13.2《命题与证明》培优练习
第1课时《命题》
一、选择题
1．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③在同一平面，垂直于同一条直线的两条直线平行；④平行于同一条直线的两条直线垂直．其中真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知命题“关于x的不等式/无解”，这个命题是假命题的反例是（ ）
A．k=﹣1 B．k=1 C．k=1.2 D．k=2
二、填空题
3．若命题“/不是方程ax﹣2y=1的解”为假命题，则实数a满足： ；
4．下列四个命题：
①互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；
②经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
③坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的；
④实数a是实数a2的算术平方根．
其中正确命题的序号为 ．
三、解答题
5．判断下列命题是真命题还是假命题；如果是假命题，请举一个反例
（1）两个锐角的和是锐角；
（2）若a＞b，则a2＞b2；
（3）若n是自然数，则代数式（3n+1）（3n+2）+1的值是3的倍数．
第2课时
《证明》培优练习
一、选择题
1．甲，乙两人在做“报40”的游戏，其规则是：“两人轮流连续数数，每次最多可以连续数三个数，谁先报到40，谁就获胜”．那么采取适当策略，其结果是（ ）
A．后说数者胜 B．先说数者胜 C．两者都能胜 D．无法判断
2．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积（ ）
A．6分 B．7分 C．8分 D．9分
二、填空题
3．好久未见的A，B，C，D，E五位同学欢聚一堂，他们相互握手一次，中途统计各位同学握手次数为：A同学握手4次，B同学握手3次，C同学握手2次，D同学握手1次，那么此时E同学握手 次．
4．在右面图中，从A地到B地只能向右和向下走，共有 种不同走法．
/
三、解答题
5．在学习中，小明发现：当n=1，2，3时，n2﹣6n的值都是负数．于是小明猜想：当n为任意正整数时，n2﹣6n的值都是负数．小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由．
第3课时
《三角形内角和定理的证明与推论1、2》培优练习
一、选择题
1．如图，AD，BE都是△ABC的高，则与∠CBE一定相等的角是（ ）
/
A．∠ABE B．∠BAD C．∠DAC D．∠C
2．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B=/∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
3．如图，直线m∥n，△ABC的顶点B，C分别在直线n，m上，且∠ACB=90°，若∠1=40°，则∠2等于 度．
/
4．三角形的三个内角分别为x，y，z，且x≤y≤z，z=3x，则y的取值范围是 ．
三、解答题
5．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，使点A与点N重合．
（1）若∠B=35°，∠C=60°，求∠A的度数；
（2）若∠A=70°，求∠1+∠2的度数．
/
第4课时
《三角形的外角》培优练习
一、选择题
1．如图，E，F分别在△ABC的边上，且EF∥BC，D是BC延长线上一点，下列结论错误的是（ ）
/
∠ACD＞∠AEF B．∠AFD＞∠AEF+∠A
C．∠D＞∠AFE﹣∠CFD D．∠AFE=∠CFD+∠D
2．如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：
①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°﹣∠ABD；④BD平分∠ADC；⑤2∠BDC=∠BAC．其中正确的结论有（ ）
/
A．①②④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
二、填空题
3．某机器零件的横截面如图所示，按要求，线段AB和DC的延长线相交成直角才算合格．一工人测得∠A=25°，∠D=29°，∠AED=145°，请你帮他判断该零件是否合格 ．（填“合格”或“不合格”）
/
4．如图，∠ABC=∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：
①AD∥BC；
②∠ACB=2∠ADB；
③BD平分∠ADC；
④∠ADC=90°﹣∠ABD；
⑤∠BDC=/∠BAC
其中正确的结论是 ．
/
三、解答题
5．如图，在△ABC中，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的角平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E
（1）填空：①如图1，若∠B=60°，则∠E= ；
②如图2，若∠B=90°，则∠E= ；
（2）如图3，若∠B=α，求∠E的度数；
（3）如图4，仿照（2）中的方法，在（2）的条件下分别作∠EAB与∠ECB的角平分线，且两条角平分线交于点G，求∠G的度数．
/
参考答案
第1课时
1．解：①对顶角相等，正确，是真命题；
②相等的角是对顶角，错误，是假命题；
③在同一平面，垂直于同一条直线的两条直线平行，正确，是真命题；
④平行于同一条直线的两条直线垂直，错误，是假命题．
故选：B．
2．解：解不等式/，
可得：x≤2，x＞k+1，
∵关于x的不等式/无解，
所以可得：k+1≥2，
解得：k≥1，
故这个命题是假命题的反例是k=﹣1，
故选：A．
3．解：当x=1、y=﹣2时，a+4=1，
解得，a=﹣3，
故当a=﹣3时，/是方程ax﹣2y=1的解，
则a=﹣3时，可以说明命题“/不是方程ax﹣2y=1的解”为假命题，
故答案为：a=﹣3．
4．解：①互为邻补角的两个角的平分线互相垂直，正确；
②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，错误；
③坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的，正确；
④实数a是实数a2的算术平方根，a是负数时，错误；
故答案为：①③．
5．解：（1）假命题．反例为：40°与60°的和为100°；
（2）假命题．反例为：a=1，b=﹣3，但是a2=1＜b2=9．
（3）真命题．
∵（3n+1）（3n+2）+1
=9n2+6n+3n+2+1
=9n2+9n+3
=3（3n2+3n+1），
又n为自然数，
∴3（3n2+3n+1）为3的倍数．
第2课时
1．解：∵两人轮流连续数数，每次最多可以连续数三个数，谁先报到40，谁就获胜，40是4的倍数，
∴后报数者只要保持与对方所报的数的个数是4即可获胜，
故选：A．
2．解：4个队单循环比赛共比赛4×3÷2=6场，每场比赛后两队得分之和或为2分（即打平），或为3分（有胜负），所以6场后各队的得分之和不超过18分，
①若一个队得7分，剩下的3个队得分之和不超过11分，不可能有两个队得分之和大于或等于7分，所以这个队必定出线，
②如果一个队得6分，则有可能还有两个队均得6分，而净胜球比该队多，该队仍不能出线．
应选B．
3．解：∵共有5个人，A同学握手4次，则A与B、C、D、E每人握手一次，
∴B、C握手一定不是与D握手，
∵B握手3次，D握手1次，∴B握手3次一定是与A、C、E的握手；
∵C握手2次，是与A和B握手．
∴E一共握手2次，是与A和B握手．
故答案为：2．
4．解：根据从A到B我们经过且只经过6次交点（包括A，不包括B），
有且只有6次机会选择向右或向下，
而且结果一定是3次向右，剩下3次向下，
故走法数为：/=20．
故答案为：20．
5．答：不正确．
解法一：（利用反例证明）例如：当n=7时，n2﹣6n=7＞0；
解法二：n2﹣6n=n（n﹣6），当n≥6时，n2﹣6n≥0．
第3课时
1．解：在△BEC和△ADC中，∠C是公共角，∠ADC=∠BEC=90°，
所以∠CBE=∠DAC．
故选：C．
2．解：①∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，∴①正确；
②∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=/×180°=90°，
∴△ABC是直角三角形，∴②正确；
③∵∠A=90°﹣∠B，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，∴③正确；
④∵∠A=∠B=/∠C，
∴∠C=2∠A=2∠B，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+∠A+2∠A=180°，
∴∠A=45°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，∴④正确；
故选：D．
3．解：∵m∥n，∠1=40°，
∴∠3=∠1=40°．
∵∠ACB=90°，
∴∠4=∠ACB﹣∠3=90°﹣40°=50°，
∴∠2=180°﹣∠4=180°﹣50°=130°．
故答案为：130．
/
4．解：∵x+y+z=180°且z=3x，
∴x+y+3x=180°，
则y=180°﹣4x，
∵x≤y≤z，
∴x≤180°﹣4x≤3x，
解得：/≤x≤36，
则36°≤180°﹣4x≤/，即36°≤y≤/，
故答案为：/．
5．解：（1）∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣35°﹣60°=85°；
（2）∵∠A=70°，
∴∠ADE+∠AED=180°﹣70°=110°，
∵△ABC沿着DE折叠压平，A与N重合，
∴∠NDE=∠ADE，∠NED=∠AED，
∴∠1+∠2=180°﹣（∠NED+∠AED）+180°﹣（∠NDE+∠ADE）=360°﹣2×110°=140°.
第4课时
1．解：∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠ACB，
∵∠ACD＞∠B，
∴∠ACD＞∠AEF，所以A选项正确；
∵∠AFD＞∠ACD，
而∠ACD=∠B+∠A=∠AEF+∠A，
∴∠AFD＞∠AEF+∠A，所以B选项正确；
∵∠ACD+∠ACB=180°，
∴∠ACD+∠AFE=180°，
∴∠AFE=∠ACB=∠D+∠CFD，所以C选项错误；
∵∠AFE=∠ACB=∠CFD+∠D，
所以D选项正确．
故选：C．
2．解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC=2∠EAD，
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，∴①正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC，
∴∠ACB=2∠ADB，∴②正确；
在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB
∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，
∴∠ADC+∠ABD=90°
∴∠ADC=90°﹣∠ABD，∴③正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°﹣/∠ABC，
∴∠ADB不等于∠CDB，∴④错误；
∵∠ACF=2∠DCF，∠ACF=∠BAC+∠ABC，∠ABC=2∠DBC，∠DCF=∠DBC+∠BDC，
∴∠BAC=2∠BDC，∴⑤正确；
即正确的有4个，
故选：C．
3．解：延长AB、CD交于H，延长AE交CD于F，
则∠AFD=∠AED﹣∠D=120°，
∴∠H=∠AFD﹣∠A=91°，
∴该零件不合格，
故答案为：不合格．
/
4．解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC=2∠EAD，
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，∴①正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC，
∴∠ACB=2∠ADB，∴②正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°﹣/∠ABC，
∴∠ADB不等于∠CDB，∴③错误；
∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，
∴∠DAC=/∠EAC，∠DCA=/∠ACF，
∵∠EAC=∠ACB+∠ACB，∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠ADC=180°﹣（∠DAC+∠ACD）
=180°﹣/（∠EAC+∠ACF）
=180°﹣/（∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC）
=180°﹣/（180°﹣∠ABC）
=90°﹣/∠ABC，∴④正确；
∠BDC=∠DCF﹣∠DBF=/∠ACF﹣/∠ABC=/∠BAC，∴⑤正确，
故答案为：①②④⑤．
5．解：（1）①∠DAC﹣∠ACB=∠B=60°，
∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，
∴∠FAC=/∠DAC，∠ACE=/∠ACB，
∴∠E=∠FAC﹣∠ACE=/∠B=30°；
②∠DAC﹣∠ACB=∠B=60°，
∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，
∴∠FAC=/∠DAC，∠ACE=/∠ACB，
∴∠E=∠FAC﹣∠ACE=/∠B=45°；
（2）∠DAC﹣∠ACB=∠B=α，
∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，
∴∠FAC=/∠DAC，∠ACE=/∠ACB，
∴∠E=∠FAC﹣∠ACE=/∠B=/α；
（3）∵AG，CG分别是∠EAB与∠ECB的角平分线，
∴∠G=∠HAC﹣∠ACG=/∠FAC﹣/∠ACE=/（∠FAC﹣∠ACE）=/×/∠B=/α．
13.2《命题与证明》
基础练习
第1课时《命题》
一、选择题
1．下列句子是命题的是（ ）
A．求1+2+3+4+5+6的值 B．过点P作PC∥OA
C．能根据等式的性质解方程吗 D．房屋顶棚是彩钢做的
2．下列句子中不是命题的有（ ）
A．玫瑰花是动物 B．美丽的天空
C．相等的角是对顶角 D．负数都小于零
3．下列命题是真命题的是（ ）
A．如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0
B．如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1
C．如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0
D．如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0
4．下列命题中正确的是（ ）
A．同位角相等
B．经过一点，有且只有一条直线与己知直线平行
C．实数a是a 的算术平方根
D．点（﹣3，2）关于y轴对称的点为（3，2）
5．下列命题中错误的是（ ）
A．﹣2017的绝对值是2017 B．3的平方根是/
C．﹣/的倒数是﹣/ D．0的相反数是0
6．下列命题中正确的是（ ）
A．/的倒数是5 B．/的相反数是/
C．4的立方根是±2 D．2018的绝对值是﹣2018
7．能说明命题：“若a＞b，则ac≥bc”是假命题的反例是（ ）
A．c=﹣1 B．c=0 C．c=2 D．c=m2（m为任意实数）
8．下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补
B．若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等
C．对顶角相等
D．如果a=b，那么a2=b2
二、填空题
9．命题：“内错角相等，两直线平行”的题设是 ，结论是 ．
10．命题：“平行于同一条直线的两条直线平行”的题设是 ，结论是 ．
11．写出命题“互为倒数的两个数乘积为1”的逆命题： ．
12．举反例说明命题对于“对于任意实数x，代数式x2﹣1的值总是正数”是假命题，你举的反例是x= （写出一个x的值即可）．
13．命题“正数的绝对值是它本身”的逆命题是 ．
三、解答题
14．如图，有三个论断：①∠1=∠2；②∠B=∠C；③∠A=∠D，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
/
15．如图，已知：点A、B、C在一条直线上．
（1）请从三个论断①AD∥BE；②∠1=∠2；③∠A=∠E中，选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题：
条件： ．
结论： ．
（2）证明你所构建的是真命题．
/
第2课时
《证明》基础练习
一、选择题
1．一排有10个座位，其中某些座位已有人，若再来1人，他无论坐在何处，都与1人相邻，则原来最少就座的人有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：（1）洗锅盛水2分钟；（2）洗菜3分钟；（3）准备面条及佐料2分钟；（4）用锅把水烧开7分钟；（5）用烧开的水煮面条和菜要3分钟．以上各工序除（4）外，一次只能进行一道工序，小明要将面条煮好，最少用（ ）
A．14分钟 B．13分钟 C．12分钟 D．11分钟
二、填空题
3．小红为奶奶冲杯热牛奶，她需要做下列事情：烧开水（4.5分钟），洗杯子（2分钟），冲奶粉（1.5分钟）．她至少要用 分钟才能让奶奶喝上热牛奶．
4．一个黑暗的房间里有3盏关着的电灯，每次都按下其中的2个开关，最后 将3盏电灯都开亮．（填“能”或“不能”）
三、解答题
5．四个足球队进行单循环比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，有一个队一场都没输过，排名却倒数第一，你觉得可能吗？如果可能，请举出这情况何时出现；如果不可能，请说明理由．
第3课时
《三角形内角和定理的证明与推论1、2》基础练习
一、选择题
1．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，则∠C等于（ ）
A．75° B．60° C．45° D．90°
2．在△ABC中，∠A=80°，∠B=50°，则∠C的余角是（ ）
A．130° B．50° C．40° D．20°
3．如图所示，y与x的关系式为（ ）
/
A．y=﹣x+120 B．y=120+x C．y=60﹣x D．y=60+x
4．如图，△ABC中，∠C=44°，∠B=70°，AD是BC边上的高，DE∥AC，则∠ADE的度数为（ ）
/
A．46° B．56° C．44° D．36°
5．如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠A=40°，求∠ABD+∠ACD=（ ）
/
A．30° B．40° C．50° D．60°
6．给定下列条件，不能判定△ABC三角形是直角三角形的是（ ）
A．∠A=35°，∠B=55° B．∠A+∠B=∠C
C．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=2∠C
7．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC．若∠A=62°，∠AED=54°，则∠B的大小为（ ）
/
A．54° B．62° C．64° D．74°
8．若一个三角形三个内角度数的比为2：7：4，那么这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
二、填空题
9．在我们的生活中处处有数学的身影，请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理 ．
/
10．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则三角形最小的角是 度．
11．如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A= ．
/
12．如果一个三角形的一个内角等于另外两个内角的差，那么这个三角形是 三角形．
13．如图，△ABC中，∠1=∠2，∠BAC=60°，则∠APB= °．
/
三、解答题
14．如图，在△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC．已知
∠B=70°，∠DAE=22°；求∠C的度数．
/
15．如图，已知△ADC中，∠A=30°，∠ADC=110°，BE⊥AC，垂足为E，求∠B的度数．
/
第4课时
《三角形的外角》基础练习
一、选择题
1．如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A=35°，∠C=24°，则∠D的度数是（ ）
/
A．24° B．59° C．60° D．69°
2．下列图形中，能确定∠1＞∠2的是（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
3．将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（ ）
/
A．45° B．60° C．75° D．85°
4．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（ ）
/
A．40° B．45° C．50° D．55°
5．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，那么下列式子中正确的是（ ）
/
A．γ=2α+β B．γ=α+2β C．γ=α+β D．γ=180°﹣α﹣β
6．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（ ）
/
A．120° B．105° C．60° D．45°
7．若一个三角形的三个内角度数之比为3：2：1，则与之相邻的三个外角度数之比为（ ）
A．3：2：1 B．1：2：3 C．5：4：3 D．3：4：5
8．如图，∠x的两条边被一直线所截，用含α和β的式子表示∠x为（ ）
/
A．α﹣β B．β﹣α C．180°﹣α+β D．180°﹣α﹣β
二、填空题
9．下列关于三角形外角的说法，正确的有 （填写序号）．
①三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
②三角形的一边与它的邻边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角．
③三角形一个角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫做三角形的外角．
10．如图，∠ACD=120°，∠B=25°，则∠A的度数是 °．
/
11．如图所示，∠1的度数为 ．
/
12．在三角形的三个外角中，锐角最多有 个．
13．将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则∠1= 度．
/
三、解答题
14．如图，在△ABC中，∠CBD、∠BCE是△ABC的外角，BP平分∠ABC，CP
平分∠ACB，BQ平分∠CBD，CQ平分∠BCE．
（1）∠PBQ的度数是 ，∠PCQ的度数是 ；
（2）若∠A=70°，求∠P和∠Q的度数；
（3）若∠A=α，则∠P= ，∠Q= （用含α的代数式表示）．
/
15．如图，D，E，F分别在△ABC的三边上，G是DF上一点，∠1+∠2=180°，∠B=∠3，判断∠C与∠4的大小关系，并说明理由．
/
参考答案
第1课时
1．解：A、求1+2+3+4+5+6的值，不是判断事物的语句，它不是命题；
B、过点P作PC∥OA，是描述性语言，它不是命题；
C、能根据等式的性质解方程吗，是疑问性语言，它不是命题；
D、房屋顶棚是彩钢做的，是命题；
故选：D．
2．解：A．玫瑰花是动物对事件进行判断，是命题，错误；
B．美丽的天空没有对事件进行判断，不是命题，正确；
C．相等的角是对顶角对事件进行判断，是命题，错误；
D．负数都小于零对事件进行判断，是命题，错误；
故选：B．
3．解：A、如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0，是真命题；
B、如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1，是假命题；
C、如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0，是假命题；
D、如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0，是假命题；
故选：A．
4．解：A、两直线平行，同位角相等，错误；
B、在同一平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与己知直线平行，错误；
C、实数a不是a 的算术平方根，错误；
D、点（﹣3，2）关于y轴对称的点为（3，2），正确；
故选：D．
5．解：A、﹣2017的绝对值是2017，是真命题；
B、3的平方根是/，是假命题；
C、﹣/的倒数是﹣/，是真命题；
D、0的相反数是0，是真命题；
故选：B．
6．解：A、/的倒数是5，故此选项正确；
B、/的相反数是﹣/，故此选项错误；
C、4的立方根是/，故此选项错误；
D、2018的绝对值是，2018，故此选项错误；
故选：A．
7．解：∵当c=﹣1时，﹣a＜﹣b，
∴c=﹣1是“若a＞b，则ac≥bc”是假命题的反例．
故选：A．
8．解：A、两直线平行，同旁内角互补，逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，正确，符合题意；
B、若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等，逆命题是：如果两数的绝对值相等，则这两数相等，逆命题不成立，不符合题意；
C、对顶角相等，逆命题是：如果两个角相等，则这两个角是对顶角，逆命题不成立，不符合题意；
D、如果a=b，那么a2=b2，逆命题是：如果a2=b2，则a=b，逆命题不成立，不符合题意；
故选：A．
9．解：内错角相等，两直线平行”的题设是：内错角相等，结论是：两直线平行．
故答案是：内错角相等；两直线平行．
10．解：命题：“平行于同一条直线的两条直线平行”的题设是两条直线平行于同一条直线，结论是这两条直线平行．
11．解：命题“互为倒数的两个数乘积为1”的逆命题为：如果两个数的乘积为1，那么这两个数互为倒数，
故答案为：如果两个数的乘积为1，那么这两个数互为倒数．
12．解：x=0时，x2﹣1=﹣1＜0，
∴代数式x2﹣1的值总是正数”是假命题．
故答案为0，
13．解：“正数的绝对值是它本身”的逆命题是：绝对值等于它本身的数是正数．
故答案为：绝对值等于它本身的数是正数．
14．已知：∠1=∠2，∠B=∠C
求证：∠A=∠D
证明：∵∠1=∠3
又∵∠1=∠2
∴∠3=∠2
∴EC∥BF
∴∠AEC=∠B
又∵∠B=∠C
∴∠AEC=∠C
∴AB∥CD
∴∠A=∠D
/
15．解：（1）条件：①AD∥BE；②∠1=∠2；
结论：③∠A=∠E，
故答案为：①AD∥BE，②∠1=∠2；③∠A=∠E；
（2）证明：∵AD∥BE，
∴∠A=∠EBC，
∵∠1=∠2，
∴DE∥BC，
∴∠E=∠EBC，
∴∠A=∠E．
第2课时
1．解：∵一排有10个座位，若再来1人，他无论坐在何处，都与1人相邻，
∴第一个座位可以没人坐，第二个必须有人坐，第三个、第四个可以无人坐，
第五个座位必须有人坐，第六个、第七个可以无人坐，
第八个座位必须有人坐，第九个可以无人坐，
第十个座位必须有人坐，
∴原来最少就座的人有4人，
或：第一、四、七、十个座位必须有人坐，
剩下的可以无人坐，共有4人．
故选：B．
2．解：第一步，洗锅盛水花2分钟；
第二步，用锅把水烧开7分钟，同时洗菜3分钟，准备面条及佐料2分钟，总计7分钟；
第三步，用烧开的水煮面条和菜要3分钟．
总计共用2+7+3=12分钟．
故选：C．
3．解：∵烧开水需要4.5分钟，在烧水的同时可以洗杯子，这样可以节约2分钟，
∴让奶奶喝上热牛奶的时间=4.5+1.5=6（分钟）．
故答案为：6．
4．解：∵一个黑暗的房间里有3盏关着的电灯，每次都按下其中的2个开关，
∴第一次按下后有两盏电灯亮着，有一盏电灯不亮，
这样再继续按两个开关，不论怎样一定会至少有一盏电灯不亮，故最后不能将3盏电灯都开亮．
故答案为：不能．
5．解：某队全平的情况下会排名倒数第一，
如：甲队：全平?1+1+1=3（分），
乙队：平1场，胜1场（乙胜丙），输1场?1+3+0=4（分），
丙队：平1场，胜1场（丙胜丁），输1场?1+3+0=4（分），
丁队：平1场，胜1场（丁胜乙），输1场?1+3+0=4（分），
当然还有其它情况出现．
第3课时
1．解：∵在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，
∴设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴3x+4x+5x=180°，
∴x=15°，
∴∠C=5x=75°，
故选：A．
2．解：∵在△ABC中，∠A=80°，∠B=50°，
∴∠C=180°﹣80°﹣50°=50°，
∴∠C的余角是40°．
故选：C．
3．解：由图可知：x+y+60°=180°，
可得：y=﹣x+120，
故选：A．
4．解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
∵∠C+∠DAC=90°，
∴∠DAC=46°，
∵DE∥AC，
∴∠ADE=∠DAC=46°，
故选：A．
5．解：在△ABC中，∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣40°=140°，
在△DBC中，∵∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠DCB=180°﹣90°=90°，
∴∠ABD+∠ACD=140°﹣90°=50°；
故选：C．
6．解：A、∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣35°﹣55°=90°，则是直角三角形；
B、∠A+∠B=∠C，则∠C=90°，是直角三角形；
C、最大角∠C=/×180°=90°，是直角三角形；
D、∠A=∠B=2∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠A=∠B=72°，∠C=36°，不是直角三角形．
故选：D．
7．解：∵DE∥BC，
∴∠C=∠AED=54°，
∵∠A=62°，
∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=64°，
故选：C．
8．解：依题意，设三角形的三个内角分别为：2x，7x，4x，
∴2x+7x+4x=180°，
∴7x≈97°，
x=13.85°．
7x=97°
∴这个三角形是钝角三角形．
故选：C．
9．解：根据折叠的性质，∠A=∠1，∠B=∠2，∠C=∠3，
∵∠1+∠2+∠=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°，
∴定理为：三角形的内角和是180°．
故答案为：三角形的内角和是180°．
/
10．解：设A、∠B、∠C分别为2x、3x、4x，
由三角形内角和定理得到，2x+3x+4x=180°，
解得，x=20°，
则三角形最小的角是2x=40°，
故答案为：40．
11．解：∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC=/∠ABC，∠OCB=/∠ACB，
而∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣/（∠ABC+∠ACB），
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，
∴∠BOC=180°﹣/（180°﹣∠A）=90°+/∠A，
而∠BOC=110°，
∴90°+/∠A=110°
∴∠A=40°．
故答案为40°．
12．解：/
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=∠A+∠B，
∴2∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，
故答案为：直角．
13．解：∵∠1=∠2，∠BAC=∠BAP+∠1=60°，
∴∠BAP+∠2=60°，
∴△ABP中，∠P=180°﹣60°=120°，
故答案为：120．
14．解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°﹣70°=20°，
∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=20°+22°=42°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAE=2×42°=84°，
∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=26°．
15.解：∵△ADC中，∠A=30°，∠ADC=110°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠ADC=40°，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠B=90°﹣∠C=50°．
第4课时
1．解：∵∠A=35°，∠C=24°，
∴∠DBC=∠A+∠C=59°，
∵DE∥BC，
∴∠D=∠DBC=59°，
故选：B．
2．解：A、∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1=∠2，故本选项错误；
B、若两条直线平行，则∠1=∠2，若所截两条直线不平行，则∠1与∠2无法进行判断，故本选项正确；
C、∵∠1是∠2所在三角形的一个外角，∴∠1＞∠2，故本选项正确；
D、∵已知三角形是直角三角形，∴由直角三角形两锐角互余可判断出∠1=∠2．
故选：C．
3．解：如图，
/
∵∠ACD=90°、∠F=45°，
∴∠CGF=∠DGB=45°，
则∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°，
故选：C．
4．解：∵∠A=60°，∠B=40°，
∴∠ACD=∠A+∠B=100°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD=/∠ACD=50°，
故选：C．
5．解：由折叠得：∠A=∠A'，
∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，
∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，
∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，
故选：A．
/
6．解：如图，∠2=90°﹣45°=45°，
由三角形的外角性质得，∠1=∠2+60°，
=45°+60°，
=105°．
故选：B．
/
7．解：设三个内角分别为3k、2k、k，
由题意得，3k+2k+k=180°，
解得k=30°，
所以，三个内角分别为90°，60°，30°，
与之相邻的三个外角度数分别为90°，120°，150°，
90°：120°：150°=3：4：5．
故选：D．
8．解：如图，∵α=∠1，
∴β=x+∠1
整理得：x=β﹣α．
故选：B．
/
9．解：①三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．正确；
②三角形的一边与它的邻边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角．正确；
③三角形一个角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫做三角形的外角．正确；
故答案为：①②③；
10．解：∠A=∠ACD﹣∠B
=120°﹣25°
=95°，
故答案为：95．
11．解：如图，
/
∵∠3=140°，
∴∠4=180°﹣∠3=40°，
又∠1=∠2+∠4，且∠2=80°，
∴∠1=120°，
故答案为：120°．
12．解：∵三角形的内角最多有1个钝角，
∴三角形的三个外角中，锐角最多有1个．
故答案为：1
13．解：如图，
/
由题意知，∠CAD=60°，∠B=45°，
∴∠CAB=120°，
∴∠1=∠B+∠CAB=45°+120°=165°，
故答案为：165．
14．解：（1）∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，BQ平分∠CBD，CQ平分∠BCE．
∴∠PBC=/∠ABC、∠QBC=/∠DBC、∠PCB=/∠ACB、∠QCB=/∠BCE，
∵∠ABC+∠DBC=180°、∠ACB+∠BCE=180°，
∴∠PBQ=∠PBC+∠QBC=/（∠ABC+∠DBC）=90°，
∠PCQ=∠PCB+∠QCB=/（∠ACB+∠BCE）=90°，
故答案为：90°、90°；
（2）∵∠PBC=/∠ABC、∠PCB=/∠ACB，
∴∠P=180°﹣∠PBC﹣∠PCB
=180°﹣/∠ABC﹣/∠ACB
=180°﹣/（∠ABC+∠ACB）
=180°﹣/（180°﹣∠A）
=180°﹣/（180°﹣70°）
=125°；
∵∠QBC=/∠ABC、∠QCB=/∠ACB，
∴∠Q=180°﹣∠QBC﹣∠QCB
=180°﹣/（180°﹣∠ABC）﹣/（180°﹣∠ACB）
=/（∠ABC+∠ACB）
=/（180°﹣∠A）
=/（180°﹣70°）
=55°．
（3）与（2）同理知∠P=180°﹣/（180°﹣∠A）=90°+/∠A=90°+/α，
∠Q=/（180°﹣∠A）=90°﹣/∠A=90°﹣/α，
故答案为：90°+/α、90°﹣/α．
15．解：相等．理由：
∵∠1+∠2=180°，
∠2+∠EGD=180°，
∴∠EGD=∠1，
∴EG∥BD，
∴∠3=∠ADE，
∵∠3=∠B，
∴∠ADE=∠B
∴DE∥BC，
∴∠4=∠C．
/
13.2《命题与证明》
提高练习
第1课时《命题》
一、选择题
1．下列命题中，属于真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．同位角相等
D．在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a∥c
2．把命题“如果x=y，那么/=/”作为原命题，对原命题和它的逆命题的真假性的判断，下列说法正确的是（ ）
A．原命题和逆命题都是真命题
B．原命题和逆命题都是假命题
C．原命题是真命题，逆命题是假命题
D．原命题是假命题，逆命题是真命题
3．下列命题是假命题的为（ ）
A．如果三角形三个内角的比是1：2：3，那么这个三角形是直角三角形
B．锐角三角形的所有外角都是钝角
C．内错角相等
D．平行于同一直线的两条直线平行
4．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．相等的角是对顶角
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行
5．对于命题“若m＜n，则m2＜n2”，下列m，n的值，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．m=1，n=2 B．m=0，n=2 C．m=﹣1，n=2 D．m=﹣2，n=2
二、填空题
6．下列语句中，命题有 个．
①对顶角相等；②内错角相等；③∠1＞∠2吗？④若a∥，b∥c，则a∥c；⑤两点确定一条直线．
7．下列命题：①两点之间，线段最短；②相等的角是对顶角；③同位角相等；④过一点有且只有一条直线与这条直线平行．其中真命题的有 （填序号）
8．在平面直角坐标系中，对于任意两点A（x1，y1）B （x2，y2），规定运算：
（1）A⊕B=（x1+x2，y1+y2）；
（2）A⊙B=x1x2+y1y2；
（3）当x1=x2且y1=y2时，A=B．
有下列四个命题：
①若有A（1，2），B（2，﹣1），则A⊕B=（3，1），A⊙B=0；
②若有A⊕B=B⊕C，则A=C；
③若有A⊙B=B⊙C，则A=C；
④（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C）对任意点A、B、C均成立．
其中正确的命题为 （只填序号）
三、解答题
9．按要求完成下列各小题．
（1）将命题“两个钝角的和一定大于180°”写成“如果…那么…”的形式，并判断该命题是真命题还是假命题；
（2）判断命题“若a2＞b2，则a＞b”是真命题还是假命题，若是真命题，则举一个满足命题的例子；若是假命题，则举一个反例．
10．已知∠ABC的两边与∠DEF的两边平行，即BA∥ED，BC∥EF．
（1）如图①，若∠B=40°，则∠E= °；
（2）如图②，猜想∠B与∠E有怎样的关系？试说明理由；
（3）如图③，猜想∠B与∠E有怎样的关系？试说明理由；
（4）根据以上情况，请归纳概括出一个真命题．
/
第2课时
《证明》提高练习
一、选择题
1．甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶，现有12个矿泉水空瓶，若不交钱，最多可以喝矿泉水瓶（ ）
A．2瓶 B．3瓶 C．4瓶 D．5瓶
二、填空题
3．有八个球编号是①到⑧，其中有六个球一样重，另外两个球都轻1克，为了找出这两个球，用天平称了三次，结果如下：第一次①+②比③+④重，第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻，第三次①+③+⑤和②+④+⑧一样重．那么，这两个轻球的编号是 ．
4．如图的算式中字母ABC分别表示各不相同的一个数字，则B= ．
/
三、解答题
5．某足球协会举办了一次足球联赛，其积分规则为：胜﹣3，平﹣1，负﹣0，当全部比赛结束（每队平均比赛12场）时，A队共积19分，请通过计算，判断A队胜、平、负各几场．
第3课时
《三角形内角和定理的证明与推论1、2》提高练习
一、选择题
1．已知△ABC中，∠A=40°，∠B=50°，那么△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
2．如图，△ABC被木条遮住了一部分，只露出∠A，则∠B与∠C不可能是（ ）
/
A．一个直角，一个锐角 B．两个钝角
C．一个钝角，一个锐角 D．两个锐角
3．已知△ABC中，2（∠B+∠C）=4∠A，则∠A的度数是（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
4．在三角形中，最大的内角不小于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．在△ABC中，∠C=30°，∠A与∠B的度数比是1：2，则∠A的度数是（ ）
A．50° B．100° C．30° D．60°
二、填空题
6．如图，线段AC、BD相交于点E，连结AB、CD，若∠A=98°，∠B=25°，∠C=50°，则∠D= °．
/
7．当三角形中一个内角α是另一个内角β的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中α称为“半角”．如果一个“半角三角形”的“半角”为25°，那么这个“半角三角形”的最大内角的度数为 ．
8．在△ABC中，∠A+∠B=∠C，∠B=2∠A，则∠A的大小为 ．
三、解答题
9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E，若∠B=35°，∠ACB=85°．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求∠E的度数．
/
10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE、CF相交于点P．
（1）若∠ABC=70°，∠ACB=50°，则∠BPC= °；
（2）求证：∠BPC=180°﹣/（∠ABC+∠ACB）；
（3）若∠A=α，求∠BPC的度数．
/
第4课时
《三角形的外角》提高练习
一、选择题
1．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，D是BC延长线上一点，∠ACD=130°，则∠A等于（ ）
/
A．40° B．50° C．65° D．90°
2．如图，∠A、∠1、∠2的大小关系是（ ）
/
∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A
C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1
3．若△ABC有一个外角是锐角，则△ABC一定是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形
4．三角形的一个外角不小于与它相邻的内角，那么这个三角形不可能是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
5．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=（ ）
/
A．70° B．80° C．90° D．100°
二、填空题
6．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A=44°，∠1=57°，则∠2= ．
/
7．三角形的三个内角度数比为1：2：3，则三个外角的度数比为 ．
8．在△ABC中，∠A=25°，∠C=45°，则与∠B相邻的外角的度数为 ．
三、解答题
9．如图，在△ABC中，∠C=90°，外角∠EAB，∠ABF的平分线AD、BD相交于点D，求∠D的度数．
/
10．如图，点D在AB上，点E在AC上，BE、CD相交于点O．
（1）若∠A=50°，∠BOD=70°，∠C=30°，求∠B的度数；
（2）试猜想∠BOC与∠A+∠B+∠C之间的关系，并证明你猜想的正确性．
/
参考答案
第1课时
1．解：A、相等的角不一定是对顶角，错误；
B、在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a∥c，错误；
C、两直线平行，同位角相等，错误；
D、在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a∥c，正确．
故选：D．
2．解：如果x=y，当x=y是负数时，没有算术平方根，所以原命题是假命题；
命题“如果x=y，那么/=/”的逆命题是如果/=/，那么x=y，是真命题；
故选：D．
3．解：A．如果三角形三个内角的比是1：2：3，那么这个三角形是直角三角形，是真命题；
B．锐角三角形的所有外角都是钝角，是真命题；
C．内错角相等，是假命题；
D．平行于同一直线的两条直线平行，是真命题；
故选：C．
4．解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以A选项错误；
B、相等的角不一定为对顶角，所以B选项错误；
C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，所以C选项错误；
D、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，所以D选项正确．
故选：D．
5．解：
在A中，m2=1，n2=4，且4＞1，满足“若m＜n，则m2＜n2”，故A选项中m，n的值不能说明命题为假命题；
在B中，m2=0，n2=4，且0＜4，满足“若m＜n，则m2＜n2”，故B选项中m，n的值不能说明命题为假命题；
在C中，m2=1，n2=4，且2＞﹣1，满足“若m＜n，则m2＜n2”，故C选项中m，n的值不能说明命题为假命题；
在D中，m2=4，n2=4，且﹣2＜2，此时满足m＜n，但不能满足m2＜n2，即意味着命题“若m＜n，则m2＜n2”不能成立，故D选项中m，n的值能说明命题为假命题；
故选：D．
6．解：①对顶角相等，是命题，符合题意；
②内错角相等，是命题，符合题意；
③∠1＞∠2吗？不是命题，不符合题意；
④若a∥，b∥c，则a∥c，是命题，符合题意；
⑤两点确定一条直线，是命题，符合题意．
故答案为：4．
7．解：①两点之间，线段最短是真命题；
②相等的角不一定是对顶角是假命题；
③两直线平行，同位角相等，是假命题；
④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行是假命题．
故答案为：①
8．解：①∵A（1，2），B（2，﹣1），
∴A⊕B=（1+2，2﹣1），A⊙B=1×2+2×（﹣1），
即A⊕B=（3，1），A⊙B=0，故①正确；
②设C（x3，y3），则A⊕B=（x1+x2，y1+y2），B⊕C=（x2+x3，y2+y3），
而A⊕B=B⊕C，
所以x1+x2=x2+x3，y1+y2=y2+y3，则x1=x3，y1=y3，
所以A=C，故②正确；
③A⊙B=x1x2+y1y2，B⊙C=x2x3+y2y3，
而A⊙B=B⊙C，则x1x2+y1y2=x2x3+y2y3，
不能得到x1=x3，y1=y3，
所以A≠C，故③不正确；
④因为（A⊕B）⊕C=（x1+x2+x3，y1+y2+y3），A⊕（B⊕C）=（x1+x2+x3，y1+y2+y3），
所以（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C），故④正确．
综上所述，正确的命题为①②④．
故答案为：①②④．
9．解：（1）如果两个角是钝角，那么这两个角的和一定大于180°，真命题；
（2）假命题，反例：a=﹣2，b=﹣1．
10．解（1）：∵BA∥ED，BC∥EF，
∴∠B=∠DOC，∠DOC=∠E，
∴∠B=∠E=40°，
故答案为：40；
（2）∠B=∠E，
理由是：∵BA∥ED，BC∥EF，
∴∠B=∠EOC，∠EOC=∠E，
∴∠B=∠E，
故答案为：∠B=∠E；
（3）∠B+∠E=180°，
理由是：∵BA∥ED，BC∥EF，
∴∠B=∠DOC，∠BOE+∠E=180°，
∵∠DOC=∠BOE，
∴∠B+∠E=180°；
（4）通过上面（1）、（2）、（3），你可得到的结论是：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角的关系是相等或互补，
第2课时
1．解：四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，
所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场；
若甲只胜一场，这时乙、丙各胜一场，说明丁胜三场，这与甲胜丁矛盾，
所以甲只能是胜两场，
即：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，也就是胜0场．
答：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，丁胜0场．
故选：D．
2．解：12个空瓶可换12÷4=3瓶矿泉水；3瓶矿泉水喝完后借1个空矿泉水瓶又可得到4个空瓶子，可换4÷4=1瓶矿泉水，喝完后得一空瓶归还；
因此最多可以喝矿泉水3+1=4瓶．
故选：C．
3．解：∵①+②比③+④重，
∴③与④中至少有一个轻球，
∵⑤+⑥比⑦+⑧轻，
∴⑤与⑥至少有一个轻球，
∵①+③+⑤和②+④+⑧一样重可知两个轻球的编号是④⑤．
故答案为：④⑤．
4．解：∵竖式左侧5+5+9=19，结果下面为1，
∴C=2，
∵2+4+4=10，应进位1，
∴7+8+1+B=22，
∴B=6．
故答案为：6．
5．解：如果它胜7场，就21分了，不可能．
如果它胜不到4场，那最多3胜9平18分，也不可能．
所以它可能胜4、5、6场．
按19分算，相应地平了7、4、1场．
再用12场去减，负了1、3、5场．
第3课时
1．解：由三角形内角和定理得，∠C=180°﹣∠A﹣∠B=90°，
∴△ABC为直角三角形，
故选：A．
2．解：∵∠A是锐角，
∴∠B，∠C不可能是两个钝角，
故选：B．
3．解：∵2（∠B+∠C）=4∠A，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2（180°﹣∠A）=4∠A，
解得：∠A=60°．
故选：B．
4．解：∵三角形的内角和等于180°，
180°÷3=60°，
∴最大的角不小于60°．
故选：C．
5．解：设∠A=x，则∠B=2x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴3x+30°=180°，
∴x=50°
∴∠A=50°
故选：A．
6．解：在△ABEz中，∠A=98°，∠B=25°，
∴∠AEB=180°﹣∠A﹣∠B=57°，
∴∠DEC=∠AEB=57°，
在△CDE中，∠C=50°，
∴∠D=180°﹣∠C﹣∠DEC=73°，
故答案为：73．
7．解：∵α=25°，
∴β=2α=50°，
∴最大内角的度数=180°﹣25°﹣50°=105°．
故答案为：105°．
8．解：根据题意得，在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，
∵∠A=∠C﹣∠B，
∴2∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠B=2∠A，
∴3∠A=90°，
∴∠A=30°，
故答案为：30°．
9．解：（1）∵∠B=35°，∠ACB=85°，
∴∠BAC=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=/BAC=30°，
（2）∵∠BAD=/BAC=30°，
∴∠ADC=35°+30°=65°，
∵∠EPD=90°，
∴∠E的度数为：90°﹣65°=25°．
故答案为：25°．
10．解：（1）∵∠ABC与∠ACB的角平分线相交于P，
∴∠PBC+∠PCB=/（∠ABC+∠ACB）=/×120°=60°，
在△PBC中，∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣60°=120°．
故答案为：120；
（2）证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BE、CF相交于点P，
∴∠PBC=/∠ABC，∠PCB=/∠ACB，
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°，
∴∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（/∠ABC+/∠ACB）=180°﹣/（∠ABC+∠ACB），
∴∠BPC=180°﹣/（∠ABC+∠ACB）；
（3）解：在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，
∵由（2）可知：∠BPC=180°﹣/∠ABC+∠ACB），
∴∠BPC=180°﹣/（180°﹣∠A），
∵∠A=α，
∴∠BPC=180°=/（180°﹣α）=90°+/．
第4课时
1．解：∵∠B=90°，∠ACD=130°，∠A+∠B=∠ACD，
∴∠A=∠ACD﹣∠B=130°﹣90°=40°．
故选：A．
2．解：∵∠1是三角形的一个外角，∴∠1＞∠A，
又∵∠2是三角形的一个外角，∴∠2＞∠1，
∴∠2＞∠1＞∠A．
故选：B．
3．解：∵△ABC有一个外角为锐角，
∴与此外角相邻的内角的值为180°减去此外角，
故相邻的内角大于90度，
故△ABC是钝角三角形．
故选：A．
4．解：因为三角形的一个外角不小于与它相邻的内角，内角小于或等于相邻外角，这个角一定不是钝角，但是其他的角也可能是钝角，所以无法确定
故选：D．
5．解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∵∠ABP=20°，∠ACP=50°，
∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=100°，
∴∠A=∠ACM﹣∠ABC=60°，
∠ACB=180°﹣∠ACM=80°，
∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=130°，
∵∠BPC=20°，
∴∠P=180°﹣∠PBC﹣∠BCP=30°，
∴∠A+∠P=90°，
故选：C．
6．解：∵DE∥BC，
∴∠B=∠1=57°，
由三角形的外角性质得，∠2=∠A+∠B=44°+57°=101°．
故答案为：101°．
7．解：设此三角形三个内角的比为x，2x，3x，
则x+2x+3x=180，
6x=180，
x=30，
∴三个内角分别为30°、60°、90°，
相应的三个外角分别为150°、120°、90°，
则三个外角的度数比为：150°：120°：90°=5：4：3，
故答案为：5：4：3．
8．解：与∠B相邻的外角的度数=∠A+∠C=25°+45°=70°，
故答案为：70°．
9．解：根据三角形的外角性质，∠EAB=∠ABC+∠C，∠ABF=∠BAC+∠C，
∵AD、BD分别是∠EAB，∠ABF的平分线，
∴∠DAB+∠DBA=/（∠ABC+∠C+∠BAC+∠C）=/（∠ABC+∠BAC）+∠C，
∵∠C=90°，
∴∠ABC+∠BAC=180°﹣90°=90°，
∴∠DAB+∠DBA=/×90°+90°=135°，
在△ABD中，∠D=180°﹣135°=45°．
10．解：（1）∵∠A=50°，∠C=30°，
∴∠BDO=∠A+∠C=80°；
∵∠BOD=70°，
∴∠B=180°﹣∠BDO﹣∠BOD=30°；
（2）∠BOC=∠A+∠B+∠C．
理由：∵∠BEC=∠A+∠B，
∴∠BOC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C．
