21.2．1二次函数的图象和性质 教学设计
课题
21.2.1二次函数的图象和性质
单元
21章
学科
数学
年级
九
学习
目标
一、教学目标
1.知识与技能：知道二次函数y=
????
2
的图像是抛物线，会画函数的图像，并能归纳出图 像的特征.
2.过程与方法：通过画图、观察、比较、分析，归纳得到抛物线y=
????
2
的特征，从而掌 握二次函数y=
????
2
的直观性质.
3.情感、态度和价值观：体会数形结合的思想方法，提高观察、分析、归纳和概括的能力。
重点
1．教学重点：
二次函数y=
????
2
的图像特征的归纳
难点
二次函数的y=
????
2
图像特征的运用
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
问1：前一节课我们学习了二次函数的概念，请回顾一下二次函数的定义？
问2：定义中 a≠0，那bc可以为0吗？
如果 c =0，则解析式可简化为怎样的？
问3：如果c=0，b也等于0时，则解析式简化为怎样？
师：就像一次函数一样，有了函数概念，我们还要研究函数图像．我们先从 y=
????
2
（a≠0）的图像开始研究．
答 1：一般的，形如 y=
????
2
+????+??
（a,b,c是常数a≠0）的函数，叫二次函数。
答2：可以的 y=
????
2
+????（a≠0）
答3： y=
????
2
（a≠0）
从二次函数的概念的复习入 手，由a,b,c这三 个常数的取值变化来引入 y=
????
2
（a≠0）
这种二次函数的解析式，并由此 开始二次函数图像的研究。
讲授新课
学习新知
问1： 一次函数的图像的描画过程是怎样的？
师：我们研究二次函数 y=
??
2
的图像：
问2：先列表，首先要考虑自变量的取值范围，自变量x的取值范围是什么？
师：考虑自变量x可以取任意实数，因此以0为中心选取x的值，列出函数对应值表.
/
师：然后在几何画板的坐标平面中描点，在描点过程中分别取x的值和相应的函数值y作为点的坐标
/
师：最后用平滑的曲线顺次联结各点，得到函数 y=
??
2
的图像
师：二次函数 y=
??
2
的图像是一条曲线，它属于一类特殊的曲线。
这类曲线称为抛物线．二次函数 y=
??
2
的图像就称为抛物线 y=
??
2
。
问1：图形与y轴的交点在哪里？
问2：图形从直观上有何特点？是否对称？开口方向如何？
师：我们来探讨一下图形为何是一个轴对称图形： 问3：刚才取点时取得x的点除0外都是互为相反数，这些互为相反数的x的值所对应y的值有何特点？
问4：互为相反的x的值和对应的y的值在直角坐标系中所表示的点有何特点？
问5：满足与y轴对称的点的集合是一个曲线，那么这样的曲线有何特征呢？
问6：对称轴两侧的对称点的连线段和y轴之间有着怎样的关系？
问7：此图形有无最高点、最低点，为什么？
师：我们发现，这个最低点是图像与对称轴的交点，即是原点O．除这个交点外，抛物线上所有的点都在x轴的上方，因而这个交点是抛物线的最低点。
抛物线的顶点：抛物线与它的对称轴的交点叫抛物线的顶点． 抛物线 y=
??
2
的顶点是原点O（0，0）。
【适时小结】
抛物线 y=
??
2
的图形特征：
1、开口方向向上；
2、是轴对称图形，对称轴是y轴，即直线x=0；
3、抛物线的顶点是原点O（0，0）
试一试：用上述方法取相同的x的值画出二次函数 y=
???
2
的图像，与 y=
??
2
的图像进行比较再归纳它的特征.
/
/
问1：取与 y=
??
2
相同的x的值，我们发现 y=
???
2
所得到的y值与 y=
??
2
的y值有何特点？
问2：为何会这样？
问3：这样的话抛物线会有怎样的变化？
问:4： y=
??
2
的图像与 y=
???
2
的图像之间有没有对称性？
问5： y=
??
2
和 y=
???
2
在图像上有何异同？先讲讲有何相同之处？
【适时小结】
抛物线 y=
???
2
的图像特征：
1、 开口方向向下；图像在y轴左侧部分 上升，y轴右侧部分下降．
2、 它是轴对称图形，对称轴是y轴，即 直线x=0. 3、 顶点是坐标原点，而且它是抛物线的最高点． y=
???
2
的图像与 y=
??
2
的图像关于x轴对称．
例题 在同一个平面直角坐标系xOy中，分别画出二次函数??=
1
2
??
2????
和???=2
??
2
和的图像．
问1：画图像时如何取点，怎么取？
（1）列表：
/
⑵描点：（教师描点，连线）
/
问2：连线时要注意什么？
⑶连线：
问3:抛物线??=
1
2
??
2????
和???=2
??
2
和有何共同特征？
问4：有何不同？
问5:从 y=
??
2
的图像与 y=
???
2
的图像开口方向和比较；以及 和开口方向的比较，我们是否可以得出) y=
????
2
（a≠0）当a大于或小于零时，开口方向的变化规律？
【适时小结】
一般，二次函数 y=
????
2
（a≠0）图像 是抛物线，称为抛物线 y=
????
2
（a≠0）
2、 抛物线 y=
????
2
（a≠0）是轴对称图 形，对称轴是y轴,即直线x=0;
3、 顶点坐标是原点，抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当a>0时，它开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，它开口向下，顶点是抛物线的最高点
师：把 y=
??
2
的图像与 y=
???
2
和 显示在同一个几何画板，进行比较。
/
问：从上图的 y=
????
2
（a≠0）的图像中， 我们猜测一下，|a|的大小与抛物线开口大 小有没有关系？
答1： 列表，描点，连线．
答2：x可以取一切实数．
教师取x值，由学生回答y值共同完成数值列表。
答1：在坐标原点
答2：轴对称;开口方向向上．
答3：每一对互为相反的x的值所对应的y的值都相等．
答4：都关于y轴对称．
答5：曲线关于y轴对称
答6：对称轴垂直平分对称点的连接线段．
答7：此图形在y轴两边分别向左上方和右上方无限伸展，因而没有最高点，只有最低点，为坐标原点。
答1：相同x的值所对应的y值互为相反
数．
答2：因为 y=
??
2
与y=
???
2
?的解析式的比较中，明显是
??
2
前的系数由+1变成-1.函数值是互为相反数的关系．
答3：所以从图像看曲线开口由向上变成了向下．
答4：两个图像关于x轴对称
答5： 相同点：
1） 都是抛物线，且抛物线的顶点是同一个点，都是坐标原点。
2） 都关于y轴（直线x=0）对称．
不同点：
1）抛物线 y=
??
2
开口方向向上， 图像在y轴左侧部分下降，y轴右侧部分上升．抛物线 y=
???
2
开口 方向向下，图像在y轴左侧部分是上升的，右侧部分是下降的．
2） y=
??
2
顶点是图像最低y=
???
2
??顶点是图像最高点
学生回答，教师补充．
答1：列表，选取原点及两侧各3个对称点共7个点，列表取x值，计算y值。
答2：连线时要用光滑的曲线联结，注意两边要出头．
答3： 都是以y轴为对称轴的轴对称图形，顶点都是原点
答4：抛物线 /开口向上， 向左上方和右上方无限延伸，在y轴左侧部分下降，在y轴右侧部分上升．
顶点是抛物线最低点．
抛物线 /?开口向下，向左 下方右下方无限延伸，在y轴左侧部分上升，在y轴右侧部分下降．顶点是抛物线最高点。
答5：当a>0时，开口方向向上；a<0时，开口方向向下。
答：有，|a|越大，抛物线开口就 越小；反之，|a|越小，抛物线开 口就越大
从回顾一次函数图像的描画过程来引入二次函数图像的描画过程。
这里可以告诉学生；既然x可以取一切实数（正数，负数和零），我们不妨选取零和一些互为相反的正负数． 数值表的取值中，x值由老师提出，可由学生算出y值．
教师在几何画板中输入坐标数对，几何画板自动生成平面上的点．这样比黑板画图更为漂亮、精确和高效，也便于下一步连线成抛物线。
在几何画板中用函数绘制工 具画出 y=
??
2
的图像，曲线经过已取的各点．表明这些点的几何即为此抛物线。
此时引出抛物线的概念，便于后面反复提及和强调此概念。
通过这一系列的问题，我们引出了图像的一系列的特征：轴对称；开口方向向上；无限延伸特性；抛物线顶点概念以及图像的最低点特征。
通过比较图像的异同点，强化此类二次函数图像的特征。
学生取值，直接把两个函数放在．便于比较数据与图像之间关于这两个函数的比较
课堂练习：
1.在同一平面直角坐标系中画出??=
??
??
??
??????
、??=?
??
??
??
??????
、??=??
??
??
?和??=???
??
??
的图像。
/
2.抛物线??=
1
3
??
2
与抛物线??=?
1
3
??
2
的图像有何共同点和不同点？两条抛物 线有怎样的对称性？
答1： 共同点：它们都是以y轴为对称轴的轴对称图形，顶点都是原点．不同点：抛物线??=
1
3
??
2
开口向上， 向左上方和右上方无限延伸，在y轴左侧部分下降，在y轴右侧部分上升．顶点是抛物线最低点． 抛物线??=?
1
3
??
2
开口向下，向左下方右下方无限延伸，在y轴左侧部分上升，在y轴右侧部分下降．顶点是抛物线最高点。
3.已知关于x的二次函数??=
1+
2
??
??
2
当k为何值时，它的图像开口向上？当k为何值时，它的图像开口向下。
答2：K>
1
2
,开口向上，K1
2
开口向下
4.已知??=?3
??
2
、②??=
3
2
??
2
、③ ??=?
25
3
??
2
，把这三个二次函数图像开口大小由小到大按序号排列
答3:②、①、③
课堂练习中增加了|a|的大小与抛物线开口大小之间的关系的习题．
课堂小结
课堂小结：
/
课堂小结用列表的形式，把本节课所归纳的结论在表格中类比展现，便于学生记忆
板书
/
/
课件20张PPT。第21章 二次函数与反比例函数21.2二次函数的图象和性质1.二次函数的定义？ 2.定义中a≠0，那么b、c可以为0吗？如果c=0，则解析式可简化为怎样的？ 一般的，形如y=ax2+bx+c (a、b、c为常数，a≠0)的函数，叫二次函数. y=ax2+bx (a≠0)3.如果c=0，b=0时，则解析式简化为怎样？y=ax2 (a≠0)导入问1： 一次函数图像的描画过程是怎样的？列表，描点，连线． 画二次函数 y=x2 的图像.1.列表：2.描点：3.连线：x的取值范围是什么？ 新课讲授9410194二次函数y=x2的图像是一条曲线，它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线．二次函数y=x2的图像称为抛物线y=x2．抛物线的顶点：抛物线与它的对称轴的交点叫抛物线的顶点．抛物线 y=x2 的顶点是原点O(0,0).y=x2抛物线y=x2的图形特征：1.开口方向向上；2.是轴对称图形，对称轴是y轴，即直线x=0；3.抛物线的顶点是原点O(0,0)，是图像的最低点．试一试：用上述方法取相同的x的值画出二次函数 y= -x2 的图像，与 y=x2 的图像进行比较再归纳它的特征.1.列表：2.描点：3.连线：y=-x20…-1-4-1-4…抛物线 y= -x2 的图像特征：1.开口方向向下；图像在 y 轴左侧部分上升， y 轴右侧部分下降．2.它是轴对称图形，对称轴是 y轴，即直线 x=0.3.顶点是坐标原点，而且它是抛物线的最高点．y= x2的图像与 y= - x2的图像关于x轴对称． y=-x2y=-x2y= x2 和 y= - x2 在图像上有何异同？ 相同点：
(1)都是抛物线，且抛物线的顶点是同一个点，都是坐标原点；(2)都关于y轴（直线x=0）对称．不同点：
(1)抛物线 y=x2 开口方向向上，图像在 y 轴左侧部分下降，y 轴右侧部分上升．抛物线 y=-x2 开口方向向下，图像在y 轴左侧部分是上升的，右侧部分是下降的．(2)y= x2 顶点是图像最低点，y= -x2 顶点是图像最高点．y=-x2y=-x21.列表：2.描点：3.连线：0x-1-2012…………20…8…2???22?8问1：抛物线 有何共同特征？有何不同？相同点：
(1)都是抛物线，且抛物线的顶点是同一个点，都是坐标原点；(2)都关于y轴（直线x=0）对称．不同点：
开口的大小不一样
从几个图象来看，y=x2中x前面的系数越大，开口越小，反之，开口越大???3.顶点是原点.二次函数 y=ax2(a≠0)图像特征：1. 二次函数y=ax2(a≠0)图像是抛物线，称为抛物线y=ax2(a≠0)；向下向上有最低点，
是原点有最高点，
是原点2.抛物线y=ax2(a≠0)是轴对称图形，对称轴是y轴,即直线x=0；??问4：由右图，猜想抛物线 y=ax2(a≠0)开口大小与 的大小关系？越大，抛物线开口就越小；越小，抛物线开口就越大．相等，抛物线形状相同，开口大小相等．?1.二次函数 y=ax2(a≠0)图像特征：（1） 二次函数y=ax2(a≠0)图像是抛物线，称为抛物线y=ax2(a≠0)；（2）抛物线y=ax2(a≠0)是轴对称图形，对称轴是y轴,即直线x=0；（3）顶点是原点，当a>0时，开口向上，顶点是最低点；当a<0时，开口向下，顶点是最高点． 拓展延伸2.列表对比：a>0a<0向下向上原点O(0,0)，是最低点， y有最小值，为0y轴或直线x=0y轴或直线x=0在y轴左侧部分上升，在y轴右侧部分下降在y轴左侧部分下降，在y轴右侧部分上升越大，抛物线开口就越小；越小，抛物线开口就越大． 与抛物线开口大小关系原点O(0,0)，是最高点， y有最大值，为0二次函数y=ax2图象及性质画法描点法以对称轴为中心对称取点图象抛物线轴对称图形性质重点关注4个方面开口方向及大小对称轴顶点坐标增减性课堂小结1.在同一平面直角坐标系中画出课堂练习?2.抛物线 与抛物线 的图像有何共同点和不同点？两条抛物线有怎样的对称性？都是以y轴为对称轴的轴对称图形，顶点都是原点．向下向上有最低点，是原点有最高点，是原点在y轴左侧部分下降，在y轴右侧部分上升．在y轴左侧部分上升，在y轴右侧部分下降．两图像关于x轴对称课堂练习3.已知关于x的二次函数 y=(1+2k)x2，当k为何值时，它的图像开口向上？当k为何值时，它的图像开口向下？4.已知① 、 ② 、③ ，
把这三个二次函数图像开口大小由大到小按序号排列．
答:②、①、③. ?谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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