1.2 一定是直角三角形吗同步测试题

1.2一定是直角三角形吗
同步检测
（时间45分钟 满分100分）
一、选择题（每小题7分，共35分）
1．（2019春?南平期末）下列四组数中，为勾股数的是（　　）
A．2，3，5 B．5，12，13 C．4，5，6 D．32，42，52
2．（2019春?商南县期末）下列各组数据中，不是勾股数的是（　　）
A．3，4，5 B．5，7，9 C．8，15，17 D．7，24，25
3.（2019春?行唐县期末）下列几组数中，是勾股数的有（　　）
①5、12、13；②13、14、15；③3k、4k、5k（k为正整数）；④、2、
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
4．（2019春?西工区校级月考）下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（　　）
A．1.5、2、2.5 B．3、4、5 C．32、42、52 D．30、40、50
5.（2019春?道里区校级期中）下列各组数中不能构成直角三角形的一组数是（　　）
A．3，4，5 B．7，24，25 C．，， D．4，，
二、填空题（每小题7分，共35分）
6. （2019?零陵区三模）观察下列几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…按此规律，当直角三角形的最小直角边长是11时，则较长直角边长是　 　；当直角三角形的最小直角边长是2n+1时，则较长直角边长是　 　．
7．（2019?无棣县二模）观察下列一组数：
列举：3、4、5，猜想：32＝4+5；
列举：5、12、13，猜想：52＝12+13；
列举：7、24、25，猜想：72＝24+25；
…
列举：13、b、c，猜想：132＝b+c；
请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b＝　 　，c＝　 　．
8．（2019春?广丰区期末）△ABC各内角A、B、C所对边的长分别为13、12、5，那么角A的度数是　 　．
9．（2019春?东至县期末）若一个三角形的三边的比为3：4：5，则这个三角形的三边上的高之比为　 　．
10．（2019?北京）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝　 　°（点A，B，P是网格线交点）．
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三、解答题（共30分）
11．（15分）（2019?马鞍山二模）若正整数a，b，c（a＜b＜c）满足a2+b2＝c2，则称（a，b，c）为一组“勾股数”．
观察下列两类“勾股数”：
第一类（a是奇数）：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；…
第二类（a是偶数）：（6，8，10）；（8，15，17）；（10，24，26）；…
（1）请再写出两组勾股数，每类各写一组；
（2）分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和c，并选择其中一种情形证明（a，b，c）是“勾股数”．
12．（15分）（2019春?中山市期末）如图，已知等腰三角形ABC的底边BC长为10，点D是AC上的一点，其中BD＝8，CD＝6．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）求AB的长．
1.2一定是直角三角形吗
同步检测答案
（时间45分钟 满分100分）
一、选择题（每小题7分，共35分）
1．（2019春?南平期末）下列四组数中，为勾股数的是（　　）
A．2，3，5 B．5，12，13 C．4，5，6 D．32，42，52
【分析】根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足a2+b2＝c2，称为勾股数．由此判定即可．
【解答】解：A、22+32≠52，不能构成勾股数，故选项错误；
B、52+122＝132，能构成勾股数，故选项正确；
C、42+52≠62，不能构成勾股数，故选项错误；
D、322+422≠522，不能构成勾股数，故选项错误．
故选：B．
2．（2019春?商南县期末）下列各组数据中，不是勾股数的是（　　）
A．3，4，5 B．5，7，9 C．8，15，17 D．7，24，25
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，是整数，故选项错误；
B、52+72≠92，不能构成直角三角形，故选项正确；
C、82+152＝172，构成直角三角形，是正整数，故选项错误；
D、72+242＝252，能构成直角三角形，是整数，故选项错误．
故选：B．
3.（2019春?行唐县期末）下列几组数中，是勾股数的有（　　）
①5、12、13；②13、14、15；③3k、4k、5k（k为正整数）；④、2、
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【分析】勾股数是满足a2+b2＝c2 的三个正整数，据此进行判断即可．
【解答】解：∵满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数，
∴是勾股数的有①5、12、13；③3k、4k、5k（k为正整数）．
故选：B．
4．（2019春?西工区校级月考）下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（　　）
A．1.5、2、2.5 B．3、4、5 C．32、42、52 D．30、40、50
【分析】根据勾股定理逆定理即可判断能否构成直角三角形．
【解答】解：A．由1.52+22＝6.25＝2.52知此三边能构成直角三角形；
B．由32+42＝25＝52知此三边能构成直角三角形；
C．由（32）2+（42）2＝337≠（52）2知此三边不能构成直角三角形；
D．由（30）2+（40）2＝2500＝（50）2知此三边能构成直角三角形；
故选：C．
5.（2019春?道里区校级期中）下列各组数中不能构成直角三角形的一组数是（　　）
A．3，4，5 B．7，24，25 C．，， D．4，，
【分析】欲判断能否构成直角三角形，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：A、32+42＝52，能构成直角三角形；
B、72+242＝262，能构成直角三角形；
C、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形；
D、42+（）2＝（）2，能构成直角三角形．
故选：C．
二、填空题（每小题7分，共35分）
6. （2019?零陵区三模）观察下列几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…按此规律，当直角三角形的最小直角边长是11时，则较长直角边长是　 　；当直角三角形的最小直角边长是2n+1时，则较长直角边长是　 　．
【分析】观察几组数据，不难发现b、c与a2之间的关系是a2＝b+c，c＝b+1．据此规律即可得到结论．
【解答】解：设直角三角形的最小直角边长是a，则较长直角边长是b，x斜边是c，
∵几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41，于是得到规律为a2＝b+c，c＝b+1，
∴a2＝b+c，a＝11，
∴b+c＝121，
∵b＝c﹣1，
∴b＝60，c＝61；
当直角三角形的最小直角边长是11时，则较长直角边长是60；当直角三角形的最小直角边长是2n+1时，则较长直角边长是2n2+2n，
故答案为：60，2n2+2n．
7．（2019?无棣县二模）观察下列一组数：
列举：3、4、5，猜想：32＝4+5；
列举：5、12、13，猜想：52＝12+13；
列举：7、24、25，猜想：72＝24+25；
…
列举：13、b、c，猜想：132＝b+c；
请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b＝　 　，c＝　 　．
【分析】认真观察三个数之间的关系：首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个数为从3开始连续的奇数，第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一个数的平方是第二、三个数的和；最后得出第n组数为（2n+1），（），（），由此规律解决问题．
【解答】解：在32＝4+5中，4＝，5＝；
在52＝12+13中，12＝，13＝；
…
则在13、b、c中，b＝＝84，c＝＝85．
8．（2019春?广丰区期末）△ABC各内角A、B、C所对边的长分别为13、12、5，那么角A的度数是　 　．
【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．
【解答】解：∵△ABC各内角A、B、C所对边的长分别为13、12、5，
∴52+122＝132，
∴∠A＝90°，
故答案为：90°
9．（2019春?东至县期末）若一个三角形的三边的比为3：4：5，则这个三角形的三边上的高之比为　 　．
【分析】根据勾股定理的逆定理得到这个三角形是直角三角形，根据三角形的面积公式求出斜边上的高，计算即可．
【解答】解：设三角形的三边分别为3x、4x、5x，
（3x）2+（4x）2＝25x2，（5x）2＝25x2，
则（3x）2+（4x）2＝（5x）2，
∴这个三角形是直角三角形，
设斜边上的高为h，
×3x×4x＝×5x×h，
解得，h＝x，
则这个三角形的三边上的高之比＝4x：3x：x＝20：15：12，
故答案为：20：15：12．
10．（2019?北京）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝　 　°（点A，B，P是网格线交点）．
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【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，
∴PD2+DB2＝PB2，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，
故答案为：45．
三、解答题（共30分）
11．（15分）（2019?马鞍山二模）若正整数a，b，c（a＜b＜c）满足a2+b2＝c2，则称（a，b，c）为一组“勾股数”．
观察下列两类“勾股数”：
第一类（a是奇数）：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；…
第二类（a是偶数）：（6，8，10）；（8，15，17）；（10，24，26）；…
（1）请再写出两组勾股数，每类各写一组；
（2）分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和c，并选择其中一种情形证明（a，b，c）是“勾股数”．
【分析】（1）根据勾股数的定义即可得到结论；
（2）当a为奇数时，当a为偶数时，根据勾股数的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）第一组（a是奇数）：9，40，41（答案不唯一）；
第二组（a是偶数）：12，35，37（答案不唯一）；
（2）当a为奇数时，，；
当a为偶数时，，；
证明：当a为奇数时，a2+b2＝，
∴（a，b，c）是“勾股数”．
当a为偶数时，a2+b2＝
∴（a，b，c）是“勾股数“．”
12．（15分）（2019春?中山市期末）如图，已知等腰三角形ABC的底边BC长为10，点D是AC上的一点，其中BD＝8，CD＝6．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）求AB的长．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）设AB＝x，则AB＝AC＝x，得到AD＝x﹣6，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵BC＝10，BD＝8，CD＝6，
∴BD2+CD2＝82+62＝102＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴BD⊥AC；
（2）解：设AB＝x，则AB＝AC＝x，
∵CD＝6，
∴AD＝x﹣6，
∵AB2＝BD2+AD2，
∴x2＝82+（x﹣6）2，
解得：x＝，
∴AB＝．