第3课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
正、余弦函数的图象与性质
正弦函数
余弦函数
图象
值域
[－1,1]
[－1,1]
单调性
在(k∈Z)上递增，
在(k∈Z)上递减
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上递增，
在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上递减
最值
x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1；
x＝2kπ－(k∈Z)时，ymin＝－1
x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1
(1)正、余弦函数的单调性：
①求解或判断正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求与之相关的复合函数值域(最值)关键的一步；
②单调区间要在定义域内求解；
③确定含有正弦函数或余弦函数的复合函数的单调性时，要注意用复合函数法来判断．
(2)正、余弦函数的最值
①明确正、余弦函数的有界性，即|sinx|≤1, |cosx|≤1；
②对有些函数，其最值不一定就是1或－1，要依赖函数的定义域来决定；
③形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数求最值时，通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asinz的形式求最值．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦函数y＝sin x在R上是增函数．( )
(2)正弦函数y＝sin x的一个增区间是[0，π]．( )
(3)当余弦函数y＝cos x取最大值时，x＝π＋2kπ，k∈Z.( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．函数y＝sin，x∈R在( )
A.上是增函数 B．[0，π]上是减函数
C．[－π，0]上是减函数 D．[－π，π]上是减函数
解析：y＝sin＝cos x，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数．
答案：B
3．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( )
A．y＝cos|x| B．y＝cos|－x|
C．y＝sin D．y＝－sin
解析：y＝cos|x|在上是减函数，排除A；y＝cos|－x|＝cos|x|，排除B；y＝sin＝－sin＝－cos x是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y＝－sin在(0，π)上是单调递减的．
答案：C
4．函数y＝1－2cosx的最小值，最大值分别是( )
A．－1,3 B．－1,1
C．0,3 D．0,1
解析：∵－1≤cosx≤1，∴－1≤y≤3.
答案：A
类型一 正、余弦函数的单调性
例1 (1)函数f(x)＝sin的一个递减区间是( )
A.
B．[－π，0]
C.
D.
(2)函数y＝cos的单调递增区间是________．
【解析】 (1)由≤x≤π，可得≤x＋≤π.所以是函数的一个减区间．
(2)因为－π＋2kπ≤2x －≤2kπ，k∈Z.所以kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
【答案】 (1)D (2)(k∈Z)
(1)由A，B，C，D中x的范围，求出x＋的范围，验证是否为减区间．
(2)将2x－代入到[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z中，解出x的范围，即可得增区间．
方法归纳
求与正、余弦函数有关的单调区间的策略及注意点
(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间同上．
(3)①ω<0时，一般用诱导公式转化为－ω>0后求解；②若A<0，则单调性相反．
跟踪训练1 (1)下列函数，在上是增函数的是( )
A.y＝sin x
B．y＝cos x
C．y＝sin 2x
D．y＝cos 2x
(2)求函数y＝2sin的单调递增区间．
解析：(1)因为y＝sin x与y＝cos x在上都是减函数，所以排除A，B.
因为≤x≤π，所以π≤2x≤2π.因为y＝sin 2x在2x∈[π，2π]内不具有单调性，所以排除C.
(2)由y＝2sin，得y＝－2sin.
∴要求函数y＝2sin的单调递增区间，只需求出函数y＝2sin的单调递减区间．
令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解之得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴函数的单调递增区间为(k∈Z)．
答案：(1)D (2)(k∈Z)
(1)逐个验证选项把不符合题意的排除．
(2)首先利用诱导公式化简函数为y＝－2sin，再利用性质求增区间．
类型二 比较三角函数值的大小
例2 比较下列各组数的大小：
(1)sin 250°与sin 260°；
(2)cos与cos.
【解析】 (1)∵函数y＝sin x在上单调递减，且90°<250°<260°<270°，∴sin 250°>sin 260°.
(2)cos＝cos＝cos，cos＝cos2π－＝cos.
∵函数y＝cos x在[0，π]上单调递减，且0<<<π，
∴cos>cos，∴cos>cos.
利用诱导公式，将角化到正弦函数或余弦函数的一个单调区间内，利用单调性判断大小．
方法归纳
比较三角函数值大小的方法
(1)利用诱导公式转化为求锐角三角函数值．
(2)不同名的函数化为同名函数．
(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间．
跟踪训练2 比较下列各组数的大小．
(1)sin与sinπ；
(2)cos 870°与sin 980°.
解析：(1)sin＝sin＝sin，sinπ＝sin＝sin，
因为y＝sin x在上是增函数，所以sin
(2)cos 870°＝cos(720°＋150°)＝cos 150°，sin 980°＝sin(720°＋260°)＝sin 260°＝sin(90°＋170°)＝cos 170°，
因为0°<150°<170°<180°，所以cos 150°>cos 170°，
即cos 870°>sin 980°.
首先利用诱导公式化成同名的三角函数，把角转化为同一单调区间，最后利用函数的单调性比较大小．
类型三 正、余弦函数的最值问题
例3 函数y＝2cos－1的最小值是______，此时x＝______.
【解析】 当2x＋＝π＋2kπ，k∈Z，x＝＋kπ，k∈Z时，
ymin＝－2－1＝－3.
【答案】 －3 ＋kπ，k∈Z
观察函数解析式特点，由y＝cos的最小值，求函数y＝2cos－1的最小值，并求x的取值．
方法归纳
求正、余弦函数最值问题的关注点
(1)形如y＝asin x(或y＝acos x)的函数的最值要注意对a的讨论．
(2)将函数式转化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式．
(3)换元后配方利用二次函数求最值．
跟踪训练3 求下列函数的值域：
(1)y＝cos，x∈；
(2)y＝2sin2x＋2sin x－，x∈.
解析 (1)由y＝cos，x∈0，可得x＋∈，函数y＝cos x在区间上单调递减，所以函数的值域为.
(2)令t＝sin x，∴y＝2t2＋2t－＝22－1.
∵x∈，∴≤sin x≤1，即≤t≤1，
∴1≤y≤，∴函数f(x)的值域为.
(1)先由x的范围求出x＋的范围，再求值域．
(2)先换元令t＝sin x，再利用二次函数求值域．
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知函数y＝sin x和y＝cos x在区间M上都是增函数，那么区间M可以是( )
A. B.
C. D.
解析：y＝sin x在和上是增函数，y＝cos x在(π，2π)上是增函数，所以区间M可以是.
答案：D
2．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为( )
A．ymax＝3，x＝－
B．ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)
C．ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)
D．ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)
解析：当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，y＝sin x有最小值－1，函数y＝2－sin x有最大值3.
答案：C
3．符合以下三个条件：①上递减；②以2π为周期；③为奇函数．这样的函数是( )
A．y＝sin x B．y＝－sin x
C．y＝cos x D．y＝－cos x
解析：在上递减，可以排除A，是奇函数可以排除C，D.
答案：B
4．下列不等式中成立的是( )
A．sin>sin B．sin 3>sin 2
C．sinπ>sin D．sin 2>cos 1
解析：因为sin 2＝cos＝cos，且0<2－<1<π，所以cos>cos 1，即sin 2>cos 1.
答案：D
5．函数y＝2sin(x∈[－π，0])的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
解析：方法一 y＝2sin，其单调递增区间为－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，则－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.
由于x∈[－π，0]，所以其单调递增区间为.
方法二 函数在取得最大值，且其最小正周期为2π，则其单调递增区间为，即，又x∈[－π，0]，所以其单调递增区间为.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．函数y＝cos的单调递减区间为________．
解析：y＝cos＝cos，
由2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数的单调减区间为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
7．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为________．
解析：当0≤x≤时，－≤2x－≤，因为函数y＝sin x在上的函数值恒为正数，在上的函数值恒为负数，且在上为增函数，所以函数f(x)的最小值为f(0)＝－.
答案：－
8．sin________sin(填“>”或“<”)．
解析：sin＝sin＝sin，因为0<<<，y＝sin x在上单调递增，所以sin答案：>
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求下列函数的单调区间：
(1)y＝cos 2x；(2)y＝2sin.
解析：(1)函数y＝cos 2x的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定：2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z,2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z.
∴kπ－≤x≤kπ，k∈Z，kπ≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴函数y＝cos 2x的单调递增区间为，k∈Z，单调递减区间为，k∈Z.
(2)y＝2sin＝－2sin，函数y＝－2sinx－的单调递增、递减区间分别是函数y＝2sin的单调递减、递增区间．
令2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z.
即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，
即函数y＝2sin的单调递增区间为
，k∈Z.
令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z.
即2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
即函数y＝2sin的单调递减区间为
，k∈Z.
10．求下列函数的最大值和最小值：
(1)y＝3＋2cos；
(2)y＝2sin.
解析：(1)∵－1≤cos≤1
∴当cos＝1时，ymax＝5；
当cos＝－1时，ymin＝1.
(2)∵－≤x≤，∴0≤2x＋≤，
∴0≤sin≤1.
∴当sin＝1时，ymax＝2；
当sin＝0时，ymin＝0.
[能力提升](20分钟，40分)
11．函数y＝2sin(ω>0)的周期为π，则其单调递增区间为( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：周期T＝π，∴＝π，∴ω＝2，∴y＝2sin.由－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－π≤x≤kπ＋，k∈Z.
答案：C
12．函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．
解析：因为y＝cos x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π答案：(－π， 0]
13．比较下列各组数的大小：
(1)cos与cos；
(2)sin 194°与cos 160°.
解析：(1)cos＝cos，
cos＝cos＝cos，
∵0<<<π，
函数y＝cosx在(0，π)上是减函数，
∴cos>cos，
即cos>cos.
(2)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，
cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.
∵0°<14°<70°<90°，∴sin 14°从而－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°.
14．求函数y＝3－2sinx的最值及取到最值时的自变量x的集合．
解析：∵－1≤sinx≤1，
∴当sinx＝－1，x＝2kπ－，k∈Z，
即x＝4kπ－π，k∈Z时，ymax＝5，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ－π，k∈Z}；
当sinx＝1，x＝2kπ＋，k∈Z，
即x＝4kπ＋π，k∈Z时，ymin＝1，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}．
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