高中数学必修5人教版：3.3.2 简单线性规划问题第2课时教案
文档属性
| 名称 | 高中数学必修5人教版：3.3.2 简单线性规划问题第2课时教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 210.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-11 10:36:06 | ||
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文档简介
3.3.2 简单线性规划问题
教学目标
1.掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;?
2.运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.
教学重点：用图解法解决简单的线性规划问题
教学难点：准确求得线性规划问题的最优解
教学过程
第2课时?
导入新课
师 前面我们学习了目标函数、线性目标函数、线性规划问题、可行解、可行域、最优解等概念.?
师 同学们回忆一下用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤.?
生（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）;?
（2）设t=0，画出直线l0;?
(3)观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解;?
(4)最后求得目标函数的最大值及最小值.
推进新课
师 【例1】 已知x、y满足不等式组试求z=300x+900y的最大值时的整点的坐标及相应的z的最大值.?
师 分析：先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使z=300x+900y取最大值时的整点.?
解：如图所示平面区域AOBC，点A（0，125），点B（150，0），点C的坐标由方程组
得C（,），?
令t=300x+900y，?
即,?
欲求z=300x+900y的最大值，即转化为求截距t900的最大值，从而可求t的最大值，因直线与直线平行，故作的平行线，当过点A（0，125）时，对应的直线的截距最大，所以此时整点A使z取最大值，zmax=300×0+900×125=112 500.?
师 【例2】 求z=600x+300y的最大值，使式中的x、y满足约束条件3x+y≤300，x+2y≤250， x≥0,y≥0的整数值.?
师 分析：画出约束条件表示的平面区域即可行域再解.?
解：可行域如图所示.?
四边形AOBC，易求点A（0，126），B（100，0）,由方程组?
得点C的坐标为（,).?
因题设条件要求整点（x,y)使z=600x+300y取最大值，将点（69，91），（70，90）代入z=600x+300y，可知当x=70, y=90时，z取最大值为zmax=600×70+300×900=69 000.?
师 【例3】 已知x、y满足不等式求z=3x+y的最小值.?
师 分析：可先找出可行域，平行移动直线l0:3x+y=0找出可行解，进而求出目标函数的最小值.?
解：不等式x+2y≥2表示直线x+2y=2上及其右上方的点的集合；?
不等式2x+y≥1表示直线2x+y=1上及其右上方的点的集合.?
可行域如右图所示.?
作直线l0:3x+y=0，作一组与直线l0平行的直线l:3x+y=t(t∈R).?
∵x、y是上面不等式组表示的区域内的点的坐标.?
由图可知：?
当直线l:3x+y=t通过P（0，1）时，t取到最小值1，即z min=1.?
师 评述：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：?
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；?
（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；?
（3）在可行域内求目标函数的最优解.?
师 课堂练习：请同学们通过完成练习来掌握图解法解决简单的线性规划问题.?
（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件
（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件
［教师精讲］?
师 （1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件
解：不等式组表示的平面区域如右图所示：?
当x=0,y=0时，z=2x+y=0，?
点（0，0）在直线l0:2x+y=0上.?
作一组与直线l0平行的直线l:2x+y=t,t∈R.?
可知在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（2，-1）的直线所对应的t最大.?
所以z max=2×2-1=3.?
（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件
解：不等式组所表示的平面区域如右图所示.?
从图示可知直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点（,）的直线所对应的t最大.?
所以z min=3×(-2)+５×(-1)=-11,z max=3×+5×=14.?
［知识拓展］?
某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t，需耗A种矿石10 t、B种矿石5 t、煤4 t；生产乙种产品需耗A种矿石4 t、B种矿石4 t、煤9 t.每1 t甲种产品的利润是600元，每1 t乙种产品的利润是1 000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过360 t、B种矿石不超过200 t、煤不超过300 t，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1 t），能使利润总额达到最大？?
师 分析：将已知数据列成下表：?
消耗量 产品
资源
甲产品（1 t）
乙产品(1 t)
资源限额（t）
A种矿石（t）
10
4
300
B种矿石(t)
5
4
200
煤(t) 利润（元）
4
9
360
600
1 000
解：设生产甲、乙两种产品分别为x t、y t，利润总额为z元，?
那么
目标函数为z=600x+1 000y.?
作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域.
作直线l:600x+1 000y=0,?
即直线:3x+5y=0,?
把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=600x+1 000y取最大值.?
解方程组
得M的坐标为x=≈12.4,y=≈34.4.?
答：应生产甲产品约12.4 t，乙产品34.4 t，能使利润总额达到最大.
课堂小结
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：?
（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.?
（2）设t=0，画出直线l0.?
（3）观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.?
（4）最后求得目标函数的最大值及最小值.?
以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：?
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；?
（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；?
（3）在可行域内求目标函数的最优解.?
当然也要注意问题的实际意义
布置作业
课本第105页习题3.3A组3、4.?
教学目标
1.掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;?
2.运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.
教学重点：用图解法解决简单的线性规划问题
教学难点：准确求得线性规划问题的最优解
教学过程
第2课时?
导入新课
师 前面我们学习了目标函数、线性目标函数、线性规划问题、可行解、可行域、最优解等概念.?
师 同学们回忆一下用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤.?
生（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）;?
（2）设t=0，画出直线l0;?
(3)观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解;?
(4)最后求得目标函数的最大值及最小值.
推进新课
师 【例1】 已知x、y满足不等式组试求z=300x+900y的最大值时的整点的坐标及相应的z的最大值.?
师 分析：先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使z=300x+900y取最大值时的整点.?
解：如图所示平面区域AOBC，点A（0，125），点B（150，0），点C的坐标由方程组
得C（,），?
令t=300x+900y，?
即,?
欲求z=300x+900y的最大值，即转化为求截距t900的最大值，从而可求t的最大值，因直线与直线平行，故作的平行线，当过点A（0，125）时，对应的直线的截距最大，所以此时整点A使z取最大值，zmax=300×0+900×125=112 500.?
师 【例2】 求z=600x+300y的最大值，使式中的x、y满足约束条件3x+y≤300，x+2y≤250， x≥0,y≥0的整数值.?
师 分析：画出约束条件表示的平面区域即可行域再解.?
解：可行域如图所示.?
四边形AOBC，易求点A（0，126），B（100，0）,由方程组?
得点C的坐标为（,).?
因题设条件要求整点（x,y)使z=600x+300y取最大值，将点（69，91），（70，90）代入z=600x+300y，可知当x=70, y=90时，z取最大值为zmax=600×70+300×900=69 000.?
师 【例3】 已知x、y满足不等式求z=3x+y的最小值.?
师 分析：可先找出可行域，平行移动直线l0:3x+y=0找出可行解，进而求出目标函数的最小值.?
解：不等式x+2y≥2表示直线x+2y=2上及其右上方的点的集合；?
不等式2x+y≥1表示直线2x+y=1上及其右上方的点的集合.?
可行域如右图所示.?
作直线l0:3x+y=0，作一组与直线l0平行的直线l:3x+y=t(t∈R).?
∵x、y是上面不等式组表示的区域内的点的坐标.?
由图可知：?
当直线l:3x+y=t通过P（0，1）时，t取到最小值1，即z min=1.?
师 评述：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：?
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；?
（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；?
（3）在可行域内求目标函数的最优解.?
师 课堂练习：请同学们通过完成练习来掌握图解法解决简单的线性规划问题.?
（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件
（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件
［教师精讲］?
师 （1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件
解：不等式组表示的平面区域如右图所示：?
当x=0,y=0时，z=2x+y=0，?
点（0，0）在直线l0:2x+y=0上.?
作一组与直线l0平行的直线l:2x+y=t,t∈R.?
可知在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（2，-1）的直线所对应的t最大.?
所以z max=2×2-1=3.?
（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件
解：不等式组所表示的平面区域如右图所示.?
从图示可知直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点（,）的直线所对应的t最大.?
所以z min=3×(-2)+５×(-1)=-11,z max=3×+5×=14.?
［知识拓展］?
某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t，需耗A种矿石10 t、B种矿石5 t、煤4 t；生产乙种产品需耗A种矿石4 t、B种矿石4 t、煤9 t.每1 t甲种产品的利润是600元，每1 t乙种产品的利润是1 000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过360 t、B种矿石不超过200 t、煤不超过300 t，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1 t），能使利润总额达到最大？?
师 分析：将已知数据列成下表：?
消耗量 产品
资源
甲产品（1 t）
乙产品(1 t)
资源限额（t）
A种矿石（t）
10
4
300
B种矿石(t)
5
4
200
煤(t) 利润（元）
4
9
360
600
1 000
解：设生产甲、乙两种产品分别为x t、y t，利润总额为z元，?
那么
目标函数为z=600x+1 000y.?
作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域.
作直线l:600x+1 000y=0,?
即直线:3x+5y=0,?
把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=600x+1 000y取最大值.?
解方程组
得M的坐标为x=≈12.4,y=≈34.4.?
答：应生产甲产品约12.4 t，乙产品34.4 t，能使利润总额达到最大.
课堂小结
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：?
（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.?
（2）设t=0，画出直线l0.?
（3）观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.?
（4）最后求得目标函数的最大值及最小值.?
以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：?
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；?
（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；?
（3）在可行域内求目标函数的最优解.?
当然也要注意问题的实际意义
布置作业
课本第105页习题3.3A组3、4.?