1.1.2 探索勾股定理同步测试题

1.1探索勾股定理
第2课时检测
（时间45分钟 满分100分）
一、选择题（每小题8分）
1．（2019?咸宁）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2019?台儿庄质检）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2019春?德州期末）如图，是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果EF＝4，AH＝12，那么AB等于（　　）
A．30 B．25 C．20 D．15
4．（2019春?番禺区期中）如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（2019春?武昌区校级月考）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结论：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．② C．①②③ D．①③
二、填空题（每小题8分）
6．（2019春?黄石港区期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为　 　．
7．（2019?思明区校级模拟）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为　 　．
8．（2019春?平舆县期末）如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则（a+b）2的值为　 　．
9．（2019?枣庄滕州质检）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC＝5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是　 　．
三、解答题（每小题8分）
10．（12分）（2019?泰安质检）[问题情境]
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．
[定理表述]
请你根据图1中的直角三角形，写出勾股定理内容；
[尝试证明]
以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理．
11．（16分）（2019春?临泉县期末）用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形
解答下列问题：
（1）请用含a、b、c的代数式表示大正方形的面积．
方法1　 　；方法2　 　．
（2）根据图2，利用图形的面积关系，推导a、b、c之间满足的关系式．
（3）利用（2）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且（a+b）2＝49，求小正方形的面积．
1.1探索勾股定理
第2课时检测答案
（时间45分钟 满分100分）
一、选择题（每小题8分）
1．（2019?咸宁）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．
【解答】解：“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：
故选：B．
2．（2019?台儿庄质检）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．
【解答】解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵4×+c2＝（a+b）2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、∵4×+（b﹣a）2＝c2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
3．（2019春?德州期末）如图，是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果EF＝4，AH＝12，那么AB等于（　　）
A．30 B．25 C．20 D．15
【分析】在直角三角形AHB中，利用勾股定理进行解答即可．
【解答】解：∵△ABH≌△BCG，
∴BG＝AH＝12，
∵四边形EFGH都是正方形，
∴HG＝EF＝4，
∴BH＝16，
∴在直角三角形AHB中，由勾股定理得到：AB2＝AH2+BH=400，∴AB＝20．
故选：C．
4．（2019春?番禺区期中）如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用a﹣b＝2，解得a，b的值代入即可．
【解答】解：∵AB＝10，EF＝2，
∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，
∴四个直角三角形面积和为100﹣4＝96，设AE为a，DE为b，即4×ab＝96，
∴2ab＝96，a2+b2＝100，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196，
∴a+b＝14，
∵a﹣b＝2，
解得：a＝8，b＝6，
∴AE＝8，DE＝6，
∴AH＝8﹣2＝6．
故选：C．
【点评】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab的值．
5．（2019春?武昌区校级月考）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结论：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．② C．①②③ D．①③
【分析】根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答．
【解答】解：①∵△ABC为直角三角形，
∴根据勾股定理：x2+y2＝AB2＝49，
故本选项正确；
②由图可知，x﹣y＝CE＝2，
故本选项正确；
③由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为4××xy+4＝49，
即2xy+4＝49；
故本选项正确．
∴正确结论有①②③．
故选：C．
二、填空题（每小题8分）
6．（2019春?黄石港区期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为　 　．
【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，
∴4×ab+（a﹣b）2＝25，
∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，
∴a﹣b＝3，
故答案是：3．
7．（2019?思明区校级模拟）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为　 　．
【分析】观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．
【解答】解：如图所示：
∵（a+b）2＝21，
∴a2+2ab+b2＝21，
∵大正方形的面积为13，
2ab＝21﹣13＝8，
∴小正方形的面积为13﹣8＝5，
故答案为：5
8．（2019春?平舆县期末）如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则（a+b）2的值为　 　．
【分析】根据图形表示出小正方形的边长为（b﹣a），再根据四个直角三角形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积求出2ab，然后利用完全平方公式整理即可得解．
【解答】解：由图可知，（b﹣a）2＝5，
4×ab＝42﹣5＝37，
∴2ab＝37，
（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝5+2×37＝79．
故答案为79．
9．（2019?枣庄滕州质检）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC＝5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是　 　．
【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．
【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，AC＝y，则
x2＝4y2+52，
∵△BCD的周长是30，
∴x+2y+5＝30
则x＝13，y＝6．
∴这个风车的外围周长是：4（x+y）＝4×19＝76．
故答案是：76．
三、解答题（每小题8分）
10．（12分）（2019?泰安质检）[问题情境]
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．
[定理表述]
请你根据图1中的直角三角形，写出勾股定理内容；
[尝试证明]
以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理．
【分析】通过把梯形的面积分解为三个三角形的面积之和得出＝×2+，即可证明a2+b2＝c2
【解答】定理表述：
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
证明：∵S四边形ABCD＝S△ABE+S△AED+S△CDE，
＝×2+，
又∵S四边形ABCD＝＝，
∴＝×2+，
∴（a+b）2＝2ab+c2，
∴a2+2ab+b2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
11．（16分）（2019春?临泉县期末）用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形
解答下列问题：
（1）请用含a、b、c的代数式表示大正方形的面积．
方法1　 　；方法2　 　．
（2）根据图2，利用图形的面积关系，推导a、b、c之间满足的关系式．
（3）利用（2）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且（a+b）2＝49，求小正方形的面积．
【分析】（1）方法1、根据图2是由4个完全一样的直角三角形和1个小正方形构成的，所以其面积＝1个正方形的面积+4个三角形的面积；
方法2、观察图形发现图2是一个正方形，所以其面积＝边长2；
（2）根据（1）写出a、b、c之间的等量关系；
（3）直接用（2）的结论求出结果．
【解答】解：（1）方法1：大正方形的面积＝（a﹣b）2+4×ab＝a2+b2，
方法2：大正方形的面积＝c2；
故答案为：a2+b2，c2；
（2）因为大正方形的面积相等，
所以a2+b2＝c2；
（3）由（2）知，a2+b2＝c2．
又（a+b）2＝49，
所以 2ab＝49﹣（a2+b2）＝49﹣c2＝49﹣25＝24．
所以 小正方形的面积＝25﹣24＝1．