1.4.3 正切函数的性质与图象
考试标准
课标要点
学考要求
高考要求
正切函数性质
b
b
正切函数图象
b
b
知识导图
学法指导
1.学习本节内容时要重点关注正切函数的定义域，会用“三点两线法”画正切函数的图象．
2．从正切函数的几何画法体验直线x＝±为正切函数图象的两条“渐近线”，进一步体会正切函数的值域为(－∞，＋∞).
函数y＝tan x的图象与性质
解析式
y＝tan x
图象
定义域
值域
R
周期
π
奇偶性
奇函数
单调性
在开区间，k∈Z上都是增函数
如何作正切函数的图象
(1)几何法
就是利用单位圆中的正切线来做出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较烦琐．
(2)“三点两线”法
“三点”是指，(0,0)，；“两线”是指x＝－和x＝. 在“三点”确定的情况下，类似于“五点法”作图，可大致画出正切函数在上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期公式为T＝.( )
(2)正切函数在R上是单调递增函数．( )
(3)正切函数是奇函数，原点是唯一的一个对称中心．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．下列说法正确的是( )
A．y＝tan x是增函数
B．y＝tan x在第一象限是增函数
C．y＝tan x在某一区间上是减函数
D．y＝tan x在区间(k∈Z)上是增函数
解析：由正切函数的图象可知D正确．
答案：D
3．函数y＝tan的定义域是( )
A. B.
C. D.
解析：由x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠kπ＋，k∈Z.
答案：D
4．已知函数f(x)＝tan，则函数f(x)的最小正周期为( )
A. B.
C．π D．2π
解析：解法一 函数y＝tan(ωx＋φ)的周期T＝，可得T＝＝.
解法二 由诱导公式可得tan
＝tan＝tan，
所以f＝f(x)，所以周期为T＝.
答案：B
类型一 求函数的定义域
例1 求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝lg(－tan x)．
【解析】 (1)要使函数y＝有意义，
需使
所以函数的定义域为
{x|x∈R且x≠kπ－，x≠kπ＋}，k∈Z.
(2)要使y＝lg(－tan x)有意义，需使，
所以函数的定义域是.
求函数的定义域注意函数中分母不等于0，真数大于0，正切函数中的x≠kπ＋，k∈Z等问题．
方法归纳
求正切函数定义域的方法
求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．
跟踪训练1 (1)函数y＝的定义域为( )
A.{x|x≠0}
B．{x|x≠kπ，k∈Z}
C.
D.
(2)求函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域．
解析：(1)函数y＝有意义时，需使
所以函数的定义域为{x|x≠kπ＋，且x≠kπ，k∈Z}＝
{x|x≠，k∈Z}.
(2)由题意得即－1≤tan x<1.
在内，满足上述不等式的x的取值范围是[－，).
又y＝tan x的周期为π，所以所求函数的定义域是(k∈Z)．
(1)分母不等于0
(2)偶次根式被开方数大于等于0
(3)真数大于0
(4)正切函数x≠kπ＋，k∈Z
类型二 正切函数的单调性及其应用
例2 求函数y＝tan的单调区间．
【解析】 y＝tan＝－tan.
由－＋kπ<3x－<＋kπ(k∈Z)，得－＋
所以函数y＝tan的单调递减区间为(－＋，＋)(k∈Z)．
先利用诱导公式将函数转化为y＝－tan，再由－＋kπ<3x－<＋kπ(k∈Z)解出x即可．
方法归纳
(1)运用正切函数单调性比较大小的方法
①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
②运用单调性比较大小关系．
(2)求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
①若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ②若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
跟踪训练2 本例(2)函数变为y＝tan，求该函数的单调区间．
解析：y＝tan＝－tan，
由kπ－得2kπ－所以函数y＝tan的单调递减区间是(2kπ－，2kπ＋π)，k∈Z.
类型三 正切函数图象与性质的综合应用
例3 设函数f(x)＝tan.
(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心；
(2)求不等式－1≤f(x)≤的解集．
【解析】 (1)由－≠＋kπ(k∈Z)．
得x≠＋2kπ(k∈Z)．
所以f(x)的定义域是
{x|x≠＋2kπ}，k∈Z.
因为ω＝，所以最小正周期T＝＝＝2π.
由－＋kπ<－<＋kπ(k∈Z)，
得－＋2kπ所以函数f(x)的单调递增区间是
(k∈Z)．
由－＝(k∈Z)，得x＝kπ＋π(k∈Z)，故函数f(x)的对称中心是，k∈Z.
(2)由－1≤tan≤，
得－＋kπ≤－≤＋kπ(k∈Z)，
解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．
所以不等式－1≤f(x)≤的解集是
{x|＋2kπ≤x≤＋2kπ}，k∈Z.
由此不等式确定函数的单调区间是关键一步，也是易误点．
由tan的范围确定－的范围是本题的难点．
方法归纳
解答正切函数图象与性质问题应注意的两点
(1)对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴．
(2)单调性：正切函数在每个(k∈Z)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的．
跟踪训练3 已知α∈，且1＋tan α≥0，则角α的取值范围是________．
解析：1＋tan α≥0，所以tan α≥－1，
作出正切函数y＝tan α，y＝－1的图象，由图象可得，
当α∈时，满足不等式的角α的范围是≤α<π，
即α的取值范围是.
答案：
对于不等式tanα≥a，作出正切函数的图象，作出y＝a的图象，借助图象观察已知范围内，满足不等式的角α的范围.
1.4.3
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．函数f(x)＝tan的最小正周期为( )
A. B.
C．π D．2π
解析：方法一 函数f(x)＝tan(ωx＋φ)的周期是T＝，直接利用公式，可得T＝＝.
方法二 由诱导公式可得tan＝tan＝tan，
所以f＝f(x)，所以周期T＝.
答案：A
2．函数y＝(－A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1，＋∞)
解析：∵－答案：B
3．已知a＝tan 2，b＝tan 3，c＝tan 5，不通过求值，判断下列大小关系正确的是( )
A．a>b>c B．aC．b>a>c D．b解析：tan 5＝tan[π＋(5－π)]＝tan(5－π)，由正切函数在上为增函数且π>3>2>5－π>可得tan 3>tan 2>tan(5－π)．
答案：C
4．函数y＝3tan 2x的对称中心为( )
A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
解析：令2x＝(k∈Z)，得x＝(k∈Z)，则函数y＝3tan 2x的对称中心为(k∈Z)，故选B.
答案：B
5．下列关于函数y＝tan的说法正确的是( )
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是π
C．图象关于点成中心对称
D．图象关于直线x＝成轴对称
解析：令kπ－答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．函数y＝tan的定义域为________．
解析：由＋6x≠kπ＋(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z)．
答案：
7．函数y＝3tan(π＋x)，－解析：函数y＝3tan(π＋x)＝3tan x，因为正切函数在上是增函数，所以－3答案：(－3，]
8．比较大小：tan 135°________tan 138°.(填“>”或“<”)
解析：因为90°<135°<138°<270°，又函数y＝tan x在区间上是增函数，所以tan 135°答案：<
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间和奇偶性．
解析：由函数y＝|tan x|得
y＝
根据正切函数图象的特点作出函数的图象，图象如图．
由图象可知，函数y＝|tan x|是偶函数．
函数y＝|tan x|的单调增区间为，k∈Z，单调减区间为，k∈Z.
10．不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：
(1)tan与tan；
(2)tan与tan.
解析：(1)因为tan＝tan，tan＝tan，
又0<<<，y＝tan x在内单调递增，
所以tan(2)因为tan＝－tan，tan＝－tan，
又0<<<，y＝tan x在内单调递增，
所以tan>tan，所以－tan<－tan，
即tan[能力提升](20分钟，40分)
11．如果函数y＝tan(x＋φ)的图象经过点，那么φ可能是( )
A．－ B．－
C. D.
解析：∵y＝tan(x＋φ)的图象经过点，
∴tan＝0，即＋φ＝kπ，k∈Z，则φ＝kπ－，k∈Z，当k＝0时，φ＝－，故选A.
答案：A
12．已知函数y＝tan ωx在内是单调减函数，则ω的取值范围是________．
解析：函数y＝tan ωx在内是单调减函数，则有ω<0，且周期T≥－＝π，即≥π，故|ω|≤1，
∴－1≤ω<0.
答案：[－1,0)
13．(1)求y＝tan的单调区间；
(2)比较tanπ与tan的大小．
解析：(1)由题意，kπ－即kπ－所以2kπ－故单调增区间为(k∈Z)．
(2)tanπ＝tan＝tan，
tan＝－tanπ＝－tan
＝－tan＝tan，
因为－<<<，
y＝tan x在上单调递增，
所以tan即tanπ>tan.
14．已知函数f(x)＝3tan.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)试比较f(π)与f的大小．
解析：(1)因为f(x)＝3tan＝－3tan，
所以T＝＝＝4π.
由kπ－<－得4kπ－因为y＝3tan
在(k∈Z)内单调递增，
所以f(x)＝－3tan，在
(k∈Z)内单调递减．故原函数的最小正周期为4π，单调递减区间为(k∈Z)．
(2)f(π)＝3tan＝3tan＝－3tan，
f＝3tan＝3tan＝－3tan，
因为0<<<，且y＝tan x在上单调递增，
所以tanf.
课件28张PPT。