沪科版数学九年级上册21.4.2二次函数的应用教学设计
课题
21.4.2二次函数的应用
单元
第21章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
1、通过图形之间的关系列出函数解析式
2、用二次函数的知识分析解决有关抛物线型问题的实际问题
重点
用二次函数的知识分析解决有关抛物线型问题的实际问题
难点
通过图形之间的关系列出函数解析式
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
思考：在应用二次函数求解问题的时候，基本步骤是什么？
二次函数求解问题的基本步骤:
第一步设自变量；
第二步建立函数的解析式；
第三步确定自变量的取值范围；
第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）
上节课我们学习了通过图形之间的关系求函数解析式，以及用二次函数的知识分析解决有关抛物线型的实际问题，这节课我们继续学习利用二次函数解决一些生活中的实际问题。
学生回忆上节课内容，回答老师问题。
通回忆学过的二次函数求解内容，吸引学生的注意力，启发引导学生探索知识的形成过程，培养了学生数学转化的思想意识．
讲授新课
探究活动：
例3、上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如下关系式：
h＝v0t－gt2，其中h是物体上升的高度，v0是物体被上抛时的初始速度，g表示重力加速度，通常取g＝10m/s2，t是舞台抛出后经过的时间。在一次排球比赛中，球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为10m/s。
（1）问排球上升的最大高度是多少？
（2）已知某运动员在2.5m高度是扣球效果最佳，如果她要打快攻，问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳？（精确到0.1s）。
分析：学生容易把这个问题中排球的运动路线想象成抛物线，这一点需要首先说明，球是竖直上抛，在球上升或下降的过程中运动员完成击球。第一个问题,配方得到h=-5(t-1)2+5,抛物线开口向下，顶点坐标（1，5），所以最大高度为5米。第二个问题只要令h=2.5，求出方程h=10t-5t2的解，t1≈0.3(s),t2≈1.7(s)。在结合实际情况，要快攻，所以最后确定选择较小的根。
总结：
得出解这类题的一般步骤：
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。
变式1、某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面 米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好人水姿势时，距池边的水平距离为3米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由。
解：（1）如图，在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为y=ax2+bx+c ，由题意知，O、B两点的坐标依次为（0，0）（2，-10），且顶点A的纵坐标为。
∴ ∴
∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴>0，
又∵抛物线开口向下，∴a<0, b>0， ∴a=－，b=，c=0
∴抛物线的解析式为：y=－x2+x
（2）当运动员在空中距池边的水平距离为3时，即x=3-2=时，
y=(－)×()2+×=－， ∴此时运动员距水面高为：10－=<5，
因此，此次试跳会出现失误。
制动距离/m
0
0.3
1.0
2.1
3.6
5.5
例4、行驶中的汽车，在制动后由于惯性作用，还要继续往前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“制动距离”。为了测定某型号汽车的制动性能，对其进行了测试，测得数据如下表：
现有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，现场测得制动距离为46.5m。则交通事故发生时车速是多少？是否因超速（该段公路最高限速为110km/h）行驶导致了交通事故？
分析：要解答这个问题，就是要解决在知道了制动距离时，如何求得相应的制动时车速。题中给出了几组制动距离与制动时车速有关系的数据，为此，求出制动距离与制动时车速的函数关系式是解答本题的关键。
解：1、以制动时车速的数据为横坐标（x值）、制动距离的数据为纵坐标（y值），在平面直角坐标系中，描出这些数据的点，如图
2、观察途中妙处点的整体分布，它们基本上是在一条抛物线附近，因此，y（制动距离）与x（制动时车速）的关系可以近似地以二次函数来模拟，即设
y=ax2+bx+c
在已知数据中，任选三组，如取（0，0）、（10，0.3）、（20，1.0）分别代入所设函数关系式，得
解方程组，得
因而，所求函数关系式为y=0.002x2+0.01x
3、把y=46.5m代入函数关系式，得
46.5=0.002x2+0.01x
解方程，得x1=150（km/h），x2=-155（km/h）（舍去）
因而，制动时车速为150km/h（>110km/h），即在事故发生时，该车属超速行驶。
中考链接
某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出x辆时，日收益为y元．(日收益＝日租金收入－平均每日各项支出)
(1)公司每日租出x辆时，每辆车的日租金为________元(用含x的代数式表示)；
(2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？
(3)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益不盈也不亏？
通过自主探索，使学生初步体会二次函数的实际应用问题．
二次函数与实际问题联系紧密，这就要求我们在解决实际问题时，善于用数学的眼光去观察，用数学的思维去分析，用数学的方法去解决，运用函数知识去解决实际问题是十分普遍和重要的。
通过图形之间的关系列出函数解析式，以及用二次函数的知识分析解决有关抛物线型问题的实际问题
学生要独立完成练习，然后进行展示，其他学生相互补充。
由学生回答上面问题，老师作出结论。
学生分小组讨论，并相互补充交流
通过现实情景再现，让学生体会到二次函数是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识. 进一步培养了学生能力，充分展示了方程与函数的相互转化。
学生通过前面的情景引入，在老师的引导下，列出关注二次函数的应用，也激发了学生学习的兴趣.
通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好巩固新知识.
通过本环节的讲解与训练，让学生对利用新知识解决一些简单问题有更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理一些新问题.
作业
必做题: 随堂练习 P42
选做题: 习题21.4第3、4、5 题
独立完成
学生独立完成例题变式，养成独立完成作业的习惯
课堂小结
1.已知函数图象
如果给定函数图象，一般要建立平面直角坐标系，求出函数解析式，再把实际问题中需要求出的量用图象上点的坐标来表示，转化为利用图象求点的坐标。
2.文字表述的函数关系
这类题目要根据题目中数量之间的关系，列出函数的表达式，再通过配方将二次函数变成顶点式y＝a(x－h)2＋k，利用二次函数最值解答。
3.二次函数的综合题
这类题目以二次函数为背景，首先根据所给条件，结合几何图形的性质求出抛物线的方程，然后探索抛物线与几何图形的关系.
旨在使本节课的知识点系统化、结构化，只有结构化的知识才能形成能力；使学生进一步明确学什么，学了有什么用．
充分展示知识的发生、发展及应用过程．对同学的回答，教师给予点评，对回答得好的学生教师给予表扬、鼓励．本环节虽然用时不多，却是必不可少的教学环节，对学生回顾与整理本节课的知识效果明显.
板书
21.4.2 二次函数的应用
1、二次函数求解实际问题
2、二次函数的综合题
课件24张PPT。21.4.2 二次函数的应用 沪科版 九年级上新知导入 思考：在应用二次函数求解问题的时候，基本步骤是什么？
新知导入二次函数求解问题的基本步骤:
第一步设自变量；
第二步建立函数的解析式；
第三步确定自变量的取值范围；
第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内） 例3、上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如下的关系式,h=v0t-
gt2其中h是物体上升的高度，v0是物体被上抛时竖直向上的初始速度，g是重力加速度，通常取g=10m/s2 ,t是物体抛出后经过的时间。
在一次排球比赛中，球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为10m/s,
（1）问排球上升的最大高度是多少？
（2）已知某运动员在2.5m高度时扣球效果最佳，如果他要打快攻，问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳？（精确到0.1s） 新知讲解新知讲解
因为抛物线开口向下，顶点坐标为（1，5）.
答：排球上升的最大高度是5m.解 （1）根据题意，得新知讲解（2）当h=2.5m时，得
10t-5t 2=2.5.
解方程，得 t1≈0.3（s），t2≈1.7（s）.
排球在上升和下落中，各有一次经过2.5m高度，但第一次经过时离排球被垫起仅有0.3s，要打快攻，选择此时扣球，可令对方措手不及，易获成功.
答：该运动员应在排球被垫起后0.3s时扣球最佳.课堂练习变式1、某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面 米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。
挖掘已知条件，由已知条件和图形可以知道抛物线过（0，0）（2，-10），顶点的纵坐标为 。课堂练习（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好人水姿势时，距池边的水平距离为3米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由。课堂练习解：（1）如图，在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为y=ax2+bx+c ，由题意知，O、B两点的坐标依次为（0，0）（2，-10），且顶点A的纵坐标为 。
列方程，得解得或课堂练习
∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴ >0， 又∵抛物线开口向下，∴a<0, b>0， 所以
∴抛物线的解析式为：y= x2+ x 课堂练习（2）当运动员在空中距池边的水平距离为 时，
即x= -2= 时，
y=( )×( )2+ × = ，
∴此时运动员距水面高为：10 = <5，
因此，此次试跳会出现失误。新知讲解例4、行驶中的汽车，在制动后由于惯性作用，还要继续往前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“制动距离”。为了测定某型号汽车的制动性能，对其进行了测试，测得数据如下表：新知讲解现有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，现场测得制动距离为46.5m。则交通事故发生时车速是多少？是否因超速（该段公路最高限速为110km/h）行驶导致了交通事故？分析：要解答这个问题，就是要解决在知道了制动距离时，如何求得相应的制动时车速。题中给出了几组制动距离与制动时车速有关系的数据，为此，求出制动距离与制动时车速的函数关系式是解答本题的关键。新知讲解解：1、以制动时车速的数据为横坐标（x值）、制动距离的数据为纵坐标（y值），在平面直角坐标系中，描出这些数据的点，如图新知讲解2、观察途中描出的这些点的整体分布，它们基本上是在一条抛物线附近，因此，y（制动距离）与x（制动时车速）的关系可以近似地以二次函数来模拟，即设 y=ax2+bx+c
在已知数据中，任选三组，如取（0，0）、（10，0.3）、（20，1.0）分别代入所设函数关系式，得新知讲解
解方程组，得
因而，所求函数关系式为y=0.002x2+0.01x （x≥0）
3、把y=46.5m代入函数关系式，得 46.5=0.002x2+0.01x
解方程，得x1=150（km/h），x2=-155（km/h）（舍去）
答：制动时车速为150km/h（>110km/h），即在事故发生时，该车属超速行驶。17某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出x辆时，日收益为y元．(日收益＝日租金收入－平均每日各项支出)
(1)公司每日租出x辆时，每辆车的日租金为________元(用含x的代数式表示)；
(2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？
(3)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益不盈也不亏？中考链接18中考链接19中考链接课堂总结板书设计21.4.2 二次函数的应用
1、二次函数求解实际问题
2、二次函数的综合题
作业布置必做题: 随堂练习 P42
选做题: 习题21.4第3、4、5 题谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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