3a2(a－b)－2b2(a－b)≥0，
只需证(3a2－2b2)(a－b)≥0，
∵a≥b>0.∴a－b≥0,3a2－2b2>2a2－2b2≥0，
∴上式成立．
12．证明 由－>1及a>0可知0要证>，
只需证·>1，
只需证1＋a－b－ab>1，
只需证a－b－ab>0即>1，即－>1，
这是已知条件，所以原不等式得证．
13．证明 要证logx＋logx＋logx只需证logx(··)由已知0得只需证··>abc.
由公式≥>0，≥>0，
≥>0.
又∵a，b，c是不全相等的正数，
∴··>＝abc.
即··>abc成立．
∴logx＋logx＋logx2.2.1 综合法与分析法(二)
一、基础过关
1．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则 ( )
A．a≤ B．ab≥
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
2．已知a、b、c、d∈{正实数}，且<，则 ( )
A.<< B.<<
C.<< D．以上均可能
3．下面四个不等式：
①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac；
②a(1－a)≤；
③＋≥2；
④(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
其中恒成立的有 ( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
4．若实数a，b满足0A. B．2ab C．a2＋b2 D．a
5．设a＝－，b＝－，c＝－，则a、b、c的大小顺序是________．
6．如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F.
求证：AF⊥SC.
证明：要证AF⊥SC，只需证SC⊥平面AEF，只需证AE⊥SC(因为______)，只需证______，只需证AE⊥BC(因为________)，只需证BC⊥平面SAB，只需证BC⊥SA(因为______)．由SA⊥平面ABC可知，上式成立．
二、能力提升
7．命题甲：()x、2－x、2x－4成等比数列；命题乙：lg x、lg(x＋2)、lg(2x＋1)成等差数列，则甲是乙的 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．若a>b>1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg()，则 ( )
A．RC．Q9．已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>2，|β|>2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，你认为正确的命题是________．
10．如果a，b都是正数，且a≠b，求证：＋>＋.
11．已知a>0，求证： －≥a＋－2.
12．已知a、b、c∈R，且a＋b＋c＝1，求证：(－1)(－1)(－1)≥8.
13．已知函数f(x)＝x2＋＋aln x(x>0)，对任意两个不相等的正数x1、x2，证明：当a≤0时，>f()．
三、探究与拓展
14．已知a，b，c，d∈R，求证：
ac＋bd≤.(你能用几种方法证明？)
答案
1．C 2．A 3．C 4．C 5．a>b>c
6．EF⊥SC AE⊥平面SBC AE⊥SB AB⊥BC
7．C 8．B 9．①③?②
10．证明 方法一 用综合法
＋－－
＝
＝
＝>0，
∴＋>＋.
方法二 用分析法
要证＋>＋，
只要证＋＋2>a＋b＋2，
即要证a3＋b3>a2b＋ab2，
只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)，
即需证a2－ab＋b2>ab，
只需证(a－b)2>0，
因为a≠b，所以(a－b)2>0恒成立，
所以＋>＋成立．
11．证明 要证 －≥a＋－2，
只要证 ＋2≥a＋＋.
∵a>0，故只要证 2≥2，
即a2＋＋4 ＋4≥a2＋2＋＋2＋2，
从而只要证2≥，
只要证4≥2，
即a2＋≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立．
12．证明 方法一 (分析法)
要证(－1)(－1)(－1)≥8成立，
只需证··≥8成立．
因为a＋b＋c＝1，
所以只需证··≥8成立，
即证··≥8成立．
而··≥··＝8成立．
∴(－1)(－1)(－1)≥8成立．
方法二 (综合法)
(－1)(－1)(－1)
＝(－1)(－1)(－1)
＝··
＝
≥＝8，
当且仅当a＝b＝c时取等号，所以原不等式成立．
13．证明 由f(x)＝x2＋＋aln x，
得＝(x＋x)＋(＋)＋(ln x1＋ln x2)
＝(x＋x)＋＋aln .
f()＝()2＋＋aln ，
∵x1≠x2且都为正数，
有(x＋x)>[(x＋x)＋2x1x2]＝()2.①
又(x1＋x2)2＝(x＋x)＋2x1x2>4x1x2，
∴>.②
∵<，
∴ln∵a≤0，∴aln≥aln.③
由①、②、③得
>f()．
14．证明 方法一 (用分析法)
①当ac＋bd≤0时，显然成立．
②当ac＋bd>0时，欲证原不等式成立，只需证(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
即证a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2.
即证2abcd≤b2c2＋a2d2.
即证0≤(bc－ad)2.
因为a，b，c，d∈R，所以上式恒成立．
故原不等式成立，综合①②知，命题得证．
方法二 (用综合法)
(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2
＝(a2c2＋2acbd＋b2d2)＋(b2c2－2bcad＋a2d2)
＝(ac＋bd)2＋(bc－ad)2≥(ac＋bd)2.
∴≥|ac＋bd|≥ac＋bd.
方法三 (用比较法)
∵(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2
＝(bc－ad)2≥0，
∴(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，
∴≥|ac＋bd|≥ac＋bd.
方法四 (用放缩法)
为了避免讨论，由ac＋bd≤|ac＋bd|，
可以试证(ac＋bd)2≤ (a2＋b2)(c2＋d2)．
由方法一知上式成立，从而方法四可行．
方法五 (构造向量法)
设m＝(a，b)，n＝(c，d)，
∴m·n＝ac＋bd，
|m|＝，
|n|＝.
∵m·n≤|m|·|n|＝·.
故ac＋bd≤.
