第2课时 任意角的三角函数(二)
1.相关概念
(1)单位圆：
以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆．
(2)有向线段：
带有方向(规定了起点和终点)的线段．
规定：方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之为负值．
2．三角函数线
(1)三角函数线的方向．
正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与角α的终边或其反向延长线的交点．
(2)三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的，为正值，与x轴或y轴反向的，为负值．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)角的三角函数线是直线．( )
(2)角的三角函数值等于三角函数线的长度．( )
(3)第二象限的角没有正切线．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．有下列四个说法：
①α一定时，单位圆中的正弦线一定；
②单位圆中，有相同正弦线的角相等；
③α和α＋π有相同的正切线；
④具有相同正切线的两个角终边相同．
不正确说法的个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：①正确．当α确定时其sin α是确定的．
②不正确．例如和.③正确，④不正确．
答案：C
3．如图所示，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )
A．正弦线PM，正切线A′T′
B．正弦线MP，正切线A′T′
C．正弦线MP，正切线AT
D．正弦线PM，正切线AT
解析：α为第三象限角，故正弦线为MP，正切线为AT，所以C正确．
答案：C
4．已知sin α>0，tan α<0，则α的( )
A．余弦线方向向右，正切线方向向下
B．余弦线方向向右，正切线方向向上
C．余弦线方向向左，正切线方向向下
D．余弦线方向向上，正切线方向向左
解析：因为sin α>0，tan α<0，所以α是第二象限角，余弦、正切都是负值，因此余弦线方向向左，正切线方向向下．
答案：C
类型一 三角函数线的作法
例1 做出的正弦线、余弦线和正切线．
【解析】 角的终边(如图)与单位圆的交点为P.作PM垂直于x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线AT，与的终边的反向延长线交于点T，则的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.
先作单位圆再作角，最后作出三角函数线．
方法归纳
三角函数线的画法
(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．
(2)作正切线时，应从A(1,0)点引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT.
跟踪训练1 作出－的正弦线、余弦线和正切线．
解析：如图：sin＝MP，
cos＝OM，tan＝AT.
作单位圆、作角、画出三角函数线．
类型二 利用三角函数线比较大小
例2 分别比较sin与sin，cos与cos，tan与tan的大小．
【解析】 在直角坐标系中作单位圆如图所示．
以x轴非负半轴为始边作的终边与单位圆交于P点，作PM⊥Ox，垂足为M.由单位圆与Ox正方向的交点A作Ox的垂线与OP的反向延长线交于T点，则sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT.
同理，可做出的正弦线、余弦线和正切线，
sin＝M′P′，cos＝OM′，tan＝AT′.
由图形可知，MP>M′P′，符号相同，则sin>sin；OM>OM′，符号相同，则cos>cos；AT
利用三角函数线比较sinα与sinβ，cosα与cosβ，tanα与tanβ的大小时，先在坐标系中画出α，β的正弦线、余弦线、正切线，再结合有向线段的长度和方向来比较大小.
方法归纳
利用三角函数线比较大小的步骤
利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．
跟踪训练2 设<α<，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果<α<，上述长度关系又如何？
解析：如图所示，当<α<时，角α的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT，显然在长度上，AT>MP>OM；
当<α<时，角α的正弦线为
M′P′，余弦线为OM′，正切线为AT′，显然在长度上，AT′>M′P′>OM′.
由于<α<时，sinα，cosα，tanα都大于0，故可以直接根据角的正弦线、余弦线、正切线的长短来比较三者的大小．
类型三 利用三角函数线解不等式
例3 求函数f(α)＝的定义域．
【解析】 要使函数f(α)有意义，则sin α≥. 如图所示，画出单位圆，作直线y＝，交单位圆于P1，P2两点，连接OP1，OP2，过点P1，P2作x轴的垂线，垂足分别为M1，M2，易知正弦线M1P1＝M2P2＝.
在[0,2π)范围内，sin＝sin＝，则点P1，P2分别在，的终边上，又sin α≥，结合图形可知，图中阴影部分(包括边界)即满足sin α≥的角α的终边所在的范围，即当α∈[0,2π)时，≤α≤，
故函数f(α)的定义域为.
要使函数f(α)有意义，则sinα≥，利用三角函数线可得α的取值范围，即函数f(α)的定义域．
方法归纳
利用三角函数线解三角不等式的方法
利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点．一般来说，对于sin x≥b，cos x≥a(或sin x≤b，cos x≤a)，只需作直线y＝b，x＝a与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x的范围；对于tan x≥c(或tan x≤c)，则取点(1，c)，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图象可得．
跟踪训练3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合．
(1)sin α≥；
(2)cos α≤－.
解析：(1)作直线y＝，交单位圆于A，B两点，作射线OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图1所示的阴影部分，包括边界)即为角α的终边所在的范围．
故满足要求的角α的集合为.
(2)作直线x＝－，交单位圆于C，D两点，作射线OC与OD，则OC与OD围成的区域(如图2所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边所在的范围．
故满足条件的角α的集合为{α≤α≤2kπ＋，k∈Z}.
作单位圆画出角α的三角函数线，结合图象写出角的范围．
1.2.1.2
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．对三角函数线，下列说法正确的是( )
A．对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线
B．有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在
C．任意角的正弦线、正切线总是存在的，但余弦线不一定存在
D．任意角的正弦线、余弦线总是存在的，但正切线不一定存在
解析：终边在y轴上的角的正切线不存在，故A，C错，对任意角都能作正弦线、余弦线，故B错，因此选D.
答案：D
2．如果MP和OM分别是角α＝的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )
A．MP0>MP
C．OM0>OM
解析：因为π是第二象限角，
所以sinπ>0，cosπ<0，
所以MP>0，OM<0，
所以MP>0>OM.
答案：D
3．有三个命题：①和的正弦线长度相等；②和的正切线相同；③和的余弦线长度相等．
其中正确说法的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：和的正弦线关于y轴对称，长度相等；和两角的正切线相同；和的余弦线长度相等．故①②③都正确．故选C.
答案：C
4．使sin x≤cos x成立的x的一个区间是( )
A. B.
C. D.
解析：如图所示，画出三角函数线sin x＝MP，cos x＝OM，由于sin＝cos，sin＝cos，为使sin x≤cos x成立，由图可得在[－π，π)范围内，－≤x≤.
答案：A
5．如果<θ<，那么下列各式中正确的是( )
A．cos θC．tan θ解析：如图所示，作出角θ的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，由图可知AT>MP>OM，即tan θ>sin θ>cos θ，故选D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．比较大小：sin 1________sin(填“>”或“<”)．
解析：因为0<1<<，结合单位圆中的三角函数线，知
sin 1答案：<
7．不等式tan α＋>0的解集是________________________．
解析：不等式的解集如图所示(阴影部分)，
∴.
答案：
8．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是________．
解析：如图，sin 1＝MP，cos 1＝OM.
显然MP>OM，即sin 1>cos 1.
答案：sin 1>cos 1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．做出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．
(1)；(2)－.
解析：(1)因为∈，所以做出角的终边如图①所示，交单位圆于点P作PM⊥x轴于点M，则有向线段MP＝sin，有向线段OM＝cos，设过A(1,0)垂直于x轴的直线交OP的反向延长线于T，则有向线段AT＝tan.综上所述，图①中的有向线段MP，OM，AT分别为角的正弦线、余弦线、正切线．
(2)因为－∈，所以在第三象限内做出－角的终边如图②所示，交单位圆于点P′用类似①的方法作图，可得图②中的有向线段M′P′、OM′、A′T′分别为－角的正弦线、余弦线、正切线．
10．利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合：
(1)tan α＝－1；(2)sin α≤－.
解析：(1)如图①所示，过点(1，－1)和原点作直线交单位圆于点P和P′，则OP和OP′就是角α的终边，所以∠xOP＝＝π－，∠xOP′＝－，
所以满足条件的所有角α的集合是.
(2)如图②所示，过作与x轴的平行线，交单位圆于点P和P′，则sin∠xOP＝sin∠xOP′＝－，
∴∠xOP＝π，∠xOP′＝π，
∴满足条件所有角α的集合为
.
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在( )
A．第一象限的角平分线上
B．第四象限的角平分线上
C．第二、第四象限的角平分线上
D．第一、第三象限的角平分线上
解析：作图(图略)可知角α的终边在直线y＝－x上，∴α的终边在第二、第四象限的角平分线上，故选C.
答案：C
12．若cos θ>sin，利用三角函数线得角θ的取值范围是________．
解析：因为cos θ>sin，所以cos θ>sin＝sin＝，易知角θ的取值范围是(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
13．若α∈，试利用三角函数线证明sin α＋cos α>1.
解析：如图所示，角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则sin α＝MP，cos α＝OM，OP＝1，由三角形两边之和大于第三边，可知MP＋OM>OP，即sin α＋cos α>1.
14．求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝lg(sin x－)＋.
解析：(1)自变量x应满足2sin x－≥0，即sin x≥.图①中阴影部分就是满足条件的角x的范围，即.
① ②
(2)由题意，自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图②(阴影部分)所示，
∴.
课件26张PPT。