课件23张PPT。3.1.1《数系的扩充
与复数的概念》理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。
教学重点：复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系。
教学难点：复数及其相关概念的理解教学目标 引言：在人和社会的发展过程中，常常需要立足今天，回顾昨天，展望明天。符合客观发展规律的要发扬和完善，不符合的要否定和抛弃。那么，在实数集向复数集发展的过程中，我们应该如何发扬和完善，否定和抛弃呢？数系的扩充用图形表示包含关系：复习回顾知识引入 现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定：
（1）i2??1；
（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率)仍然成立。形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 全体复数所形成的集合叫做复数集，
一般用字母C表示 .复数的代数形式：复数a+bi复数集，虚数集，实数集，纯虚数集之间的关系？ 思 考？复数集虚数集实数集纯虚数集练一练：1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。5 +8，02、判断下列命题是否正确：
（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数
（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数
（3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数思考：如何定义两个复数的相等？注意：一般对两个复数只能说相等或不相等；不能比较大小。00解题思考：复数相等的问题转化求方程组的解的问题一种重要的数学思想：转化思想小结:1.虚数单位i的引入；1-1B 你能否找到用来表示复数的几何模型呢？xo1实数可以用数轴上的点来表示。一一对应 规定了
正方向，直线数轴原点，单位长度实数 数轴上的点 (形)(数)(几何模型)复数z=a+bi有序实数对(a,b)直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b) 建立了平面直角坐标系来表示复数的平面x轴------实轴y轴------虚轴（数）（形）------复数平面 (简称复平面)一一对应z=a+bi概念辨析例题平面向量实数绝对值的几何意义:能否把绝对值概念推广到复数范围呢？XOAa| a | = | OA | 实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离。xOz=a+biy| z | = |OZ|复数的绝对值(复数的模)Z (a,b) 复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。 例3 求下列复数的模：
(1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i(3)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？思考：(2)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？(4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0)(1)复数的模能否比较大小？ 这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形？ 图示xyO设z=x+yi(x,y∈R) 满足|z|=5(z∈C)的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？55–5–5(A)在复平面内，对应于实数的点都在实
轴上；
(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在
虚轴上；
(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复
数都是实数；
(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复
数都是纯虚数。辨析：1．下列命题中的假命题是（ ）D 2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点在虚轴上”的（ ）。
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件 (D)不充分不必要条件C例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。 变式：证明对一切m，此复数所对应的点不可能位于第四象限。解题思考：表示复数的点所在象限的问题复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题转化(几何问题)(代数问题)一种重要的数学思想：数形结合思想再见
3.1.1数系的扩充与复数的概念
课前预习学案
课前预习：（1）预习目标：在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用
（2）1) 结合实例了解数系的扩充过程
2）引进虚数单位i的必要性及对i的规定
3)对复数的初步认识及复数概念的理解
（3） 提出疑惑：
通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
学习目标：
（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用理解复数的基本概念
（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件
（3）了解复数的代数表示方法
学习过程
一、自主学习
问题1：我们知道，对于实系数一元二次方程 ，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？
问题2：类比引进 ，就可以解决方程 在有理数集中无解的问题，怎么解决 在实数集中无解的问题呢
问题3：把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律仍成立，你得到什么样的数？
二、探究以下问题
1、如何解决-1的开平方问题，即一个什么数它的平方等于-1
2、虚数单位i有怎样的性质
3、复数的代数形式
4、复数集C和实数集R之间有什么关系?
5、如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?
三、精讲点拨、有效训练
见教案
反思总结
你对复数的概念有了比较清醒的认识了吗？
对复数a+bi(a,b∈R)的正确分类
复数相等的概念的理解及应用
当堂检测
1. m∈R，复数z=（m-2）(m+5)+(m-2)（m-5）i，则z为纯虚数的充要条件是m的值为 ( )
A.2或5 B.5 C.2或-5 D.-5
2、设a∈R.复数a2-a-6+(a2-3a-10)i是纯虚数,则a的取值为? (??? )
(A)5或-2?????(B)3或-2 (C)-2???????? (D)3
3、如果（2 x- ?y)+(x+3)i=0(x，y∈R)则x+y的值是（ ）
4、
3.1.1数系的扩充与复数的概念
【教学目标】
（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用理解复数的基本概念
（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件
（3）了解复数的代数表示方法
【教学重难点】
重点：引进虚数单位i的必要性、对i的规定、复数的有关概念
难点：实数系扩充到复数系的过程的理解，复数概念的理解
【教学过程】
一、创设情景、提出问题
问题1：我们知道，对于实系数一元二次方程 ，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？ ?
?
问题2：类比引进 ，就可以解决方程 在有理数集中无解的问题，怎么解决 在实数集中无解的问题呢？
?
问题3：把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律仍成立，你得到什么样的数？
二、学生活动
1.复数的概念：
⑴虚数单位：数＿＿叫做虚数单位，具有下面的性质：
①＿＿＿＿＿＿＿＿＿
②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
⑵复数：形如＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做复数，常用字母＿＿＿表示，全体复数构成的集合叫做＿＿＿＿＿＿，常用字母＿＿＿表示．
⑶复数的代数形式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其中＿＿＿＿叫做复数的实部，＿＿＿叫做复数的虚部，复数的实部和虚部都是＿＿＿数．
(4)对于复数a+bi(a,b∈R),
当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数;
当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数0;
当＿＿＿＿＿＿＿时, 叫做虚数;
当＿＿＿＿＿＿＿时, 叫做纯虚数;
2.学生分组讨论
⑴复数集C和实数集R之间有什么关系?
⑵如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?
⑶复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可以用韦恩图表示出来吗？
3.练习：????????????????????????????????????????????????????
(1).下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？
2+?2i ,? ?????0.618, ???????2i/7 ,? ???????0,
???5 i +8,? ??????3-9 i
(2)、判断下列命题是否正确：
（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数
（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数
（3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数
三、归纳总结、提升拓展
例1? 实数m分别取什么值时，复数
z＝m+1＋(m-1)i
是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
解：
?
?
?
归纳总结：
确定复数z＝a＋bi是实数、虚数、纯虚数的条件是：
?
练习：实数m分别取什么值时，复数
z＝m2+m-2＋(m2-1)i
是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
两个复数相等，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等．也就是
a+bi=c+di _______________________（a、b、c、d为实数）
由此容易出：a+bi=0 _______________________
例2已知x +2y +(2x+6)i=3x-2 ,其中，x,y为实数，求x与y．
四、反馈训练、巩固落实
1、若x,y为实数，且 2x -2y+(x+ y)i=x-2 i
求x与y.
?
?
?
?
2、若x为实数，且(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0，求x的值.
课件26张PPT。3．1 数系的扩充和复数的概念
3．1.1 数系的扩充和复数的概念学习目标
1.了解引入虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程．
2．了解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．
3．掌握复数代数形式的表示方法及复数相等的充要条件．课前自主学案?Δ<01．复数的有关概念
(1)复数
①定义：形如a＋bi的数叫做复数，其中a、b是____，i叫做________，a叫做复数的____，b叫做复数的____．
②表示方法：复数通常用z表示，即z＝_____________．虚数单位实部虚部实数a＋bi(a、b∈R)(2)复数集
①定义：由________所构成的集合叫做复数集．
②表示：通常用大写字母 __表示．
2．复数的分类及包含关系实数虚数a＝0a≠0全体复数C3．复数相等的充要条件
设a、b、c、d都是实数，则
a＋bi＝c＋di?___________；
a＋bi＝0?________.a＝c，b＝da＝b＝01．复数m＋ni的实部是m，虚部是n吗？
提示：不一定，只有当m、n∈R时，m才是实部，n才是虚部．
2．复数就是虚数吗？
提示：复数与虚数不是同一个概念，现在所见的所有数都是复数，它包括实数和虚数两大部分．3．两个复数能否比较大小？
提示：对于复数z＝a＋bi(a、b∈R)，当b＝0时能比较大小，当b≠0时，不能比较大小．即两个不全是实数的复数不能比较大小．课堂互动讲练规定i与实数可以进行四则运算，在进行运算时，原有的加、乘运算律仍然成立，即与原数集不矛盾． 判断下列说法是否正确．
(1)当z∈C时，z2≥0.
(2)若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数．
(3)若a>b，则a＋i>b＋i.
(4)若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1.
【思路点拨】 根据复数的概念可以判定．【解】 (1)错误．当且仅当z∈R时，z2≥0成立．
若z＝i，则z2＝－1<0.
(2)错误．当a＝－1时，
(a＋1)i＝(－1＋1)i＝0·i＝0∈R.
(3)错误．两个虚数不能比较大小．
(4)错误．当且仅当x，y∈R时，x，y才是x＋yi的实部和虚部．此时x＋yi＝1＋i的充要条件才是x＝y＝1.【思维总结】 数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立．
如：两数大小的比较，某数的平方是非负数等．变式训练1 下列命题：
①若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则x＝±1；
②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
③纯虚数集相对复数集的补集是虚数集．
其中真命题的个数是________．故由此分析可知各命题的真假．
在①中，若x＝－1，则不成立；
②若a＝0，则ai不是纯虚数．
③由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知：所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集．
答案：0复数z＝a＋bi(a、b∈R)，根据a，b的取值可分为实数、虚数及纯虚数．【思维总结】 利用复数的代数形式进行分类时，主要依据是实部、虚部应满足的条件，求参数时，可据此列出方程组求解．必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组．
已知x，y均是实数，且满足(2x－1)＋i＝－y－(3－y)i，求x与y.
【思路点拨】 两个复数相等时，应分清两复数的实部与虚部，然后让其实部与实部相等，虚部与虚部相等．【思维总结】 一般根据复数相等的充要条件，可由一个复数等式得到实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数，本题就是利用这一重要思想，化复数问题为实数问题得以解决．互动探究3 若本例条件变为x、y∈R，且满足(2x－t)＋i＝－y－(t＋y)i.求点(x，y)满足的轨迹．方法技巧
1．利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式(组))，求解参数时，注意考虑问题要全面．
2．两复数相等的充要条件是实部与虚部分别对应相等．要先确定是否为代数形式，确定实部、虚部后再应用. 3．把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现，这一思想在解决复数问题中非常重要．失误防范
1．一般地，两个复数只能相等或不相等，不能比较大小．
2．确定复数的实部和虚部时，不要只根据复数的形式：x＋yi，还要看x、y是否为实数，同时还要使x、y有意义．第二课时
一、基础过关
1．复数z＝＋i3对应的点在复平面第几象限 ( )
A．一 B．二
C．三 D．四
2．当0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是 ( )
A．4＋8i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
4．已知复数z＝a＋bi(a、b∈R)，当a＝0时，复平面内的点z的轨迹是 ( )
A．实轴 B．虚轴
C．原点 D．原点和虚轴
5．已知复数z＝a＋i在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于( )
A．－1＋i
B．1＋i
C．－1＋i或1＋i
D．－2＋i
6．若复数(－6＋k2)－(k2－4)i(k∈R)所对应的点在第三象限，则k的取值范围是________________．
二、能力提升
7．若θ∈(，)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在复平面内所对应的点在 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
8．复数z＝icos θ，θ∈[0,2π)的几何表示是 ( )
A．虚轴
B．虚轴除去原点
C．线段PQ，点P，Q的坐标分别为(0,1)，(0，－1)
D．C中线段PQ，但应除去原点
9．复数z＝log3＋ilog3 对应的点位于复平面内的第______象限．
10．若复数z1＝1－i，z2＝3－5i，则复平面上与z1，z2对应的点Z1与Z2的距离为________．
11．复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，则|z|＝______.
12．当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点：
(1)位于第四象限；
(2)位于x轴负半轴上；
(3)在上半平面(含实轴)．
13．已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120°且复数z的模为2，求复数z.
三、探究与拓展
14．(1)满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是 ( )
A．一条直线 B．两条直线
C．圆 D．椭圆
(2)已知复数(x－2)＋yi(x，y∈R)的模为，求的最大值．
答案
1．D 2．D 3．C 4．B 5．A 6．27．B 8．C 9．三
10．2
11．2
12．解 (1)要使点位于第四象限，须，
∴，∴－7(2)要使点位于x轴负半轴上，须
，
∴，∴m＝4.
(3)要使点位于上半平面(含实轴)，须m2＋3m－28≥0，
解得m≥4或m≤－7.
13．解 根据题意可画图形如图所示：
设点Z的坐标为(a，b)，
∵||＝|z|＝2，∠xOZ＝120°，
∴a＝－1，b＝，
即点Z的坐标为(－1，)，
∴z＝－1＋i.
14．(1)C
(2)解 ∵|x－2＋yi|＝，
∴(x－2)2＋y2＝3，故(x，y)在以C(2,0)为圆心，为半径的圆上，表示圆上的点(x，y)与原点连线的斜率．
如图，由平面几何知识，易知的最大值为.
