人教版高一上学期数学教案：必修二2.1.3两条直线的位置关系

直线和圆的方程（新教材）
宁夏中卫一中　马银斌
课题　　两条直线的位置关系（第二课时　夹角）
一、教学目标
1．知识技能目标：
（1）理解一条直线到另一条直线所成角（到角）及两条直线夹角的概念。
（2）会根据直线方程求L1到L2的角及两直线的夹角。
（3）能运用到角公式及夹角公式解决一些问题。
2．学习能力发展目标：
（1）解决两直线关于一条直线对称性的问题及三角形中求角或角平分线方程问题。
（2）培养学生对数学概念的理解能力、辨别能力、判断能力和数学公式的应用能力，掌握科学的思维方法。
3．态度情感目标：
（1）通过由直线的方程来研究两直线夹角过程的学习，使学生形成处理同一问题的不同的对策意识。
（2）初步形成处理不同问题时树立新的处理对策的意识。
（3）初步树立唯物辩证法中普遍联系的观点：由三角公式推导夹角公式的思维体系，由解析法解决几何问题的思想方法。
二、教材内容及重点、难点分析
1． 依据教学任务中的能力和情感的发展目标以及教材内容的特点，所确定的认知途径是：
初中平面几何中已经研究过两条直线的夹角问题，在学习三角形时知道了三角形的内角就是两边所成的角，它既可以是锐角（两边所在直线的夹角），又可以是钝角（一边围绕顶点旋转到另一边所成的角）；任何一条直线都有唯一确定的方程，两直线夹角问题的提出，为我们通过直线方程研究角提出了新的方法；运用直线的倾斜角及两角和正切公式推导到角公式和夹角公式。应用到角公式及夹角公式进行运算，解决一些实际问题是本节重要内容之一。
2．上述知识技能的教学顺序及重点难点是：
（1）两条直线相交（不垂直）构成绝对值小于平角的四个角，其中锐角就是两直线的夹角。
（2）一条直线到另一条直线的角（带方向的角）。
（3）L1到L2所成角公式的推导。
（4）L1与L2夹角公式的推导。
（5）到角公式及夹角公式的基本应用。
（6）应用两个公式解决一些实际问题。
重点内容：（1）、（2）、（5）、（6）
难点内容：（3）、（6）
三、教学对象分析
1．初始知识技能和教学难点分析：
（1）学生具有平面几何中角的相关概念、三角形的内角等知识背景。
（2）直线的斜率和倾斜角、直线的方程、两角和的正切公式，这些问题是学生学习的初始知识技能。
（3）推导夹角公式及应用该公式解决问题是学生学习过程中的难点内容。
2．学生原有认知结构分析：
（1）具有在平面几何中运算角的大小的思维定势，从而把角的大小运算仅仅局限在直接相加减上，导致了后继知识学习的困难，不利于建立起由直线的方程求角的大小的知识体系。
（2）具有已知三角函数值求角的大小及三角形一个外角等于与它不相邻的两内角和的认知结构，这为后继知识的学习做好了准备。
3．多媒体教学能激发学生的好奇心和对新知识求知的欲望，能增加教学内容的深度和广度，据此采用多媒体教学手段进行教学。
4．重视对对象的学习与处理，使之形成新的认知结构。如：两条直线关于第三条直线的对称，入射光线与反射光线关系的处理，若干条直线（或线段）形成的角问题，都可以考虑运用解析法的思想加以解决。
四、教学策略及教法设计
依据教学策略中的知识技能层级序列，教学策略及教学方法制定如下：
教学环节：斜率不存在（至少有一条直线与ｘ轴垂直）时两条直线的夹角---直线L1到直线L2的角(定义1)---L1与L2的夹角(定义2)---L1到L2的角与L2到L1的角的关系---斜率都存在时L1到L2所成角公式的推导---夹角公式---公式应用举例及反馈练习。
认识活动过程：采用皮亚杰平衡化过程的学习模式，把讲练结合起来，在反馈练习的过程中得以巩固与发展。
教学组织形式：由于大多数学生对多媒体教学具有新鲜感，易于对教学内容产生学习兴趣，所以采用以多媒体为载体的接受式学习组织形式，呈现知识技能结构中的知识背景，以适合班级体的教学组织活动，让学生自主讨论解决，使他们树立自主学习的能力，并逐步学会自主学习。
五、教学媒体设计
1、学习引入过程，运用原有的认知结构，以形成对解决新知识的前提背景，采
用“模象系统媒体”，以提高时间的利用效率。
公式推导与应用过程中，以对象播放的先后顺序，使学生形成一定的思维体系，从而使教学情景更生动，概念揭示更深刻，思维的广度更具批判性。
对夹角的定义及到角公式，推理过程等思维整理加工时，运用“口头语言系统媒体”。
总结与反馈练习的过程中，采用“模象系统媒体”，通过多媒体幻灯片的显示，在激发学生学习兴趣的同时，提高了课堂学习的效率。
六、教学过程：
（一）复习引入
1.两角和正切公式是什么？斜率的定义是什么？
2.解析几何中怎样判断两条直线的平行和垂直？
3. 区分以下两组直线的相交程度用什么量刻画？

2
1 3
4
(二)新课要点
想一想：
观察上图中两组相交直线，自己下定义以便区分两组对顶角。
基本概念：
 定义1：L1到 L2角的定义
两直线相交，把l1直线依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做 l1 到 l2 的角.
定义2：两条直线所成的角（简称夹角）的定义两条直线相交，称不大于900时的角叫做两直线所成的角，简称夹角.
说明：
(1)把L1到L2的角记为 θ1，把L2到L1的角记为θ2，那么θ1与θ2的关系为: θ1+ θ2= 1800
(2)两条直线的夹角范围是：00 <θ 〈900
2．到角公式推导：
如果直线方程中有一直线的斜率不存在时：
（2）如果两条直线的斜率都存在时：

3．公式结构特征：．
公式中分子是方向角中终边所在直线的斜率减去始边所在直线斜率，其顺序不能改变。若用 计算得L2到L1的角的正切值，求得角等于1800
分母为1+k2k1不为零:当1+k2k1=0时两直线垂直，到角为900
③这个公式只能计算得到到角θ的正切值，而且正切值有可能为正，也有可能为负。
课堂练习1：
（课本50页第1题）：
4、夹角公式的推导：
夹角与到角的关系：若我们设l1与l2所成角为 ，则：
(1)当tanθ> 0时， θ范围是00<θ<900, 与θ的关系是：，则：夹角等于“到角”；
(2)当tanθ<0时，θ范围是900<θ<1800，，给以上等式两边取正切值，所以：
。于是L1与L2夹角的正切值计算公式为：
理解：
（1）应用两角差的正切值公式。
只能求斜交的两直线夹角。
5．应用举例：
例5．求直线L1：y=－2x+3,L2: y = x － 的夹角。
例6．已知直线L1：A1x+B1y+C1=0和L2：A1x+B1y+C1=0（B1≠0，B2≠0，A1A2+B1B2≠0），直线L1到
L2的角是θ，求证：
课堂练习2
求下列两直线的夹角（课本50页第2题）:
（1）y=3x－1,
（2） x－y=5, y=4
（3）5x－3y=9, 6x+10y+7=0

6．延伸应用：
例7. 等腰三角形一腰所在直线L1的方程是x-2y-2=0,底边所在直线L2的方程是x+y-1=0,点(-2,0)在另一腰上(如图),求这条腰所在直线L3的方程.

L2 L2
L1 L3 L3 L1

（三）归纳小结：
1.定义角推导求角公式求角
2.主要数学思想方法：
解析几何主要思想是用代数的方法解决几何问题
多媒体应用分析：
从学生学过的，但下面推导公式又必须用到的斜率概念，两角和公式及两直角线位置关系的特殊情况，利用多媒体幻灯片显示。形象直观地展现给学生，为学生学习后继知识做好准备。
２、在操作的灯片时，根据学生对问题的掌握与理解程度，适时地点击鼠标，以显示概括学生的思维过程。
３、通过直观具体的演示，初步确定两直线在不同相交情况下的区分方法。
４、通过幻灯片的放映在学生形成对概念感性认识的基础上，抽象概括出一条直线到另一条直线的角及两条直线夹角的定义。同时，对概念的两点说明，首先让学生思考，然后再由幻灯片演示结果。
５、在学生原有知识结构中对角的概念理解的基础上，为了区别到角及夹角不同于
其它类型的角，在学生充分考虑之后，通过播放幻灯片，使学生对概念的理解更加深刻，从而达到了对不同问题，应该求到角还是夹角的目的。
6、公式的推理过程是一个理解性的思维过程，为了充分揭示这一过程的思维本质，通过播放幻灯片，点击鼠标逐步演示，揭示出了这一思维过程的本质特征。
７、通过幻灯片总结概括公式的基本特征，加深对公式的记忆。
８、学生在自己思考练习1之后，利用幻灯片呈现解答过程，以提高课堂效率。
９、夹角公式是在到角公式基础上推导出来的。在这一问题分析讲解过程中利用幻灯片的快速高效性完成这一工作。
10、这里总结概括了夹角公式的结构特征，从而加深了对公式结构的记忆。同时也说明了公式应用的范围。
11、例5之后学生可做练习第2题，这几个题目中（1）（2）小题是直接运用夹角公式就可以解决的问题。学生解答后，通过幻灯片显示过程。
12、例6的结论在今后学习后继知识时可作为结论直接应用，在幻灯片中以彩色显示，以加深对式子结构的印象。
13、分析讲解例7的关键在于L1到L2的角总是等于L2到L3的角。
14、既要总结方法，又要提练思想方法，然后通过数学思想的指导，选择恰当的方法解决相关问题，这是数学教学的主要任务之一。
七、版面设计
两条直角的夹角
定义1
定义2
到角公式的推导
(1)当K1K2=-1时，……
(2)当K1K2≠-1时，……
夹角公式推导
引伸应用
（例7）
应用举例
（例5、例6）
角的范围
练习板演
课后作业布置
八、练习设计
1、讲完列角公式后做练习1。（以幻灯片演示解答过程）
2、讲完例5后做练习2。
3、讲完例6后，思考解答课堂练习（幻灯片演示）
4、讲完例7后，布置课后作业。（P54：8、9、10）
九、教学过程流程图
十、多媒体课堂课件（附）