1.3 三角函数的诱导公式
考试标准
课标要点
学考
要求
高考
要求
π±α与α的正弦、余弦、正切值的关系
b
b
±α与α的正弦、余弦值的关系
b
b
知识导图
学法指导
1.熟练掌握相应角的终边上点的坐标的特点，如α与－α的终边关于x轴对称，则两角对应的终边上的点的坐标可分别写为(x，y)和(x，－y)．
2．诱导公式的目的在于将任意角的三角函数化为锐角的三角函数．
3．观察公式一至公式四的结构特征，可以将它们统一成一句话“函数名不变，符号看象限”．
4．观察公式五和公式六的结构特征，可以将它们统一成一句话“函数名改变，符号看象限”．
第1课时 诱导公式(一)
诱导公式一～四的理解
(1)公式一～四中角α是任意角．
(2)公式一概括为：终边相同的角的同名三角函数值相等．
(3)公式一、二、三、四都叫诱导公式，它们可概括如下：
①记忆方法：2kπ＋α，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“函数名不变，符号看象限”．
②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若α看成锐角，则π＋α的终边在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sinα.
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)点P(x，y)关于x轴的对称点是P′(－x，y)．( )
(2)诱导公式中的符号是由角α的象限决定的．( )
(3)诱导公式一、二、三、四函数的名称都不变．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是( )
A．α一定是锐角
B．0≤α<2π
C．α一定是正角
D．α是使公式有意义的任意角
解析：诱导公式中的角α是使公式有意义的任意角．
答案：D
3．sin 600°的值是( )
A. B．－
C. D．－
解析：sin 600°＝sin(600°－720°)＝sin(－120°)＝－sin 120°＝－sin 60°＝－.
答案：D
4．若sin(π＋α)＝－，则sin(4π－α)的值是( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：∵sin(π＋α)＝－，∴sin α＝，sin(4π－α)＝－sin α＝－.
答案：A
类型一 给角求值问题
例1 (1)sinπ·cosπ·tan的值是( )
A.－ B.
C．－ D.
(2)求下列三角函数式的值：
①sin(－330°)·cos 210°；
②sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°)．
【解析】 (1)sinπ·cosπ·tan
＝sincostan
＝－sin·tan
＝－··(－)＝－.
(2)①sin(－330°)·cos 210°＝sin(30°－360°)cos(180°＋30°)
＝sin 30°·(－cos30°)＝×＝－.
②sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°)
＝－sin 1 200°·－cos(720°－135°)·tan(－9×180°－45°)
＝sin(1 080°＋120°)－cos 135°·tan(－45°)
＝－×(－1)＝.
答案：(1)A (2)①－ ②
负角化正角，大角化小角，直到化为锐角求值．
方法归纳
利用诱导公式解决给角求值问题的方法
(1)“负化正”；
(2)“大化小”，用公式一将角化为0°到360°间的角；
(3)“小化锐”，用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；
(4)“锐求值”，得到锐角的三角函数后求值．
跟踪训练1 (1)sin＋tan的值为( )
A. B．－
C．－ D.
(2)sin2120°＋cos 180°＋tan 45°－cos2(－330°)＋sin(－210°)＝________.
解析：(1)原式＝－sin＋tan＝－＋＝－.故选C.
(2)原式＝sin260°＋(－1)＋1－cos230°＋sin 30°＝2－2＋＝.
答案：(1)C (2)
首先利用诱导公式把角化为锐角再求值．
类型二 已知三角函数值求相关角的三角函数值
例2 若sin(π＋α)＝，α∈，则tan(π－α)等于( )
A.－
B．－
C．－
D.
【解析】 因为sin(π＋α)＝－sin α，根据条件得sin α＝－，
又α∈，所以cos α＝ ＝.
所以tan α＝＝－＝－.
所以tan(π－α)＝－tan α＝.故选D.
【答案】 D
将已知条件利用诱导公式化简，建立要求的因式与已知条件的联系从而求值．
方法归纳
解决条件求值问题的方法
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
跟踪训练2 已知α为第二象限角，且sin α＝，则tan(π＋α)的值是( )
A. B.
C．－ D．－
解析：因为sin α＝且α为第二象限角，所以cos α＝－＝－，所以tan α＝＝－.所以tan(π＋α)＝tan α＝－.故选D.
答案：D
先由正弦求余弦时，注意α的范围，最后利用诱导公式求值．
类型三 三角函数式的化简与证明
例3 化简与证明：
(1)证明：＝－1；
(2)化简：cos 20°＋cos 160°＋sin 1 866°－sin(－606°)．
【解析】 (1)证明
左边＝
＝
＝－1.
(2)原式＝cos 20°－cos 20°＋sin(5×360°＋66°)－sin(－2×360°＋114°)
＝sin 66°－sin 114°
＝sin 66°－sin(180°－66°)
＝sin 66°－sin 66°
＝0.
用诱导公式消,除角的差异→用同角三角函,数关系消除名,称差异→证明两边相等
方法归纳
利用诱导公式一～四化简应注意的问题
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；
(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．
跟踪训练3 证明：＝tan α.
证明：
＝＝tan α.
证明三角恒等式时，要针对恒等式左、右两边的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异. 能用诱导公式的先用诱导公式将不同角化为相同角，再统一函数名称，从而实现左右统一．
1.3.1
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．sin 480°的值为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：sin 480°＝sin(360°＋120°)＝sin 120°
＝sin(180°－60°)＝sin 60°＝.
答案：B
2．已知sin(π＋θ)＝，则角θ的终边在( )
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第一或第四象限 D．第三或第四象限
解析：∵sin(π＋θ)＝＝－sin θ，∴sin θ<0，结合三角函数的定义，可知角θ的终边在第三或四象限，故选D.
答案：D
3．下列各式不正确的是( )
A．sin(α＋180°)＝－sin α
B．cos(－α＋β)＝－cos(α－β)
C．sin(－α－360°)＝－sin α
D．cos(－α－β)＝cos(α＋β)
解析：由诱导公式知cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故B不正确．
答案：B
4．若cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( )
A. B．±
C. D．－
解析：由cos(π＋α)＝－，得cos α＝，故sin(2π＋α)＝sin α＝－＝－(α为第四象限角)．
答案：D
5．给出下列各函数值：
①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；
④.其中符号为负的是( )
A．① B．②
C．③ D．④
解析：sin(－1 000°)＝sin 80°>0；
cos(－2 200°)＝cos(－40°)＝cos 40°>0；
tan(－10)＝tan(3π－10)<0；
＝，
∵sin>0，tan<0，∴原式>0.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．求值：(1)cos＝________；(2)tan(－225°)＝________.
解析：(1)cos＝cos＝cos
＝cos＝－cos＝－.
(2)tan(－225°)＝tan(360°－225°)＝tan 135°＝tan(180°－45°)＝－tan 45°＝－1.
答案：(1)－ (2)－1
7．若sin(－α)＝，α∈，则cos(π＋α)＝________.
解析：∵sin(－α)＝，∴sin α＝－.∵α∈，
∴cos α＝＝，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－.
答案：－
8．化简：＝________.
解析：原式＝＝－＝－1.
答案：－1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求下列各三角函数值：
(1)sin 1 200°；(2)cosπ；(3)sin；(4)tan(－855°)．
解析：(1)sin 1 200°＝sin[120°＋3×360°]＝sin 120°＝sin(180°－60°)＝sin 60°＝.
(2)cosπ＝cos＝cosπ＝cos＝cos＝.
(3)sin＝－sin＝－sin
＝－sin＝－.
(4)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝－tan(－45°)＝tan 45°＝1.
10．若cos α＝，α是第四象限角，求
的值．
解析：由已知cos α＝，α是第四象限角得sin α＝－，
故
＝＝＝－＝.
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，x∈R，且f(2 019)＝3，则f(2 020)的值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：∵f(2 019)＝asin(2 019π＋α)＋bcos(2 019π＋β)＋4＝3，
∴asin(2 019π＋α)＋bcos(2 019π＋β)＝－1，
∴f(2 020)＝asin(2 019π＋α＋π)＋bcos(2 019π＋β＋π)＋4＝－asin(2 019π＋α)－bcos(2 019π＋β)＋4＝1＋4＝5.
答案：C
12．求值＝________.
解析：
＝
＝tan α.
答案：tan α
13．求下列三角函数值．
(1)tanπ＋cos(－1 650°)＋sinπ；
(2)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°.
解析：(1)原式＝tan＋cos 1 650°＋sin
＝－tan＋cos(4×360°＋210°)－sin
＝－1＋cos 210°－＝－1＋cos(180°＋30°)－
＝－－cos 30°＝－－.
(2)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45°＝－2.
14．求sin·cos(n∈Z)的值．
解析：方法一 ①当n为奇数时，原式＝sin·(－cos)＝sin·＝sin·cos＝×＝.
②当n为偶数时，原式＝sin·cos＝sin·cos＝sin·＝×＝－.
综上可知，原式＝(－1)n＋1.
方法二 原式＝sin·(－1)ncos＝sin·(－1)ncos＝sin·(－1)n·(－cos)＝(－1)n××＝(－1)n＋1.
课件26张PPT。
