3. 2.2复数代数形式的乘除运算（学案）
预习目标： 1.复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念
2.掌握复数的代数形式的乘、除运算。
预习内容：
1.虚数单位:----------------------------------
2. 与－1的关系: ---------------------------------------
3. 的周期性：----------------------------------------------------
4.复数的定义------------------------------------------------------------
3. 复数的代数形式: -------------------------------------------------------------------
4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：-------------------------- --
5. 两个复数相等的定义：-------------------------------------------------
6. 复平面、实轴、虚轴：-------------------------------------------------------
8．复数z1与z2的和的定义：-----------------------------
9. 复数z1与z2的差的定义：-----------------------------------------
10. 复数的加法运算满足交换律: ------------------------------------
11. 复数的加法运算满足结合律:-----------------------------------------------------
提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
学习目标：掌握复数的代数形式的乘、除运算。
学习重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念
学习难点：乘除运算
学习过程：
1.复数代数形式的乘法运算：
例1．计算（1）
（2）
（3）
（4）
探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？
例2．1、计算（1） （2）（3）
探究：类比，试写出复数的除法法则
。2．复数的除法法则：
例3．计算，（师生共同板演一道，再学生练习）
练习：计算，
当堂检测：
1.设z=3+i,则等于
A.3+i B.3－i C. D.
2.的值是
A.0 B.i C.－i D.1
3.已知z1=2－i,z2=1+3i,则复数的虚部为
A.1 B.－1 C.i D.－i
4.设 (x∈R,y∈R),则x=___________,y=___________.
课后练习与提高：
已知复数z满足，求复数z.
复数z=a+bi,a,b∈R,且b≠0,若是实数，则有序实数对（a,b）可以是 .(写出一个有序实数对即可)
3.设z的共轭复数是，或z+=4,z·＝8，则等于D
（A）1 （B）-i (C)±1 (D) ±i
4.计算复数等于 （ ）
A．0 B．2 C． D．
5. ，若 则的值是（ ）
A．2i B． C． D．
3.2.2复数代数形式的乘除运算（教案）
教学目标：
知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算
过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题
情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
教学重点：复数代数形式的除法运算。
教学难点：对复数除法法则的运用。
教学过程：
学生探究过程：
1. 复数的加减法的几何意义是什么？
2. 计算（1） （2） （3）
3. 计算：（1） （2） （类比多项式的乘法引入复数的乘法）
讲解新课：
1.复数代数形式的乘法运算
①.复数的乘法法则：。
例1．计算（1） （2） （3）
（4）
探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？
例2．1、计算（1） （2）（3）
②共轭复数：两复数叫做互为共轭复数，当时，它们叫做共轭虚数。
注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数。
③类比，试写出复数的除法法则。
2．复数的除法法则：
其中叫做实数化因子
例3．计算，（师生共同板演一道，再学生练习）
练习：计算，
2．小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。
三、巩固练习：
1．计算（1） （2） （3）
2．若，且为纯虚数，求实数的取值。变：在复平面的下方，求。
课件6张PPT。高中新课标数学选修（1-2）第三章测试题
一、选择题
1．实数，满足，则的值是（ ）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ． Ｄ．
答案：Ａ
2．复数，的几何表示是（ ）
Ａ．虚轴
Ｂ．虚轴除去原点
Ｃ．线段，点，的坐标分别为
Ｄ．（Ｃ）中线段，但应除去原点
答案：Ｃ
3．，若，则（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ａ
4．已知复数，，若，则（ ）
Ａ．或 Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
5．已知复数满足的复数的对应点的轨迹是（ ）
Ａ．1个圆 Ｂ．线段 Ｃ．2个点 Ｄ．2个圆
答案：Ａ
6．设复数在映射下的象是，则的原象为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．－
答案：Ａ
7．设，为锐角三角形的两个内角，则复数对应的点位于复平面的（ ）
Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限
答案：Ｂ
8．已知，则（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．－
答案：Ｂ
9．复数，且，则（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．2
答案：Ｃ
10．表示（ ）
Ａ．点与点之间的距离
Ｂ．点与点之间的距离
Ｃ．点与原点的距离
Ｄ．点与点之间的距离
答案：Ａ
11．已知，，则的最大值和最小值分别是（ ）
Ａ．和 Ｂ．3和1
Ｃ．和 Ｄ．和3
答案：Ａ
12．已知，，，，，则（ ）
Ａ．1 Ｂ． Ｃ．2 Ｄ．
答案：Ｄ
二、填空题
13．若，已知，，则 ．
答案：
14．“复数”是“”的 ．
答案：必要条件，但不是充分条件
15．，分别是复数，在复平面上对应的两点，为原点，若，则为 ．
答案：直角
16．若是整数，则 ．
答案：或
三、解答题
17．已知复数对应的点落在射线上，，求复数．
解：设，则，
由题意得 ①
又由，得， ②
由①，②解得．
18．实数为何值时，复数．
（1）为实数；
（2）为虚数；
（3）为纯虚数；
（4）对应点在第二象限．
解：．
（1）为实数且，解得；
（2）为虚数
解得且；
（3）为纯虚数
解得；
（4）对应的点在第二象限
解得或．
19．设为坐标原点，已知向量，分别对应复数，且，，．若可以与任意实数比较大小，求，的值．
解：，则的虚部为0，
．
解得或．
又，．
则，，，．
．
20．已知是复数，与均为实数，且复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
解：设，为实数，．
为实数，
，则．
在第一象限，
解得．
21．已知关于的方程有实数根．
（1）求实数，的值；
（2）若复数满足，求为何值时，有最小值并求出最小值．
解：（1）将代入题设方程，整理得，
则且，解得；
（2）设，则，
即．
点在以为圆心，为半径的圆上，
画图可知，时，．
课件22张PPT。3．2.2 复数代数形式的乘除运算学习目标
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算．
2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．
3．理解共轭复数的概念．课前自主学案1．设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i，类似于把i看成未知数的多项式的加减运算．
2．对于两个非零复数z1和z2，|z1±z2|___|z1|＋|z2|.≤1．复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝_________________.
2．复数乘法的运算律
对任意复数z1、z2、z3∈C，有ac－bd＋(ad＋bc)iz1·(z2·z3)z1z2＋z1z3z2·z1实部相等，虚部互为相反数a－bi2．z2与|z|2有什么关系？
提示：当z∈R时，z2＝|z|2，当z为虚数时，z2≠|z|2，但|z|2＝|z2|.
3．对于复数z，z·0＝0成立吗？
提示：仍然成立．课堂互动讲练(1)复数的乘法可以按照乘法法则进行，对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便，例如平方差公式，完全平方公式等．
(2)复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．【思路点拨】 前2个小题按复数的乘法法则，能用乘法公式的要利用乘法公式，第(3)题是含幂运算的问题，可用i的性质．【思维总结】 对于复数的混合运算，仍可按照先乘方、再乘除、后加减的顺序，有括号先计算括号．解：原式＝－2i＋2i＋3－i－i＝3－2i.【思维总结】 本题充分利用了共轭复数的有关性质，使问题直接化简为2x＋1＝0而不是直接把z＝x＋yi代入等式．虚数单位i的周期性：
(1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N)．
(2)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)．
n也可以推广到整数集． 计算：i＋i2＋i3＋…＋i2010.
【思路点拨】 解答本题可利用等比数列求和公式化简或者利用in的周期性化简．法二：∵i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0，
∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)，
∴原式＝i＋i2＋(i3＋i4＋i5＋i6)＋(i7＋i8＋i9＋i10)＋…＋(i2007＋i2008＋i2009＋i2010)
＝i－1＋0＝－1＋i.
【思维总结】 等差、等比数列的求和公式在复数集C中仍适用，i的周期性要记熟，即in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)．变式训练3 计算：1＋2i＋3i2＋…＋2011i2010的值．方法技巧
1．复数的乘法运算法则的记忆
复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．
2．复数的除法运算法则的记忆
复数除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，即分子分母同乘以分母的共轭复数，若分母为纯虚数，则只需同乘以i.如例1(3)失误防范
1．z1＋z2＝0只是z1与z2共轭的必要条件．
2．在复数的乘除法中，注意要把i2化为－1后再化简．课件16张PPT。本章优 化 总 结知识体系网络专题探究精讲【思路点拨】 求复数z→化简w→待定a.【思维总结】 正确求z及化简w是解本题的关键．复数的乘除法的运算是历年高考在复数部分考查的重点，熟练掌握复数乘除法的运算法则，熟悉常见的结论和复数的有关概念是迅速求解的关键．【答案】 A【思路点拨】 首先求出a、b，再设z＝x＋yi，求x、y.【思维总结】 本题实际是求x2＝－1的方程的两根，设(x＋yi)2＝－1，也是求方程根的通法．复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义以及复数的加减法的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法．3.2.2 复数的乘法和除法
一、基础过关
1．复数－i＋等于 ( )
A．－2i B.i C．0 D．2i
2．i为虚数单位，＋＋＋等于 ( )
A．0 B．2i C．－2i D．4i
3．若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则 ( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝－1，b＝－1 D．a＝1，b＝－1
4．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．设复数z的共轭复数是，若复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·是实数，则实数t等于( )
A. B. C．－ D．－
6．若z＝，则复数等于 ( )
A．－2－i B．－2＋i
C．2－i D．2＋i
二、能力提升
7．设复数i满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________．
8．复数的虚部是________．
9．已知z是纯虚数，是实数，那么z＝________.
10．计算：(1)＋()2 010；
(2)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)．
11．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
12．已知复数z的共轭复数为，且z·－3iz＝，求z.
三、探究与拓展
13．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b、c为实数)．
(1)求b，c的值；
(2)试说明1－i也是方程的根吗？
答案
1．A 2．A 3．D 4．B 5．A 6．D
7．1
8．－
9．－2i
10．解 (1)＋()2 010
＝＋() 1 005＝i(1＋i)＋()1 005
＝－1＋i＋(－i)1 005＝－1＋i－i＝－1.
(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)
＝22－14i＋25－25i＝47－39i.
11．解 (z1－2)(1＋i)＝1－i?z1＝2－i.
设z2＝a＋2i，a∈R，则z1z2＝(2－i)·(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i，
∵z1z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i.
12．解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.
又z·－3iz＝，
∴a2＋b2－3i(a＋bi)＝，
∴a2＋b2＋3b－3ai＝1＋3i，
∴
∴或.
∴z＝－1，或z＝－1－3i.
13．解 (1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，
即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.
∴，得.
∴b、c的值为b＝－2，c＝2.
(2)方程为x2－2x＋2＝0.
把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，
∴1－i也是方程的一个根．
