§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义(导学案)
预习目标：
掌握复数代数式的加减运算法则，并能熟练地进行复数代数式形式的加减运算；
理解并掌握复数加法、减法的几何意义及其应用。
预习内容：设
（1）
（2）
(3)
(4)
（5）同（2），
提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
学习目标：
1：掌握复数的加法运算及意义
2：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义
学习重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系．
学习难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。
学习过程:
例1．计算（1）
（2）
（3）
（4）
探究:1.观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律，试给予验证?
2.例1中的（1）、（3）两小题，分别标出，所对应的向量，再画出求和后所对应的向量，看有所发现？
例3．计算（1）
（2）
（3）
当堂检测：
1、
2、计算
（1） （2）
（3） （4）
3、ABCD是复平面内的平行四边行，A,B,C三点对应的复数分别是
课后练习与提高：
1．计算
（1）（2）（3）
2．若，求实数的取值。
变式：若表示的点在复平面的左（右）半平面，试求实数的取值。
3．三个复数，其中，是纯虚数，若这三个复数所对应的向量能构成等边三角形，试确定的值。
§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义）（教案）
教学目标：
知识与技能：掌握复数的加法运算及意义
过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义
情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用
教学重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系．
教学难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。
教学过程：
一．学生探究过程：
1. 与复数一一对应的有？
2. 试判断下列复数在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。
3. 同时用坐标和几何形式表示复数所对应的向量，并计算。向量的加减运算满足何种法则？
4. 类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？
二、讲授新课：
1.复数的加法运算及几何意义
①.复数的加法法则：，则。
例1．计算（1） （2） （3）
（4）
②．观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律，试给予验证。
例2．例1中的（1）、（3）两小题，分别标出，所对应的向量，再画出求和后所对应的向量，看有所发现。
③复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）
2．复数的减法及几何意义：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若，则。
④讨论：若，试确定是否是一个确定的值？
（引导学生用待定系数法，结合复数的加法运算进行推导，师生一起板演）
⑤复数的加法法则及几何意义：，复数的减法运算也可以按向量的减法来进行。
例3．计算（1） （2） （3）
练习：已知复数，试画出，，
（三）小结：两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减，复数的加减运算都可以按照向量的加减法进行。
（四）巩固练习：
1．计算
（1）（2）（3）
2．若，求实数的取值。
变式：若表示的点在复平面的左（右）半平面，试求实数的取值。
3．三个复数，其中，是纯虚数，若这三个复数所对应的向量能构成等边三角形，试确定的值。
课件7张PPT。新课标选修（1-2）第三章 数系的扩充与复数的引入测试题
一、选择题
1．复数是实数的充要条件是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ．为实数 Ｄ．为实数
答案：Ｂ
2．若复数满足，则等于（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ
3．满足条件的复数在复平面内对应的点的轨迹是 ．
Ａ．双曲线 Ｂ．双曲线的一支 Ｃ．两条射线 Ｄ．一条射线
答案：Ｂ
4．若，则方程的解是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｃ
5．等于（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
6．若，则的最大值是（ ）
Ａ．3 Ｂ．7 Ｃ．9 Ｄ．5
答案：Ｂ
三、填空题
7．设，，则虚数的实部为 ．
答案：0
8．复数的共轭复数在复平面上的对应点在第一象限内，则
实数的取范围是 ．
答案：
9．已知，则复数，对应点的轨迹是 ．
答案：以为圆心，以2为半径的圆
10．已知复数，，则的最大值与最小值之和为 ．
答案：
11．设，若对应的点在直线上，则的值是 ．
答案：
12．已知复数满足，且是纯虚数，则复数的值为 ．
答案：0或
三、解答题
13．证明：在复数范围内，方程（为虚数单位）无解．
证明：原方程化简为．
设，代入上述方程得．
将代入，得．
，
方程无实数解，原方程在复数范围内无解．
14．设为共轭复数，且，求和．
解：设，则
由条件得，
即，
由复数相等的充要条件，得
解得
15．设复数满足，且在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，，求和的值．
解：设
又，．
在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，
它的实部与虚部互为相反数，
，即．
代入，得，．
或．
当时，
，，即，
解得或；
当时，
，同理可解得或．
课件27张PPT。3．2 复数代数形式的四则运算
?3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义学习目标
1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则．
2．理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．课前自主学案实轴01＋4i1．复数的加法与减法
(1)复数的加、减法法则
(a＋bi)＋(c＋di)＝______________；
(a＋bi)－(c＋di)＝______________.
即两个复数相加(减)，就是实部与实部，虚部与虚部分别________．(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i相加(减)(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝______，(z1＋z2)＋z3＝__________．
2．复数加、减法的几何意义
(1)复数加法的几何意义z2＋z1z1＋(z2＋z3)平行四边形向量的加法被减向量的终点终点1．若复数z1，z2满足z1－z2>0，能否认为z1>z2?
提示：不能．如2＋i－i>0，但2＋i与i不能比较大小．
2．从复数减法的几何意义理解：|z1－z2|表示什么？
提示：表示Z1与Z2两点间的距离．课堂互动讲练类比实数的加减运算，若有括号，先计算括号内的；若没有括号，可从左到右依次进行． 计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a、b∈R)．
【思路点拨】 对于复数代数形式的加减运算只要把实部与实部、虚部与虚部分别相加减即可．【解】 (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)
＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i
＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i.
【思维总结】 复数的加减法运算，只需把“i”看作一个字母，完全可以按照合并同类项的方法进行．变式训练1 若复数z满足z＋3＋4i＝5＋2i，则z＝________.
解析：∵z＋3＋4i＝5＋2i，
∴z＝(5＋2i)－(3＋4i)＝2－2i.
答案：2－2i根据复数的两种几何意义可知：复数的加减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．【思路点拨】 画出图形，作出相应的向量借用向量加减法求复数．【思维总结】 要求某个向量对应的复数，只要找出所求的向量的始点和终点，或者利用相等向量．变式训练2 复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．利用复数加减法求解复数的综合运算
已知z1，z2∈C，且|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1.
求|z1＋z2|.
【思路点拨】 解答本题既可利用z1，z2的代数形式求解，又可利用复数运算的几何意义求解．【思维总结】 法一是一般方法，要注意整体代换；法二充分运用了复数加减法的几何意义，数形结合，解法简捷，值得借鉴．方法技巧
1．复数加减法法则的记忆
(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
(2)把i看作一个字母，类比多项式加减运算中的合并同类项．如例1.
2．根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算．如例2.失误防范
1．算式中若出现字母，首先要确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减．
2．复数的加减法可以推广到若干个复数，进行连加连减或混合运算．复数复习学案
知识结构
重点、难点、热点剖析
由于复数在整个高中数学所处的地位的改变，今后高考时复数不会有太多太高的要求，试题数量稳定在一道试题，难度不会太大，复数的概念及复数的运算是复数应用的基础，是高考考查的重点，复数的运算是复数的中心内容，是高考命题的热点。而复数的乘、除更是考查的重点，主要考查基本运算能力，另外复数的有关概念众多，涉及知识面广，易与三角、几何、向量知识、不等式等结合起来考查。
技巧方法
设z＝a＋bi(a,b),利用复数相等转化为实数问题是解决复数问题常用的方法，同时要学会以整体的角度出发去分析和求解，如果遇到复数就设z＝a＋bi(a,b),有时带来不必要的运算上的困难，若能把握住复数的整体性质，充分运用整体思想求解，则能事半功倍。
在简化运算中，如能合理运用i和复数的模等有关的性质，常能出奇制胜，事半功倍，所以在学习中注意积累并灵活运用。
性质：是复数运算与实数运算相互转化的重要依据，也是把复数看作整体进行运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐领会。
学习本章时，应注意联系全面学过的实数的性质，实数的运算内容，以便对复数的知识有较完整的认识。
注意点析
要注意实数、虚数。纯虚数、复数之间的联系与区别，实数集和虚数集都是复数集的真子集，它们的并集是复数集，它们的交集是空集，纯虚数集是虚数集的真子集，
当概念扩展到复数后，实数集R中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了，如不等式的性质、绝对值的定义、偶次方非负等。
熟练掌握复数乘法、除法的运算法则，特别是除法法则，更为重要，是考试的重点。
思想方法
数形结合这是本章的主要数学思想，例如复数本身的几何意义及四则运算的几何意义等。图形要画得合乎题意，充分利用图形的直观性，简捷巧妙的解题。
方程的思想，主要体现在复数相等的充要条件和复数方程。
3、转化思想，转化思想是复数的重要思想方法，既然在实数的基础上扩展到复数，自然复数中的许多问题都可以转化到实数集内解决，如求模运算，复数相等的充要条件及等，进行复数与实数间的转化。
4、分类讨论思想：它是一种比较重要的解题策略和方法，在复数中它能够使复杂问题简单化，从而化整为零，各个击破。
5、主要方法有：待定系数法、整体法；待定系数法是利用复数的代数形式，设复数z＝a＋bi的形式代入，再利用复数相等或其它途径，转化为与a，b相关的等式，求出a，b即可得到复数z。在复数学习中有必要根据条件与待求结论的特点，通过研究问题的整体形式、整体结构或作某些整体处理，这样往往可以避繁就简，化难为易，顺速解决问题。
典例分析
1、基本概念计算类
例1．若且为纯虚数，则实数a的值为_________
解：因为，＝，
又为纯虚数，所以，3a－8＝0，且6＋4a0。
2、复数方程问题
例2．证明：在复数范围内，方程（i为虚数单位）无解。
证明：原方程化简为设z＝x＋yi(x、y)，代入上述方程得 整理得
方程无实数解，所以原方程在复数范围内无解。
点评：本题主要考查复数方程等知识，一般是设Z的代数形式，利用复数相等的充要条件转化为代数方程。
3、综合类
例3．设z是虚数，是实数，且－1<<2
求|z|的值及z的实部的取值范围；
设，求证：M为纯虚数；
求的最小值。
分析：本题考查复数的概念、复数的模、复数的运算及不等式的知识，以及运算能力和推理能力。
解：（1）设z＝a＋bi（a，b）
因为，是实数，
所以，，即|z|＝1， 因为＝2a，－1<<2，
所以，z的实部的取值范围（－）。
（2）＝（这里利用了（1）中）。 因为a（－），，所以M为纯虚数。
（3）
因为，a（－），所以，a＋1>0， 所以2×2－3＝1，
当a＋1＝，即a＝0时上式取等号， 所以，的最小值是1。
点评：本题以复数的有关概念为载体，考查学生的化归能力，考查了均值不等式的应用，综合考查学生运用所学知识解决问题的能力。正是高考的重点。
4、创新类
例4．对于任意两个复数)定义运算“⊙”为
⊙＝，设非零复数在复平面内对应的点分别为,点O为坐标原点，若⊙＝0，则在中，的大小为_________.
分析：本题立意新颖，解题入口宽，是一道不可多得的好题。
解法一：（解析法）设，故得点，，且＝0，即
从而有＝ 故,也即
解法二：（用复数的模）同法一的假设，知
＝＋－2（）＝＋－2×0
＝＋＝＋
由勾股定理的逆定理知
解法三：（用向量数量积的知识）同法一的假设，知，则有
故
§3.2 复数的运算
3.2.1 复数的加法和减法
一、基础过关
1．若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于 ( )
A．0 B．2i
C．6 D．6－2i
2．复数i＋i2在复平面内表示的点在 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．复数z1＝3＋i，z2＝－1－i，则z1－z2等于 ( )
A．2 B．2＋2i
C．4＋2i D．4－2i
4．设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为 ( )
A．1＋i B．2＋i
C．3 D．－2－i
5．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z等于 ( )
A．－3i B．3i
C．±3i D．4i
6．计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 008＋2 009i)＋(2 009－2 010i)＋(－2 010＋2 011i)．
二、能力提升
7．若复数z1＝－1，z2＝2＋i分别对应复平面上的点P、Q，则向量对应的复数是________．
8．如果一个复数与它的模的和为5＋i，那么这个复数是________．
9．若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是________．
10．设m∈R，复数z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围．
11．复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是2＋i，向量对应的复数是1＋2i，向
量对应的复数是3－i，求C点在复平面内的坐标．
12．已知ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，求点D对应的复数．
三、探究与拓展
13．在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
(1)求，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状；
(3)求△ABC的面积．
答案
1．D 2．B 3．C 4．D 5．B
6．解 原式＝(1－2＋3－4＋…－2 008＋2 009－2 010)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2 009－2 010＋2 011)i
＝－1 005＋1 005i.
7．3＋i
8.＋i
9．1
10．解 ∵z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，
∴z1＋z2＝＋[(m－15)＋m(m－3)]i
＝＋(m2－2m－15)i.
∵z1＋z2为虚数，
∴m2－2m－15≠0且m≠－2，
解得m≠5，m≠－3且m≠－2(m∈R)．
11．解 ∵＝－，
∴对应的复数为
(3－i)－(1＋2i)＝2－3i，
设C(x，y)，则(x＋yi)－(2＋i)＝2－3i，
∴x＋yi＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i，
故x＝4，y＝－2.
∴C点在复平面内的坐标为(4，－2)．
12．解 方法一 设D点对应的复数为x＋yi (x，y∈R)，
则D(x，y)，又由已知A(1,3)，B(0，－1)，C(2,1)．
∴AC中点为，BD中点为.
∵平行四边形对角线互相平分，
∴，∴.
即点D对应的复数为3＋5i.
方法二 设D点对应的复数为x＋yi (x，y∈R)．
则对应的复数为(x＋yi)－(1＋3i)＝(x－1)＋(y－3)i，又对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i，
由于＝.∴(x－1)＋(y－3)i＝2＋2i.
∴，∴.
即点D对应的复数为3＋5i.
13．解 (1)对应的复数为2＋i－1＝1＋i，
对应的复数为
－1＋2i－(2＋i)＝－3＋i，
对应的复数为－1＋2i－1＝－2＋2i.
(2)∵||＝，||＝，
||＝＝2，
∴||2＋||2＝||2，
∴△ABC为直角三角形．
(3)S△ABC＝××2＝2.
