新人教A版必修4(课件22张ppt 学案)1.4.2.2正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性(2份)

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名称 新人教A版必修4(课件22张ppt 学案)1.4.2.2正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性(2份)
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资源类型 教案
版本资源 人教新课标A版
科目 数学
更新时间 2019-09-11 17:49:53

文档简介

第2课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
1.周期函数
(1)周期函数.
条件
①对于函数f(x),存在一个非零常数T
②当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x)
结论
函数f(x)叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期
(2)最小正周期.
条件
周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数
结论
这个最小正数叫做f(x)的最小正周期
 关于最小正周期
(1)并不是所有的周期函数都有最小正周期,如常数函数f(x)=C,对于任意非零常数T,都有f(x+T)=f(x),即任意常数T都是函数的周期,因此没有最小正周期.
(2)对于函数y=Asin(ωx+φ)+B,y=Acos(ωx+φ)+B,可以利用公式T=求最小正周期.
2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数
y=sin x
y=cos x
周期
2kπ(k∈Z且k≠0)
2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期


奇偶性
奇函数
偶函数
 关于正、余弦函数的奇偶性
(1)正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数,反映在图象上,正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称.
(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形.
提醒:诱导公式三是正弦函数、余弦函数的奇偶性的另一种表示形式.
[小试身手]
1.判断下列命题是否正确. (正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果存在常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么这个函数的周期为T.(  )
(2)如果存在非零常数T,使得定义域内存在一个值x,有f(x+T)=f(x),那么这个函数的周期为T.(  )
(3)函数y=sin x,x∈(-π,π]是奇函数.(  )
答案:(1)× (2)× (3)×
2.下列函数中,周期为的是(  )
A.y=sin B.y=sin 2x
C.y=cos D.y=cos 4x
解析:对于A,T==4π,对于B,T==π,
对于C,T==8π,对于D,T==.
答案:D
3.函数f(x)=sin(-x)的奇偶性是(  )
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
解析:由于x∈R,且f(-x)=sin x=-sin(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,故选A.
答案:A
4.下列函数中是偶函数的是(  )
A.y=sin 2x B.y=-sin x
C.y=sin|x| D.y=sin x+1
解析:A、B是奇函数,D是非奇非偶函数,C符合f(-x)=sin|-x|=sin|x|=f(x),∴y=sin|x|是偶函数.
答案:C
类型一 求三角函数的周期
例1 (1)下列函数中,不是周期函数的是(  )
A.y=|cos x|
B.y=cos|x|
C.y=|sin x|
D.y=sin|x|
(2)函数y=2sin的周期为________.
【解析】 (1)画出y=sin|x|的图象,易知y=sin|x|不是周期函数.
(2)方法一 因为2sin=2sin,
即2sin=2sin.
所以y=2sin的最小正周期是6π.
方法二 函数的周期T===6π.
【答案】 (1)D (2)6π
(1)作出函数的图象,根据周期的定义判断.
(2)利用周期的定义,需要满足f(x+T)=f(x) ;也可利用公式T=计算周期.
方法归纳
求函数周期的方法
(1)定义法:紧扣周期函数的定义,寻求对任意实数x都满足f(x+T)=f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数.
(2)公式法:对形如y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ是常数,且A≠0),可利用T=来求.
(3)图象法:可画出函数的图象,借助于图象判断函数的周期,特别是对于含绝对值的函数一般采用此法.
跟踪训练1 求下列函数的周期.
(1)y=2sin 2x;
(2)y=cos.
解析:(1)方法一 因为2sin(2x+2π)=2sin 2x,即2sin 2(x+π)=2sin 2x.
由周期函数的定义,可知原函数的周期为π.
方法二 T==π.
(2)方法一 因为cos=cos,即cos=cos.
由周期函数的定义,可知原函数的周期为4π.
方法二 T==4π
(1)利用周期的定义求函数周期.
(2)利用公式T=求函数周期.
类型二 正、余弦函数的奇偶性问题
例2 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=cos;
(2)f(x)=sin(cos x).
【解析】 (1)函数的定义域为R.且f(x)=cos=-sin 2x.
因为f(-x)=-sin(-2x)=sin 2x=-f(x),所以函数f(x)=cos是奇函数.
(2)函数的定义域为R.且f(-x)=sin[cos(-x)]=sin(cos x)=f(x),
所以函数f(x)=sin(cos x)是偶函数.
先用诱导公式化简,再利用定义法判断函数的奇偶性.
方法归纳
利用定义判断函数奇偶性的三个步骤
注意:若函数f(x)的定义域不关于原点对称,无论f(-x)与f(x)有何关系,f(x)仍然是非奇非偶函数.
跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=|sin x|+cos x;
(2)f(x)=+.
解析:(1)函数的定义域为R,
又f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin x|+cos x=f(x),所以f(x)是偶函数.
(2)由1-cos x≥0且cos x-1≥0,
得cos x=1,从而x=2kπ,k∈Z,此时f(x)=0,故该函数既是奇函数又是偶函数.
(1)利用定义法判断函数的奇偶性.
(2)由偶次根式被开方数大于等于0求出cos x的值以及x的值,最后判断函数的奇偶性.
类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
例3 定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈时,f(x)=sin x,求f的值.
【解析】 因为f(x)的最小正周期是π,
所以f=f=f,
因为f(x)是R上的偶函数,
所以f=f=sin=.
利用周期性
f=f =f,再利用奇偶性f=f,最后代入求值.
方法归纳
三角函数周期性与奇偶性的解题策略
(1)探求三角函数的周期,常用方法是公式法,即将函数化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式,再利用公式求解.
(2)判断函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)是否具备奇偶性,关键是看它能否通过诱导公式转化为y=Asin ωx(Aω≠0)或y=Acos ωx(Aω≠0)其中的一个.
跟踪训练3 若本例中函数的最小正周期变为,其他条件不变,求f的值.
解析:因为f(x)的最小正周期是,
所以f=f=f=f=sin=
利用周期性f=f=f代入求值.
1.4.1-2.2
[基础巩固](25分钟,60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.函数y=-5cos(3x+1)的最小正周期为(  )
A. B.3π
C. D.
解析:该函数的最小正周期T==.
答案:C
2.函数f(x)=sin 2x的奇偶性为(  )
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
解析:因为f(x)的定义域是R,且f(-x)=sin 2(-x)=-sin 2x=-f(x),
所以函数f(x)为奇函数.
答案:A
3.函数f(x)=sin是(  )
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
解析:f(x)=sin
=sin
=-sin=-cos 2 010x,
f(x)定义域为R,
且f(-x)=-cos(-2 010x)=-cos 2 010x=f(x),
所以函数f(x)为偶函数.
答案:B
4.函数f(x)=xsin(  )
A.是奇函数 B.是非奇非偶函数
C.是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
解析:由题,得函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(x)=xsin=xcos x,所以f(-x)=(-x)·cos(-x)=-xcos x=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.
答案:A
5.下列函数中是奇函数,且最小正周期是π的函数是(  )
A.y=cos|2x| B.y=|sin x|
C.y=sin D.y=cos
解析:y=cos|2x|是偶函数;y=|sin x|是偶函数;
y=sin=cos 2x是偶函数;
y=cos=-sin 2x是奇函数,且其最小正周期T=π.
答案:D
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.f(x)=sin xcos x是________(填“奇”或“偶”)函数.
解析:x∈R时,f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sin xcos x=-f(x),即f(x)是奇函数.
答案:奇
7.函数y=cos的最小正周期是________.
解析:∵y=cos,∴T==2π×=4.
答案:4
8.函数f(x)是以2为周期的函数,且f(2)=3,则f(8)=________.
解析:∵f(x)的周期为2,
∴f(x+2)=f(x),
∴f(8)=f(2+3×2)=f(2)=3.
答案:3
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.求下列函数的最小正周期:
(1)y=cos;(2)y=|sin|.
解析:(1)利用公式T=,可得函数
y=cos的最小正周期为T==π.
(2)易知函数y=sin的最小正周期为T==4π,而函数y=的图象是由函数y=sin的图象将在x轴下方部分翻折到上方后得到的,此时函数周期减半,即y=的最小正周期为2π.
10.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=cos 2x;
(2)f(x)=sin;
(3)f(x)=x·cos x.
解析:(1)因为x∈R,
f(-x)=cos(-2x)=cos 2x=f(x),
所以f(x)=cos 2x是偶函数.
(2)因为x∈R,f(x)=sin=-cos,所以f(-x)=-cos=-cos=f(x),所以函数f(x)=sin是偶函数.
(3)因为x∈R,f(-x)=-x·cos(-x)=-x·cos x=-f(x),
所以f(x)=xcos x是奇函数.
[能力提升](20分钟,40分)
11.下列说法中正确的是(  )
A.当x=时,sin≠sin x,所以不是f(x)=sin x的周期
B.当x=时,sin=sin x,所以是f(x)=sin x的一个周期
C.因为sin(π-x)=sin x,所以π是y=sin x的一个周期
D.因为cos=sin x,所以是y=cos x的一个周期
解析:若T是f(x)的周期,则对于f(x)的定义域内任意x都有f(x+T)=f(x)成立,B,C,D错误.
答案:A
12.若函数f(x)的定义域为R,最小正周期为,且满足f(x)=则f=________.
解析:f=f=f=sin=.
答案:
13.已知函数y=cos x+|cos x|.
(1)画出函数的图象;
(2)这个函数是周期函数吗?如果是,求出它的最小正周期.
解析:(1)y=cos x+|cos x|
=
函数图象如图所示.
(2)由图象知这个函数是周期函数,且最小正周期是2π.
14.已知f(x)是R上的奇函数,且f(x+2)=-f(x).
(1)求证:f(x)是以4为周期的函数;
(2)当0≤x≤1时,f(x)=x,求f(7.5)的值.
解析:(1)证明:f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),
所以f(x)是以4为周期的函数.
(2)由(1)可知f(x+4)=f(x),
所以f(7.5)=f(3.5+4)=f(3.5)=f(-0.5+4)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.
课件22张PPT。