沪科版数学九年级上册21.4.1二次函数的应用教学设计
课题
21.4.1二次函数的应用
单元
第21章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
1、经历数学建模的基本过程。
2、会运用二次函数求实际生活中的最值问题。
3、体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。
重点
二次函数在最优化问题中的应用
难点
从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、创设情景
欣赏生活中抛物线的图片，回忆二次函数的有关知识。
图1 图2
图3
对于任意一个二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如何确定它的图象的对称轴、顶点坐标和最值呢?
函数的最大值或最小值是二次函数的一个重要性质，那么，我们怎么利用这个性质来解决实际问题呢？
学生观察图片并思考，回答老师问题。
通过回忆，“温故而知新”，将新知融入旧知，体会“化未知为已知”的化归思想的神奇，培养学生独立获取知识的愿望和能力.回忆学过的二次函数内容，吸引学生的注意力，快速进入高效课堂。
讲授新课
探究活动：
在问题1中，要使围成的水面面积最大，那么它的长应是多少？它的最大面积是多少？
问题分析：这是一个求最值的问题。要想解决这个问题，就要首先将实际问题转化成数学问题。
讲授新课：
在前面的学习中我们已经知道，这个问题中的水面长x与面积S之间的满足函数关系式S=-x2+20x。通过配方，得到S=-(x-10)2+100。由此可以看出，这个函数的图像是一条开口向下的抛物线，其定点坐标是(10，100)。所以，当x=10m时，函数取得最大值，为S最大值=100（m2）。
所以，当围成的矩形水面长为10m，宽为10m时，它的面积最大，最大面积是100 m2。
思考：在应用二次函数求解问题的时候，基本步骤是什么？
总结：
得出解这类题的一般步骤：
二次函数求解问题的基本步骤:
第一步设自变量；
第二步建立函数的解析式；
第三步确定自变量的取值范围；
第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）
变式1、已知直角三角形的两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？
变式2、如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米.
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积.
例2、如图，悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似的看做抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接。若两端主塔之间水平距离为900m，两主塔塔顶距桥面的高度为81.5m，主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5m。
（1）若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，如图，求这条抛物线的函数关系式；
（2）计算距离桥两端主塔分别为100m、50m处垂直钢索的长。（精确到0.1m）
分析：第（1）题的关键是设立合适的函数解析式，根据题意可知抛物线的顶点为（0，0.5），且关于y轴对称，则可以设函数关系式为y=ax2+0.5，再将（450，81.5）带入解析式中，即可求出a的值。第（2）题要注意不能直接将100、50当做横坐标代入。
解：（1）设抛物线的函数关系式为y=ax2+0.5，将(450，81.5）代入，得
81.5=a?4502+0.5
解方程，得
因而，所求抛物线的函数关系式为（-450≤x≤450）。
（2）当x=450-100=350（m）时，得
；
当x=450-50=400（m）时，得
。
因而，距离桥两端主塔分别为100m、50m处垂直钢索的长分别约为49.5m、64.5m。
中考链接
如图16－1，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB 组成，已知河底ED是水平的，ED＝16米，AE＝8米，抛物线的顶点C到ED距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h(单位：米)随时间t(单位：时)的变化满足函数关系
且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？
学生自学课本内容例题，锻炼了学生自学能力，为学生独立学习做铺垫．
总结二次函数求解问题的基本步骤。
学生要独立完成练习，然后进行展示，其他学生相互补充。
由学生回答上面问题，老师作出结论。
通过现实情景再现，让学生体会到二次函数是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识.
学生通过前面的情景引入，在老师的引导下，列出关注二次函数的应用，也激发了学生学习的兴趣.
通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好巩固新知识.
通过本环节的讲解与训练，让学生对利用新知识解决一些简单问题有更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理一些新问题.
作业
必做题: 随堂练习 P40
选做题: 习题21.4第1、2 题
独立完成
学生独立完成例题变式，养成独立完成作业的习惯
课堂小结
这节课学习了用什么知识解决哪类问题？
解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问题？
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.
引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法。
将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.
板书
21.4.1 二次函数的应用
1、二次函数的最值问题
2、二次函数求解实际问题的基本步骤
课件25张PPT。21.4.1 二次函数的应用 沪科版 九年级上欣赏生活中抛物线的图片，回忆二次函数的有关知识，怎样求二次函数的最大值或最小值呢？新知导入 y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋ x)＋c ＝a[x2＋ x＋( )2－( )2]＋c
＝a[x2＋ x＋( )2]＋c－
＝a(x＋ )2＋新知导入对于任意一个二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如何确定它的图象的对称轴、顶点坐标和最值呢? 当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下。
对称轴是x＝ ，顶点坐标是( ， ) 最值为新知导入函数的最大值或最小值是二次函数的一个重要性质，那么，我们怎么利用这个性质来解决实际问题呢？
新知讲解例1、在第21.1节的问题中，要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？它的最大面积是多少平方米？这是一个求最值的问题。要想解决这个问题，就要首先将实际问题转化成数学问题。新知讲解解：将这个函数关系式配方，得 这个函数的图象是一条开口向下抛物线中的一段，它的顶点是（10、100），所以当x=10cm，函数取得最大值，最大值为 所以，当围成的矩形水面长为10m，宽为10m，它的面积最大是100平方米。 思考：在应用二次函数求解问题的时候，基本步骤是什么？
新知讲解二次函数求解问题的基本步骤:
第一步设自变量；
第二步建立函数的解析式；
第三步确定自变量的取值范围；
第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内） 新知讲解变式1、已知直角三角形的两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？解：设其中一条直角边的长为x，另一条直角边为（8-x）.则直角三角形的面积: . 对称轴：x=4， 顶点坐标：（4,8）所以，当两直角边长都为4m时，面积最大为8m2.=课堂练习 变式2、如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米.
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积. 课堂练习解: (1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
∴ 花圃宽为（24－4x）米
(3) ∵墙的可用长度为8米
∴ S＝x（24－4x）
＝－4x 2＋24 x （0 ∴当x＝4cm时，S最大值＝32 平方米 ∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6课堂练习 A BC D新知讲解例2、如图，悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看做抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接。已知两端主塔之间水平距离为900m,两主塔塔顶距桥面的高度81.5m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5m.
(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图，求这条抛物线对应的函数表达式。新知讲解（2）计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索的长。新知讲解
答：所求抛物线的函数关系式为
（-450≤x≤450） 解:（1）根据题意，得知抛物线的顶点为（0,0.5），对称轴是y轴， 设抛物线的函数关系式为y=ax2+0.5,
用（450,81.5）代入，得
81.5=a·4502+0.5解方程，得 新知讲解
当x=450-50=400（m）时，得
；答：距离桥两端主塔分别为100m、50m处垂直钢索的长分别约为49.5m、64.5m。（2）当x=450-100=350（m）时，得
1如图16－1，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB 组成，已知河底ED是水平的，ED＝16米，AE＝8米，抛物线的顶点C到ED距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；中考链接(2)已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h(单位：米)随时间t(单位：时)的变化满足函数关系 且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？
1中考链接图16－11中考链接分析:(1)根据题意可得A，B，C三点坐标分别为(－8，8)，(8，8)，(0，11)，利用待定系数法，设抛物线解析式为y＝ax2＋c，有
解方程组即可．
(2)水面到顶点C的距离不大于5米，即函数值不小于11－5＝6，解方程
即可．
1中考链接解：(1)根据题意抛物线顶点C的坐标为(0，11)，点B的坐标为(8，8)，设抛物线解析式为y＝ax2＋c，1中考链接由图象变化趋势可知，当3≤t≤35时，
水面到顶点C的距离不大于5米，需禁止船只通行，
禁止船只通行时间为35－3＝32(时)．
答：禁止船只通行时间为32小时．课堂总结（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.这节课学习了用什么知识解决哪类问题？
解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问题？
板书设计21.4.1 二次函数的应用
1、二次函数的最值问题
2、二次函数求解实际问题的基本步骤作业布置必做题: 随堂练习 P40
选做题: 习题21.4第1、2 题谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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