高中数学必修五： 简单线性规划的应用教学设计

3.4 简单线性规划的应用
教学目的：
1．能运用线性规划的原理和方法处理实际问题；
2．培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想;
3. 结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新.
教学重点：实际问题的数学化.
教学难点：线性规划整数解中最优解的求法
教学过程：
一、复习回顾 (利用微课)
简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，其求解的格式如下：
(1)寻找线性约束条件，确定线性目标函数；
(2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
(3)作出直线，平行移动直线，以使得和可行域有公共点.若，则处于最上方时对应的取得最大值；处于最下方时对应的取得最小值.若，则处于最下方时对应的取得最大值；处于最上方时对应的取得最小值.
二、例题分析
例1、医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐，甲种原料每10含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质，试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？（利用几何画板）
分析：求解应用问题
1．建模：
（1）列出目标函数；（2）列出约束条件
2．求解：利用简单线性规划理论
3．作答
练习 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。若生产1车皮甲种肥料产生的利润为10000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为5000元，那么生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？
例2、某工厂生产一种产品，其成本为27元/，售价为50元/.生产中，每千克产品生0.3的污水，污水有两种排放方式：
方式一：直接排入河流.
方式二：经厂内污水处理站处理后排入河流，但受污水处理站技术水平的限制，污水处理率只有85%.污水处理站最大处理能力是0.9，处理污水的成本是5元/.
另外，环保部门对排入河流的污水收费标准是17.6元/，且允许该厂排入河流中污水的最大量是0.225.那么，该厂应选择怎样的生产与排污方案，可使其每时净收益最大？（利用几何画板）
例3、要将两种大小不同的钢板截成Ａ、Ｂ、Ｃ三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
　　规格类型
钢板类型
A规格
B规格
C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，则
作出可行域（如右图）：（阴影部分）
目标函数为z=x+y
作出一组平行直线x+y=t,其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线x+3y=27和直线2x+y=15的交点A（），直线方程为x+y=.
由于都不是整数，而最优解（x,y）中，x,y必须都是整数，可行域内点（）不是最优解.
经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x+y=12,经过的整点是B(3,9)和C(4,8),它们都是最优解.
答:要截得所需三种规格的钢板,且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种:第一种截法是截第一种钢板3张.第二种钢板9张;第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张.两种方法都最少要截两种钢板共12张.
说明：线性规划问题的最优解（）不是实际问题的最优解,应使学生注意到具有实际意义的x,y应满足x∈N,y∈N.故最优解应是整点坐标.
三、课堂练习 P107练习
两个产地生产同一规格的产品，产量分别是1.2万，0. 8万,而三地分别需要该产品0.8万，0.6万，0.6万，从产地运往三地每万吨的运价分别为40万元，50万元，60万元；从产地运往三地每万吨的运价分别为50万元，20万元，40万元，怎样确定调运方案可使总的运费最少？.
四、课后小结
求解“线性规划”应用问题步骤
1．建模：（1）列出目标函数；（2）列出约束条件
2．求解：利用简单线性规划理论求最值和最优解
3．作答
五、布置作业
1.教材p109B组第2题.
2.优化设计相关内容