1.3 勾股定理的应用同步测试题

1.3勾股定理的应用
同步检测
（时间45分钟 满分100分）
一、选择题（每小题8分，共40分）
1．（2019春?汉阳区校级期中）如图，一棵大树在离地面6米高的B处断裂，树顶A落在离树底部C的8米处，则大树数断裂之前的高度为（　　）
A．16米 B．15米 C．24米 D．21米
2．（2019春?临泉县期末）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是（　　）
A．5.3尺 B．6.8尺 C．4.7尺 D．3.2尺
3．（2019春?浉河区校级月考）小明想知道学校旗杆（垂直地面）的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子拉直后，发现绳子下端拉开5m，且下端刚好接触地面，则旗杆的高是（　　）
A．6m B．8m C．10m D．12m
4．（2019春?鄂城区期中）一架长5米的梯子AB，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米，若梯子的顶端沿墙下滑1米，则梯子的底端在水平方向上将滑动（　　）
A．0米 B．1米 C．2米 D．3米
5．（2019春?常德期中）如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30cm．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为60cm，则水深是（　　）cm．
A．35 B．40 C．50 D．45
二、填空题（每小题8分，共32分）
6．（2019春?固始县期末）学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，测出CD＝6m，AD＝8m，BC＝24m，AB＝26m，AD⊥CD，那么需要绿化部分的面积为　 　．
7．（2019春?南岗区校级月考）如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，AQ＝2，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，则蚂蚁爬行的最短路程是　 　．
8．（2019春?恩施市期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为　 　dm．
9．（2019春?洛阳期中）如图是学校艺术馆中的柱子，高4.5m．为迎接艺术节的到来，工作人员用一条花带从柱底向柱顶均匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止．若柱子的底面周长是2m，则这条花带至少需要　 　m．
三、解答题（共28分）
10．（14分）（2019春?巍山县期末）小东拿着一根长竹竿进一个宽为5米的矩形城门，他先横着拿但进不去；又竖起来拿，结果竹竿比城门还高1米，当他把竹竿左右斜着拿时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？
11．（14分）（2019春?道里区期末）某地区为了开发农业，决定在公路上相距25km的A、B两站之间E点修建一个土特产加工基地，使E点到C、D两村的距离相等，如图，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA＝15km，CB＝10km，求土特产加工基地E应建在距离A站多少km的地方？

1.3勾股定理的应用
同步检测答案
（时间45分钟 满分100分）
一、选择题（每小题8分，共40分）
1．（2019春?汉阳区校级期中）如图，一棵大树在离地面6米高的B处断裂，树顶A落在离树底部C的8米处，则大树数断裂之前的高度为（　　）
A．16米 B．15米 C．24米 D．21米
【分析】根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．
【解答】解：由题意得BC＝6，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB2＝BC2+AC2＝62+82=100，∴AB=10（米）．
所以大树的高度是10+6＝16米．
故选：A．
2．（2019春?临泉县期末）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是（　　）
A．5.3尺 B．6.8尺 C．4.7尺 D．3.2尺
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．
【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+62＝（10﹣x）2．
解得：x＝3.2，
∴折断处离地面的高度为3.2尺，
故选：D．
3．（2019春?浉河区校级月考）小明想知道学校旗杆（垂直地面）的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子拉直后，发现绳子下端拉开5m，且下端刚好接触地面，则旗杆的高是（　　）
A．6m B．8m C．10m D．12m
【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．
【解答】解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2
∴x2+52＝（x+1）2
解得x＝12
∴AB＝12
∴旗杆的高12m．
故选：D．
4．（2019春?鄂城区期中）一架长5米的梯子AB，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米，若梯子的顶端沿墙下滑1米，则梯子的底端在水平方向上将滑动（　　）
A．0米 B．1米 C．2米 D．3米
【分析】根据勾股定理可求得如果梯子的顶端沿墙下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米．
【解答】解：如图：在Rt△ACB中，BC＝3，AB＝5，AC2=AB2-BC2＝52-32=16，∴AC=4米，
DC＝4﹣1＝3米．
在Rt△DCE中，DC＝3，DE＝5，CE2=DE2-DC2＝52-32=16，CE＝4米，
BE＝CE﹣CB＝1．
即梯子底端也滑动了1米．
故选：B．
5．（2019春?常德期中）如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30cm．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为60cm，则水深是（　　）cm．
A．35 B．40 C．50 D．45
【分析】仔细分析该题，可画出草图，关键是水深、红莲移动的水平距离及红莲的高度构成一直角三角形，解此直角三角形即可．
【解答】解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长．
设水深h尺，由题意得：
Rt△ABC中，AB＝h，AC＝h+30，BC＝60，
由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2，
即（h+30）2＝h2+602，
解得：h＝45．
故选：D．
二、填空题（每小题8分，共32分）
6．（2019春?固始县期末）学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，测出CD＝6m，AD＝8m，BC＝24m，AB＝26m，AD⊥CD，那么需要绿化部分的面积为　 　．
【分析】由AC2+BC2＝100+576＝676＝262＝AB2，则△ABC为直角三角形，即可求解．
【解答】解：∵∠ADC＝90°，
∴AC2＝AD2+CD2＝64+36＝100，
∵AC2+BC2＝100+576＝262＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，
需要绿化部分的面积＝S△ACB﹣S△ACD＝×AC?BC﹣AD×CD＝×10×24﹣×8×6＝96，
故答案为96m2．
7．（2019春?南岗区校级月考）如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，AQ＝2，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，则蚂蚁爬行的最短路程是　 　．
【分析】画出正方体的侧面展开图，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：如图所示，
∵PB＝AB＝6，AQ＝2，
∴BQ＝6+2＝8，
PQ2=PB2+BQ2＝62+82=100，
∴PQ＝10．
答：蚂蚁爬行的最短路程是10．
故答案为：10
8．（2019春?恩施市期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为　 　dm．
【分析】先将图形平面展开，再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2＝202+[（2+3）×3]2＝252，
解得：x＝25（dm）．
故答案为：25．
9．（2019春?洛阳期中）如图是学校艺术馆中的柱子，高4.5m．为迎接艺术节的到来，工作人员用一条花带从柱底向柱顶均匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止．若柱子的底面周长是2m，则这条花带至少需要　 　m．
【分析】要求花圈的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．
【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，
则有螺旋线长为三个长方形并排后的长方形的对角线长
∵圆柱高4.5米，底面周长2米
x2＝（2×3）2+4.52＝56.25
所以，x＝7.5花带长至少是7.5m．
故答案为：7.5．
三、解答题（共28分）
10．（14分）（2019春?巍山县期末）小东拿着一根长竹竿进一个宽为5米的矩形城门，他先横着拿但进不去；又竖起来拿，结果竹竿比城门还高1米，当他把竹竿左右斜着拿时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？
【分析】根据题意可构造出直角三角形，根据勾股定理列出方程，便可得出答案．
【解答】解：设竹竿长x米，则城门高（x﹣1）米，根据题意得：
x2＝（x﹣1）2+52，
解得：x＝13
答：竹竿长13米．
11．（14分）（2019春?道里区期末）某地区为了开发农业，决定在公路上相距25km的A、B两站之间E点修建一个土特产加工基地，使E点到C、D两村的距离相等，如图，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA＝15km，CB＝10km，求土特产加工基地E应建在距离A站多少km的地方？
【分析】设AE＝x千米，则BE＝（25﹣x）千米，再根据勾股定理得出DA2+AE2＝BE2+BC2，进而可得出结论．
【解答】解：设AE＝x千米，则BE＝（25﹣x）千米，
在Rt△DAE中，DA2+AE2＝DE2，
在Rt△EBC中，BE2+BC2＝CE2，
∵CE＝DE，
∴DA2+AE2＝BE2+BC2，
∴152+x2＝102+（25﹣x）2，
解得，x＝10千米．
答：基地应建在离A站10千米的地方．