1.2 空间几何体的三视图和直观图
知识导图
学法指导
1.用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法，这是画空间几何体的直观图的基础．
2．会用斜二测画法画出简单几何体的直观图．
3．充分利用直观图的作图规则，顺利实现实物图与直观图之间的转化．
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掌握直观图的画法是学好立体几何的基础，必须熟练、准确地掌握常见几何体的直观图的画法．学习过程中要重点把握直观图与原图形之间的关系.
知识点一 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
知识点二 立体图形直观图的画法
用斜二测画法画空间几何体的直观图时，与平面图形相比只多了一个z轴，其直观图中对应于z轴的是z′轴，平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面．已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，其平行性和长度都不变．
1.画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．
2．用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45 °(或135 °)．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.( )
(2)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变．( )
答案：(1)× (2)×
2．水平放置的梯形的直观图是( )
A．梯形 B．矩形
C．三角形 D．任意四边形
解析：斜二测画法的规则中平行性保持不变，故选A.
答案：A
3．利用斜二测画法可以得到：
①水平放置的三角形的直观图是三角形；
②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；
③水平放置的正方形的直观图是正方形；
④水平放置的菱形的直观图是菱形．
以上结论正确的是( )
A．①② B．①
C．③④ D．①②③④
解析：根据斜二测画法的规则可知①②正确；对于③④，只有平行于x轴的线段长度不变，所以不正确．
答案：A
4．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( )
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．一般的平行四边形
解析：如图，在原图形OABC中，
应有OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，
CD＝C′D′＝2 cm，
所以OC＝＝＝6 (cm)，所以OA＝OC，
故四边形OABC是菱形，故选C.
答案：C
类型一 水平放置的平面图形的直观图的画法
例1 画一个锐角为45°的平行四边形ABCD的直观图(尺寸自定)．
【解析】 (1)画轴：?ABCD如图1所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，再建立斜坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，如图2.
(2)描点：在x′轴上以点O′为中点，取B′A′＝BA，在y′轴上取O′D′＝OD，过D′作D′C′∥x′轴，
且D′C′＝DC，如图2.
(3)连线：连接B′C′，A′D′，如图2.
(4)成图：四边形A′B′C′D′即为一个锐角是45°的平行四边形ABCD的直观图.
以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，再建立斜坐标系x ′O ′y ′，利用斜二测画法画直观图．
方法归纳
在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，便于画点；原图中的共线点，在直观图中仍是共线点；原图中的平行线，在直观图中仍是平行线．
跟踪训练1 画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．
解析：(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图①②所示．
(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②.
(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.
观察图形先以OB为x轴，OD为y轴建平面直角坐标系，再用斜二测画直观图．
类型二 立体图形的直观图的画法
例2 画正六棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′的直观图(尺寸自定)．
【解析】 如图(1)．①画轴．画出x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
②画底面．以点O为中点，在x轴上取FO＝OC，在y轴上取OM＝ON＝FO，分别过点M，N作ED∥FO，AB∥FO，ED＝AB＝FO，且M，N分别为DE，AB的中点．连接BC，CD，EF，FA，得到正六棱柱的底面直观图ABCDEF.
③画侧棱．在六边形ABCDEF所在平面的同侧过点A，B，C，D，E，F分别作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′都等于侧棱长．
④成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，F′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)就得到正六棱柱的直观图，如图(2)所示.
建立坐标系，根据画轴、画底面、画侧棱的顺序画直观图．
方法归纳
(1)画柱体、锥体的直观图的步骤
①画轴：通常以高所在直线为z′轴建系．②画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面．③确定顶点：利用与z′轴平行或在z′轴上的线段确定有关顶点．④连线成图．
(2)画台体的直观图的步骤
①画轴：通常以高所在直线为z′轴建系．②画下底面．③画高，画上底面．④连线成图．
跟踪训练2 用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面上的投影是正六边形的中心O(尺寸自定)．
解析：(1)画出六棱锥P－ABCDEF的底面．①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，线段AD的中垂线为y轴，两轴相交于点O(如图(1))，画相应的x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°(如图(2))；②在图(2)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝MN，以点N′为中点，画B′C′∥x′轴，且B′C′＝BC，再以M′为中点，画E′F′∥x′轴，且E′F′＝EF；③连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′.
(2)画正六棱锥P－ABCDEF的顶点．在z′轴的正半轴上取点P′，点P′异于点O′.
(3)成图．连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并擦去x′轴、y′轴和z′轴，将被遮挡的线改为虚线，便可得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′(如图(3))．
建立坐标系，根据画底面、确定顶点、连线的顺序画直观图．
类型三 直观图与原平面图形的面积关系
例3 如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求水平放置的梯形ABCD的直观图的面积．
【解析】 方法一 在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，水平放置的梯形ABCD的直观图仍为梯形，且上底和下底的长度都不变，作D′E′⊥A′B′于E′，如图所示，在直观图中，O′D′＝OD＝，梯形A′B′C′D′的高D′E′＝，于是梯形A′B′C′D′的面积为×(1＋2)×＝.
方法二 因为梯形ABCD的面积为＝，所以直观图的面积为×＝.
研究直观图的面积问题时，一定要注意：画三角形的直观图时，不仅是y ′轴上的线段长度变为原来的一半，同时，y ′轴与x ′轴的夹角也变为45 °(或135 °)，因此直观图中三角形的高不是原来高的一半．
方法归纳
(1)解答此类题目的关键是首先要能够将水平放置的平面图形的直观图还原为原来的实际图形，其依据就是逆用斜二测画法，也就是使平行于x轴的线段的长度不变，而平行于y轴的线段长度变为原来的2倍．
(2)求直观图的面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边和高．在原来实际图形中的高线，在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来的一半的线段，以此为依据求出直观图中的高线即可．
跟踪训练3 已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，∠B′A′C′＝90°，则△ABC的面积为________．
解析：∵∠B′A′C′＝90°，B′O′＝C′O′＝1，
∴A′O′＝1，∴△ABC的高为2，∴△ABC的面积为×2×2＝2.
答案：2
由斜二测画直观图，还原原图再计算．
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是( )
A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变
B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的
C．在画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°
D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
解析：在画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′可以是45°，也可以是135°.
答案：C
2．[2019·山东日照校级检测]在画水平放置的平面图形时，若在原来的图形中两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段( )
A．平行且相等 B．平行不相等
C．相等不平行 D．既不平行也不相等
解析：在原图形中平行且相等的线段在直观图中保持平行且相等．
答案：A
3．如图所示的直观图的平面图形是( )
A．等腰梯形
B．直角梯形
C．任意四边形
D．平行四边形
解析：由斜二测画法知，AB⊥AD，BC∥AD，因此具有如图所示直观图的平面图形是直角梯形．
答案：B
4．已知一条边在x轴上的正方形的直观图是一个平行四边形，此平行四边形中有一边长为4，则原正方形的面积是( )
A．16 B．64
C．16或64 D．以上都不对
解析：根据直观图的画法，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为原来的一半，于是直观图中长为4的边如果平行于x′轴，则正方形的边长为4，面积为16；长为4的边如果平行于y′轴，则正方形的边长为8，面积为64.
答案：C
5．若用斜二测画法把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则该圆柱的高应画成( )
A．平行于z′轴且长度为10 cm
B．平行于z′轴且长度为5 cm
C．与z′轴成45°且长度为10 cm
D．与z′轴成45°且长度为5 cm
解析：平行于z轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变，故选A.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为________．
解析：如图，图①，图②所示的分别是实际图形和直观图．
从图②可知，A′B′＝AB＝2，
O′C′＝OC＝，
C′D′＝O′C′sin45°＝×＝.
所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×2×＝.
答案：
7.
一个水平放置的平面图形的直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这个平面图形的面积为________．
解析：由直观图，可知原图形为直角梯形，且上底为1，下底为＋1，高为2，故面积为××2＝2＋.
答案：
8．一条边在x轴上的正方形的面积是4，按斜二测画法所得的直观图是一个平行四边形，则这个平行四边形的面积是________．
解析：正方形的面积为4，则边长为2，由斜二测画法的规则，知平行四边形的底为2，高为，故面积为.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．将图中所给水平放置的直观图绘出原形．
解析：
10．画棱长为2 cm的正方体的直观图．
解析：(1)作水平放置的正方形的直观图ABCD，使∠BAD＝45°，AB＝2 cm，AD＝1 cm.
(2)过点A作z′轴，使∠BAz′＝90°，分别过点A，B，C，D，沿z′轴的正方向取AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝2 cm.
(3)连接A1B1，B1C1，C1D1，D1A1如下图①，擦去辅助线，把被遮住的线改为虚线，得到的图形如下图②就是所求的正方体的直观图．
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m．如果按1?500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为( )
A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm
B．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm
C．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm
D．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm
解析：由比例尺可知，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合直观图的画法，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm,0.5 cm,2 cm，1.6 cm.
答案：C
12.
如图为△ABO水平放置的直观图△A′B′O′，由图判断△ABO中，AB，BO，BD，OD由小到大的顺序是______________________．
解析：由题图可知，△ABO中，OD＝2，BD＝4，AB＝，BO＝2.
答案：OD
13．用斜二测画法画出图中水平放置的△OAB的直观图．
解析：(1)在已知图中，以O为坐标原点，以OB所在的直线及垂直于OB的直线分别为x轴与y轴建立平面直角坐标系，过点A作AM垂直x轴于点M，如图1.另选一平面画直观图，任取一点O′，画出相应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在x′轴上取点B′，M′，使O′B′＝OB，O′M′＝OM，过点M′作M′A′∥y′轴，取M′A′＝MA.连接O′A′，B′A′，如图2.
(3)擦去辅助线，则△O′A′B′为水平放置的△OAB的直观图．
14．一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高(两底面圆心连线的长度)为4 cm，圆锥的高(顶点与底面圆心连线的长度)为3 cm，画出此几何体的直观图．
解析：(1)画轴．如图(1)所示，画x轴、z轴，使∠xOz＝90°.
(2)画圆柱的下底面．在x轴上取A、B两点，使AB＝3 cm，且OA＝OB，选择椭圆模板中适当的椭圆过A，B两点，使它为圆柱的下底面．
(3)在Oz上截取点O′，使OO′＝4 cm，过点O′作平行于Ox的O′x′，类似圆柱下底面的画法画出圆柱的上底面．
(4)画圆锥的顶点．在Oz上取点P，使PO′＝3 cm.
(5)成图．连线A′A，B′B，PA′，PB′，整理(去掉辅助线，将被遮挡部分改为虚线)得到此几何体的直观图，如图(2)所示．
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