高中数学必修五： 二元一次不等式（组）与平面区域教学设计

3.4二元一次不等式(组)与平面区域?
三维目标
一、知识与技能?
1.使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；
2.能画出二元一次不等式（组）所表示的平面区域.
二、过程与方法?
1.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想；?
2.提高学生“建模”和解决实际问题的能力；?
3.本节新课讲授分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出结论.??
三、情感态度与价值观?
1.通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力；?
2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.
教学重点与难点
教学重点： 会求二元一次不等式（组）表示平面的区域.?
教学难点： 如何确定不等式Ax＋By＋C＞0（<0）表示Ax＋By＋C=0的哪一侧区域.
教学过程
一．创设情境，引出问题
在现实生活中，许多问题都可以用数学知识来解决。数学里有相等的关系，也有各种不同的不等关系，这就需要用不同的数学模型来刻画和研究它们。前面我们学习了一元二次不等式及其解法，本节课我们将学习另一种新的不等关系，即二元一次不等式（组）及它的解集。（板书课题）
现看一个实际例子
一名刚参加工作的大学生为自己制定的每月用餐费的最低标准是240元，又知其他费用最少需支出180元，而每月可用来支配的资金为500元，这名新员工可以如何使用这些钱？
问题1：如果你是这位大学生，你该如何分配资金？
教师引导,问题分解：
1.题目中存在不等关系，该用什么模型刻画资金的分配问题？
2.把题目中的不等关系表示出来，你打算从哪里入手？
3.如何将文字语言转化为数学语言，列出不等式？
把实际问题转化为数学问题
解：设用餐费为x元，其他费用为y元，由题意知x不小于240，y不小于180，x与y的和不超过500，用不等式组表示为错误！未找到引用源。 x+y≤500
x≥240
y≥180
二：推进新课
（一）.二元一次不等式和二元一次不等式组的定义:
问题2：你能试着给二元一次不等式和二元一次不等式组下定义吗？
教师引导，类比于一元一次不等式（组）和二元一次不等式（组）的定义。
（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。
（2）二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。
（二）.二元一次不等式和二元一次不等式组的解集:
1．二元一次不等式的解集是满足二元一次不等式的有序实数对（x，y）构成的集合。也就是直角坐标系内的点构成的集合。
2. 二元一次不等式组的解集：是每个二元一次不等式解集的交集。
（三）二元一次不等式（组）解集的表示方法:
1.回忆：在数轴上一元一次不等式（组）的解集怎么表示呢？
数轴上的区间。
2.探究:
1．二元一次不等式的解集是满足二元一次不等式的有序实数对（x，y）构成的集合。也就是直角坐标系内的点构成的集合。
2. 二元一次不等式组的解集：是每个二元一次不等式解集的交集。
问题3：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？
互动探究:
1.让同学们在黑板上画出直线x-y-3=0
2.请同学们在该直线所在的直角坐标系上画出下列几个点的坐标。
A（0,1）B（1,2）C（-1,0）D（1,-2）E（4,-1）F（2,2）
请问，你们观察图，发现什么问题了吗？
老师：如图：在平面直角坐标系内，x-y－3＝0表示一条直线。平面内所有的点被直线分成三类：
第一类：在直线x-y-3=0上的点；
第二类：在直线x-y-3=0左上方的区域内的点；
第三类：在直线x-y-3=0右下方的区域内的点。
将A，B，C,F四个点代入x-y-3中，发现这四个点都满足x-y-3<0.那么，同学们你们有没有猜想到，直线x-y=3左上方的点都满足x-y-3<0吗？
请同学们证明直线x-y=3左上方的任意一点都满足x-y-3<0
证明：在直线x-y-3=0左上方任意取一点A(x1,y1).在直线x-y-3=0上找一点P（x0,y0）并且x1=x0
∵ 点P在直线x-y-3=0
∴ x0-y0-3=0
又 ∵ x1=x0, y1>y0
∴ x1-y1-3即 x1-y1-3<0
∴ 直线x-y-3<0左上方的点都满足。
类似的：二元一次不等式x-y-3>0表示直线x-y-3＝0右下方的区域
归纳：同侧同号，异侧异号。
直线x-y-3=0叫做这两个区域的边界。
由特殊例子推广到一般情况：
（四）结论：
二元一次不等式Ax+By+C＞0（<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
问题4：你能归纳出判断二元一次不等式表示平面区域的方法吗？试试看
直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入Ax+By+C所得实数的符号都相同，只需在直线的某一侧任取一点(x0,y0),根据Ax+By+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线的哪一侧区域，C≠0时，常把原点作为特殊点。
由特殊例子推广到一般情况：
【应用举例】
例1 画出不等式表示的平面区域。
解：先画直线（画成虚线）.
取原点（0，0），代入+4y-4,∵0+4×0-4=-4＜0,
∴原点在表示的平面区域内，不等式表示的区域如图：
归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。特殊地，当时，常把原点作为此特殊点。
变式
画出不等式所表示的平面区域。
例2 用平面区域表示.不等式组的解集。
分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
解：不等式表示直线右下方的区域，表示直线右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。
归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
变式：请同学们完成我们上课时提出的那个问题，这个大学生如何分配资金？并画出图进行表示。
课堂小结：
同侧同号，异侧异号；直线定界，特殊点定域；边界线虚实要分明。
作业布置：
教材98页 第2题，第4题
教后反思：
本节课先由老师根据教材的所给的实际问题引出二元一次不等式（组）的一些基本概念，由一元一次不等式组的解集可以表示为数轴上的区间，引出问题：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？从学生通过画点，画直线，共同发现问题，再由老师进行证明，得出同侧同号，异侧异号。下来通过一个具体的一元二次不等式入手，分析得出一般的一元二次不等式表示的区域及确定的方法，以此激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度.通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生深刻理解一元二次不等式表示的区域的概念，有利于二元一次不等式（组）与平面区域的教学.讲述完一元二次不等式表示的区域和二元一次不等式（组）与平面区域后，总结一元二次不等式表示的区域的概念和二元一次不等式（组）与平面区域，得出二元一次不等式（组）与平面区域两者之间的联系，辅以新的例题巩固,再回归到先前的具体实例.整个教学过程，让学生体验数学的奥秘与数学美，激发学生的学习兴趣.?