1.6 三角函数模型的简单应用
考试标准
课标要点
学考要求
高考要求
三角函数模型的实际应用
c
c
知识导图
学法指导
1.应用三角函数模型解决问题，首先要把实际问题抽象为数学问题，通过分析它的变化趋势，确定它的周期，从而建立适当的三角函数模型．
2．在建立三角函数模型时，要注意从数据的周而复始的特点以及数据的变化趋势这两个方面来考虑.
1.三角函数模型应用的步骤
三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决．
步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．
这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式．
2．三角函数模型的拟合应用
我们可以利用搜集到的数据，做出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．
解答三角函数应用题应注意四点
(1)三角函数应用题的语言形式多为“文字语言、图形语言、符号语言”并用，阅读理解中要读懂题目所要反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，列出等量或不等量的关系．
(2)在建立变量关系这一关键步骤上，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言并用的思维方式来打开思想解决问题．
(3)实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题．
(4)实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要用到计算机或计算器．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)解答三角函数应用题的一般步骤：审题、建模、求解、检验、还原．( )
(2)在解决实际问题时，利用收集的数据作散点图，可精确估计函数模型．( )
(3)若函数y＝asin x＋1在x∈[0,2π]上有两个不同零点，则实数a的取值范围是[－1,1]．( )
(4)已知某地区某一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]，则该地区在这一时段的温差为20 ℃.( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )
A．[0,5] B．[5,10]
C．[10,15] D．[15,20]
解析：由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]?[3π，5π]，故选C.
答案：C
3．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动，已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：
s1＝5sin，s2＝5cos.
则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是( )
A．s1>s2 B．s1C．s1＝s2 D．不能确定
解析：当t＝时，s1＝－5，s2＝－5，所以s1＝s2.
答案：C
4．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将传播至( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期，故选C.
答案：C
类型一 三角函数在物理中的应用
例1 已知弹簧上挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)与时间t(s)的函数关系式为：h＝3sin.
(1)求小球开始振动的位置；
(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间；
(3)经过多长时间小球往返振动一次？
(4)每秒内小球能往返振动多少次？
【解析】 (1)令t＝0，得h＝3sin＝，所以开始振动的位置为平衡位置上方距离平衡位置 cm处．
(2)由题意知，当h＝3时，t的最小值为，即小球第一次上升到最高点的时间为 s.
当h＝－3时，t的最小值为，即小球第一次下降到最低点的时间为 s.
(3)T＝＝π，即经过约π s小球往返振动一次．
(4)f＝＝，即每秒内小球往返振动次.
令t＝0解?1?→令h＝±3解?2?→问题?3?即求周期T→问题?4?即求频率f?T的倒数?
方法归纳
处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
跟踪训练1 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用“五点法”做出这个函数的简图，并回答下列问题：
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复振动一次？
解析：列表如下，
t
－
2t＋
0
π
2π
sin
0
1
0
－1
0
s
0
4
0
－4
0
描点、连线，图象如图所示．
(1)将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin＝2，所以小球开始振动时的位移是2 cm.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.
(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是πs.
解决此类问题的关键在于明确各个参数的物理意义，易出现的问题是混淆彼此之间的对应关系．
类型二 三角函数在实际生活中的应用
例2 已知某海滨浴场的海浪高度是时间t(h)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据.
t(h)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(m)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b.
(1)根据以上数据，求出函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8时到晚上20时之间，有多长时间可供冲浪者进行运动？
【解析】 (1)依题意，得T＝12，A＝＝0.5，
b＝＝1，所以ω＝＝，故y＝cost＋1.
(2)令y＝cost＋1>1，则2kπ－<t<2kπ＋(k∈Z)，所以12k－3又因为8根据已知数据，借助散点图草图，确定解析式，利用三角不等式求范围，确定时间．
方法归纳
解三角函数应用问题的基本步骤
跟踪训练2 如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时．请解答下列问题：
(1)求出你与地面的距离y与时间t的函数关系式；
(2)当你第四次距离地面60.5米时，用了多少时间？
解析：(1)由已知可设y＝40.5－40cos ωt(t≥0)，由已知周期为12分钟，可知ω＝，即ω＝.
所以y＝40.5－40cost(t≥0)．
(2)令y＝40.5－40cost＝60.5，得cost＝－，
所以t＝π或t＝π，解得t＝4或t＝8，故第四次距离地面60.5米时，用时为12＋8＝20(分钟)．
(1)由已知可得解析式．
(2)利用y＝60.5解t.
类型三 根据数据拟合函数
例3 某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据.
t/小时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
经长期观察，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Asin ωt＋b的图象．
(1)试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?
【解析】 (1)由已知数据，描出曲线如图：
易知函数y＝f(t)的周期T＝12，振幅A＝3，b＝10，
∴ω＝＝，∴y＝3sint＋10.(0≤t≤24)
(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5米，
由y≥11.5，得3sint＋10≥11.5，∴sint≥.①
∵0≤t≤24，∴0≤t≤4π.②
由①②得≤t≤或≤t≤.化简得1≤t≤5或13≤t≤17.
∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港内最多可停留16小时.
由表格画出曲线图，由图可求A，b，由周期T可求ω，即求y＝Asinωt＋b.
方法归纳
在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需以下几个步骤
(1)根据原始数据，绘出散点图；
(2)通过散点图，做出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线；
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．
跟踪训练3 已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(x)的图象可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b的图象．
(1)根据以上数据，求其最小正周期、振幅及函数解析式；
(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
解析：(1)由表中数据可知，T＝12，所以ω＝.又t＝0时，y＝1.5，所以A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅A为，函数解析式为y＝cost＋1(0≤t≤24)．
(2)因为y>1时，才对冲浪爱好者开放，
所以y＝cost＋1>1，cost>0,2kπ－<t<2kπ＋(k∈Z)，即12k－3又0≤t≤24.所以0≤t<3或9即9根据表格，确立y＝A cosωt＋b的模型，求出A，T，b，推出ω，利用t＝0时，y为1.5，t＝3，y＝1.0，求出b，即可求出拟合模型的解析式．
1.6
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝3sin 100πt，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的周期是( )
A. B．50
C. D．100
解析：T＝＝.
答案：A
2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
解析：由图可知－3＋k＝2，则k＝5，∴y＝3sin＋5，∴ymax＝3＋5＝8.
答案：C
3．某市某房地产中介对某楼群在今年的房价作了统计与预测，发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，已知第1季度和第2季度的平均单价如下表所示.
x
1
2
y
10 000
9 500
则此楼群在第3季度的平均单价大约是( )
A．10 000元 B．9 500元
C．9 000元 D．8 500元
解析：因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000；当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500，即
所以易得3ω＋φ＝－＋2kπ，k∈Z.
又当x＝3时，y＝500sin(3ω＋φ)＋9 500，所以y＝9 000.
答案：C
4．如图，单摆离开平衡位置O的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为s＝6sin，则单摆在摆动时，从最右边到最左边的时间为( )
A．2 s B．1 s
C. s D. s
解析：由题意，知周期T＝＝1(s)，从最右边到最左边的时间是半个周期，为 s.
答案：C
5．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)
B．f(x)＝9sin(1≤x≤12，x∈N*)
C．f(x)＝2sinx＋7(1≤x≤12，x∈N*)
D．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)
解析：令x＝3可排除D，令x＝7可排除B，由A＝＝2可排除C；或由题意，可得A＝＝2，b＝7，周期T＝＝2×(7－3)＝8，∴ω＝.
∴f(x)＝2sin＋7.
∵当x＝3时，y＝9，
∴2sin＋7＝9，
即sin＝1.
∵|φ|<，∴φ＝－.
∴f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)．
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)的血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．
解析：T＝＝(分)，f＝＝80(次/分)．
答案：80
7．有一小球从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数解析式是s＝Asin(ωt＋φ)，0<φ<，函数图象如图所示，则φ＝________.
解析：根据图象，知，两点的距离刚好是个周期，所以T＝－＝.
所以T＝1，则ω＝＝2π.
因为当t＝时，函数取得最大值，
所以2π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又0<φ<，所以φ＝.
答案：
8．某城市一年中12个月的月平均气温y与月份x的关系可近似地用函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示．已知6月份的月平均气温最高，为28 °C,12月份的月平均气温最低，为18 °C，则10月份的月平均气温为________ °C.
解析：根据题意得28＝a＋A,18＝a＋Acos＝a－A，解得a＝23，A＝5，所以函数y＝23＋5cos，令x＝10，得y＝23＋5cos＝23＋5cos＝20.5.
答案：20.5
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．弹簧振子以O为平衡位置，在B，C两点间做简谐运动，B，C相距20 cm，某时刻振子处在B点，经0.5 s振子首次到达C点，求：
(1)振动的振幅、周期和频率；
(2)弹簧振子在5 s内通过的路程及位移．
解析：(1)设振幅为A，则2A＝20 cm，
所以A＝10 cm.
设周期为T，则＝0.5 s，所以T＝1 s，所以f＝1 Hz.
(2)振子在1 s内通过的距离为4A，故在5 s内通过的路程s＝5×4A＝20A＝20×10＝200(cm)．
5 s末物体处在B点，所以它的位移为0 cm.
10．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin (100πt＋)来表示，求：
(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
解析：(1)当t＝0时，E＝110(V)，
即开始时的电压为110V.
(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02 s.
(3)电压的最大值为220V，
当100πt＋＝，即t＝ s时第一次取得最大值．
[能力提升](20分钟，40分)
11．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针位置为P(x，y)．若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t＝0)开始走时，点P的纵坐标y与时间t的函数解析式可以是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：由题意知，函数的周期为T＝60，∴|ω|＝＝.
设函数解析式为y＝sin.
∵初始位置为P0，∴t＝0时，y＝，∴sinφ＝，
∴φ可取，∴函数解析式可以是y＝sin.又由秒针顺时针转动可知，y的值从t＝0开始要先逐渐减小，故y＝sin，故选C.
答案：C
12．一半径为6米的水轮如图，水轮圆心O距离水面3米，已知水轮每分钟转动4圈，水轮上点P从水中浮现时开始到其第一次达到最高点的用时为________秒．
解析：过O作水平面的垂线，垂足为Q，如图所示
由已知可得OQ＝3，OP＝6，
则cos∠POQ＝，即∠POQ＝60°，
则水轮上点P从水中浮现时开始到其第一次达到最高点要旋转120°，即个周期，
又由水轮每分钟转动4圈，可知周期是15秒，
故水轮上点P从水中浮现时开始到第一次达到最高点的用时为5秒．
答案：5
13．心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80 mmHg为标准值，设某人的血压满足方程式P(t)＝115＋25sin(160πt)，其中P(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数P(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)画出函数P(t)的草图；
(4)求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较．
解析：(1)由于ω＝160π代入周期公式T＝，可得T＝＝(min)，
所以函数P(t)的周期为min.
(2)函数P(t)的频率f＝＝80(次/分)，即此人每分钟心跳的次数为80.
(3)列表：
t/min
0
P(t)/mmHg
115
140
115
90
115
描点、连线并左右扩展得到函数P(t)的简图如图所示．
(4)此人的收缩压为115＋25＝140(mmHg)，舒张压为115－25＝90(mmHg)，与标准值120/80 mmHg相比较，此人血压偏高．
14．某帆板集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：时)呈周期性变化，每天t时刻的浪高数据的平均值如下表：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.0
1.4
1.0
0.6
1.0
1.4
0.9
0.5
1.0
(1)作散点图；
(2)从y＝at＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b；y＝Atan(ωt＋φ)中选一个合适的函数模型，并求出该模型的解析式；
(3)如果确定在一天内的7时到19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．
解析：(1)散点图如图所示，
(2)由(1)知，选择y＝Asin(ωt＋φ)＋b较合适．
令A>0，ω>0，|φ|<π.
由图知，A＝0.4，b＝1，T＝12，所以ω＝＝.
把t＝0，y＝1代入y＝0.4sin＋1，得φ＝0.
故所求拟合模型的解析式为y＝0.4sint＋1(0≤t≤24)．
(3)由y＝0.4sint＋1≥0.8，得sint≥－，
则－＋2kπ≤t≤＋2kπ(k∈Z)，
即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，
注意到t∈[0,24]，所以0≤t≤7，或11≤t≤19，或23≤t≤24，
再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当．
课件28张PPT。
