2.1 代数式
第1课时 用字母表示数
教学目标
【知识与技能】
经历探索规律并用字母表示数的过程,能用字母表示以前学过的运算律和计算公式.
【过程与方法】
体会字母表示数的意义,形成初步的符号感,提高应用数学的意识.
【情感、态度与价值观】
激发强烈的求知欲,培养积极探索,勇于创新的精神和团结合作的习惯.
教学重难点
【重点】用字母表示数的意义及用字母表示规律.
【难点】用字母表示规律.
教学过程
一、创设情境,引入新课
国庆节到了,妈妈要加班,上班前嘱咐读初一的儿子方舟在家里打扫卫生,方舟按妈妈的要求做完后,坐在窗边想着想买的玩具,可又愁自己没钱,忽然,他心计上来,趁妈妈下班回家之前在桌子上留了一张纸条,然后躲在房间里看妈妈的动静.
妈妈回家看到纸条是这样写的:“拖地收3元,叠被子收2元,擦窗户收4元,丢垃圾袋收2元,共计11元”.妈妈看后,一言不发,拿笔在纸条后加上几行字:“吃饭收x元,穿衣收y元,带你去看病收z元,关心收a元……共计应收b元”.写完后就到厨房做饭去了,方舟溜出来一看,心生惭愧,赶忙收起了纸条.
你知道妈妈写的x元、y元……是多少吗?方舟为什么惭愧?
今天这节课,我们就来学习用字母表示数.
活动(一) 问题1:2003年10月15日,我国成功发射了“神舟五号”载人飞船,它在椭圆轨道上环绕地球飞过14周,历时21h.
(1)该飞船绕地球飞行一周需要多少分?
(2)若绕地球飞行n周,需多少分?
生:(1)90(分) (2)90n(分).
问题2:能被2整除的整数叫做偶数,不能被2整除的整数叫做奇数,如果用k表示任意一个整数,用含有k的代数式表示:(1)任意一个偶数;(2)任意一个奇数.
整数:…-3 -2 -1 0 1 2 3 … k …
偶数:…-6 -4 -2 0 2 4 6 … ( ) …
奇数:…-7 -5 -3 -1 0 1 3 5 … ( ) …
学生思考并举手回答.
教师通过探究,我们发现字母可以表示任何一个数.
二、讲授新课
1.你知道扑克牌中的字母表示什么数吗?
2.一则招领启事是这样写的:“小明同学今天在操场上拾到人民币n元,请失主到政教处认领”.你知道这里为什么要用字母n吗?
活动(二) 问题3:在小学我们曾学过几种运算律?都是什么?如何用字母表示它们?请同学们填写下表:
运算定律
字母表示
语言表述
加法交换律
a+b=b+a
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
乘法分配律
学生讨论交流并举手回答.
师:请同学们比较一下,哪一种表示方法更简明、更有利于掌握、交流呢?
学生回答.
师:通过问题3,使我们认识到正确使用字母表示所学过的运算律、公式和法则既简单又明了.
三、举例应用
1.用字母表示下列法则:
(1)有理数的减法法则;(2)分数的加法法则.
2.你会填下表中各图形的周长和面积公式吗?
名称
图形
用字母表示公式
周长(C)
面积(S)
正方形
C=4a
S=a2
三角形
C=a+b+c
S=ah
梯形
C=a+b+
c+d
S=(a+
b)h
圆
C=2πr
S=πr2
活动(三) 问题4:
(1)如图所示,用长方形框任意框出月历中的三个数之间有什么关系?请用一个等式表示这个关系.
(2)如图所示,若用正方形框任意框出月历中的四个数,我们又能用什么等式表示呢?
学生观察、探究并写出结果.
四、随堂练习
我们按如图所示的摆法摆小正方形,记录你所搭的正方形的个数和所用的火柴棒的根数.
1.若第一个正方形摆4根,以后每个摆3根,则n个正方形所用的火柴棒的根数为 .
2.若每个正方形上方摆1根,下方摆1根,中间摆1根,还需加1根,则n个正方形所用的火柴棒的根数为 .
3.若每个正方形都摆4根,除第1个外,其余的都多1根,则n个正方形所用的火柴棒的根数为 .
4.若先摆1根,每个正方形再摆3根,则n个正方形所用的火柴棒的根数为 .
【答案】 1.4+(n-1)×3 2n+n+(n+1) 3.4n-(n-1) 4.1+3n
五、课堂小结
这节课我们通过活动探索规律,得出规律,并用含字母的式子表示出来,使我们知道:用字母表示数可以简明地表达问题中的数量关系,也可以简明地表达数字和公式,这样给我们研究问题带来很大的方便.
第2课时 代数式
教学目标
【知识与技能】
1.了解代数式的概念.
2.能分析简单问题的数量关系,并用代数式表示,会正确书写代数式.
【过程与方法】
1.在探索现实世界数量关系的过程中,建立符号意识.
2.初步体会数学中抽象概括的思维方法.
【情感、态度与价值观】
1.激发学生从事探索性活动的积极性.
2.培养学生自主学习的习惯.
教学重难点
【重点】1.根据实际问题列出代数式.2.解释代数式的意义.
【难点】根据实际问题列出代数式并解释代数式的意义.
教学过程
一、创设情境,引入新课
如图为一阶梯纵截面,一只老鼠沿长方形的两边A—B—D的路线逃跑,一只猫同时沿阶桥(折线)A—C—D的路线去追,结果在距离C点0.6m的D处,猫捉住老鼠,已知老鼠的速度是猫的,你能求出阶梯A—C的长度吗?
要想解决这个问题,让我们先来学习本节课的内容——代数式.
师:请同学们自主探究,完成下面的问题:
1.今日大米x元/千克,食用油y元/千克,妈妈买10千克大米、2千克食用油共需 元.
2.一隧道长s米,一列火车长180米,如果该火车穿过隧道所花的时间为t分,则列车的速度可表示为 米/分.
3.将三个边长为acm的正方体拼成一个长方体,则这个长方体的体积为 cm3.
【答案】 1.10x+2y 2. 3.3a3
学生解答.
教师点评、分析:
像这样把数和字母、加、减、乘、除及乘方等用运算符号连接而成的式子,我们称为代数式.
注:①单独一个数或一个字母也是代数式;
②运算符号是指加、减、乘、除、乘方、开方.
代数式书写格式的规定,请同学们阅读课本.
二、讲授新课
1.指出下列各式中哪些是代数式,哪些不是代数式?
(1)x-1;(2)-2x=1;(3)π;(4)5<7;(5)m.
2.在式子xy+a,-3,abc,3÷a,a·5,(a+b)2中符合代数式书写要求的有 个.
学生思考并举手回答.
师:通过以上讲解及练习,你知道什么是代数式吗?它与等式、不等式的区别是什么?书写要注意哪些要求?
学生讨论交流.
教师指导、评价.
三、例题讲解
【例1】 设甲数为a,乙数为b,用代数式表示:
(1)甲数的3倍与乙数的一半的差;
(2)甲、乙两数和的平方.
【答案】 (1)3a-b. (2)(a+b)2.
【例2】 填空:
(1)某商店上月收入x元,本月收入比上月的2倍还多5万元,该商店本月收入为 元;
(2)一件a元的衬衫,降价10%后,价格为 元;
(3)含盐10%的盐水800g,在其中加入盐ag后,盐水含盐量的百分率为 .
【答案】 (1)(2x+50 000) (2)(1-10%)a (3)×100%=×100%
【例3】 说出下列代数式的意义:
(1)圆珠笔每支售价a元,练习簿每本售价b元,那么3a+4b表示什么?
(2)长方形的长、宽分别为a，b,那么a(b+1)表示什么?
【答案】 (1)3支圆珠笔与4本练习簿的总价格.
(2)长为a、宽为b+1的长方形的面积.
四、随堂练习
用代数式表示:
(1)比a的倒数多8的数是 ;
(2)x的倒数与m除n的商的和是 ;
(3)与a+b的和是30的数是 ;
(4)m，n两个数平方和的3倍是 .
【答案】 (1)a+8 (2) (3)30-(a+b) (4)3(m2+n2)
教师指导、评价.
列代数式的一般方法有:(1)依据公式(关系)列代数式;(2)依据实际问题列代数式;(3)依据式子或图形探索规律列代数式.
五、组织练习,巩固提高
1.甲、乙两数差的平方与甲、乙两数平方的和的积.
2.a与b的和除以a与b的差.
3.x千克含盐为10%的盐水中含水 千克.
4.观察下列等式:
39×41=402-1,48×52=502-22,56×64=602-42,65×75=702-52,83×97=902-72,……
请把你发现的规律用字母表示出来:m·n= .
生:( )2-( )2.
5.师:你能用语言表述3a+5b的意义吗?
学生思考并举手回答.
教师示范:从两方面考虑:(1)根据运算顺序的要求去表述,如可以说“a的3倍与b的5倍的和”;(2)结合具体的实际情况去表述,如一本笔记本的价格为a元,一支铅笔的价格为b元,3a+5b表示3本笔记本与5支铅笔的价格.
六、变式训练
用语言表述下列代数式的意义:
1.2(a+b) 2.ab
学生思考、举手回答,教师指导、点评.
七、课堂小结
通过本课的学习,你获得了哪些新的知识?你认为自己有哪些方面的进步?
第3课时 单项式
教学目标
【知识与技能】
1.理解单项式及单项式系数、次数的概念.
2.会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数.
【过程与方法】
通过用字母表示数和数量关系的学习,初步培养学生观察、分析、抽象、概括等思维能力和应用意识.
【情感、态度与价值观】
通过小组讨论、合作学习等方式,经历概念的形成过程,培养学生自主探索知识和合作交流的能力.
教学重难点
【重点】掌握单项式及单项式的系数与次数的概念,并会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数.
【难点】单项式概念的建立.
教学过程
一、复习引入
1.师:请用含字母的式子填空:
(1)若正方形的边长为a,则正方形的面积是 ;
(2)若三角形的一边长为a,并且这边上的高为h,则这个三角形的面积为 ;
(3)若x表示正方体的棱长,则正方体的体积是 ;
(4)若m表示一个有理数,则它的相反数是 ;
(5)小明从每月的零花钱中贮存x元钱捐给希望工程,一年下来小明捐款
元.
【答案】 (1)a2 (2)ah (3)x3 (4)-m (5)12x
2.师:请学生观察所列代数式包含哪些运算,有何共同运算特征.
由小组讨论后,经小组推荐代表回答,教师适当点拨.
二、讲授新课
1.单项式.
通过特征的描述,引导学生概括单项式的概念,从而引入课题:单项式,并板书单项式的概念,即由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式,然后教师补充,单独一个数或一个字母也是单项式,如a,5.
2.练习.
师:请你们判断下列各代数式哪些是单项式.
(1)ab;(2)abc;(3)b2;(4)-5ab2;(5)y;(6)-xy2;(7)-5.
(加强学生对不同形式的单项式的直观认识,同时利用练习中的单项式转入单项式的系数和次数的教学)
【答案】 略
3.单项式的系数和次数.
直接引导学生进一步观察单项式的结构,总结出单项式是由数字因数和字母因数两部分组成的.以四个单项式a2h,2πr,abc,-m为例,让学生说出它们的数字因数是什么,从而引入单项式系数的概念并板书,接着让学生说出以上几个单项式的字母因数是什么,各字母的指数分别是多少,从而引入单项式次数的概念并板书.
三、例题讲解
教师板书例题.
【例1】 判断下列各代数式是否是单项式.若不是,请说明理由;若是,请指出它们的系数和次数.
(1)x+1;(2);(3)πr2;(4)-a2B.
【答案】 (1)不是,因为原代数式中出现了加法运算;(2)不是,因为原代数式是1与x的商;(3)是,它的系数是π,次数是2;(4)是,它的系数是-1,次数是3.
【例2】 下面各题的判断是否正确?
(1)-7xy2的系数是7;
(2)-x2y3与x3没有系数;
(3)-ab3c2的次数是0+3+2;
(4)-a3的系数是-1;
(5)-32x2y3的次数是7;
(6)πr2h的系数是1+2+1.
教师通过其中的反例练习及例题,强调应注意以下几点:
(1)圆周率π是常数;
(2)当一个单项式的系数是1或-1时,“1”通常省略不写,如x2,-a2b等;
(3)单项式的次数只与字母的指数有关.指数是1,省略不写,但求和不能
省略.
【例3】(1)苹果原价是每千克p元,按8折优惠出售,用式子表示现价;
(2)某产品前年的产量是n件,去年的产量是前年产量的m倍,用式子表示去年的产量;
(3)一个长方体包装盒的长和宽都是acm,高是hcm,用式子表示它的体积;
(4)用式子表示数n的相反数.
【答案】 (1)现价是每千克0.8p元;
(2)去年的产量是mn件;
(3)由长方体的体积=长×宽×高,得这个长方体包装盒的体积是a·a·hcm3,即a2hcm3;
(4)数n的相反数是-n.
四、课堂练习
(1)游戏:一个小组学生说出一个单项式,然后指定另一个小组的学生回答它的系数和次数,然后交换,看两小组哪一组回答得快而准.
(2)用单项式填空,并指出它们的系数和次数:
①每包书有12册,n包书有 册;
②一辆汽车的速度是vkm/h,它t小时行驶的路程为 km;
③一台电视机原价为a元,现9折出售,这台电视机的售价 元;
④长是0.9,宽为a的长方形面积是 .
【答案】 ①12n ②vt ③0.9a ④0.9a
师:上题中③和④的结果一样,这说明用字母表示数后,同一个式子可以表示不同的含义,你能赋予0.9a一个含义吗?
五、课堂小结
教师引导学生理解并掌握单项式及单项式的系数,次数的概念.
第4课时 多项式
教学目标
【知识与技能】
1.掌握多项式及其项数、常数项的概念和整式的概念.
2.会判断一个式子是不是整式,会求整式的次数、系数、项和项数.
【过程与方法】
通过小组讨论、合作交流,让学生经历新知的形成过程,培养比较、分析、归纳的能力.由单项式与多项式归纳出整式,这样更有利于学生把握概念的内涵和外延,有利于学生知识的迁移和知识结构体系的更新.
【情感、态度与价值观】
通过整式的学习,认识整式产生的背景,激发学生学好数学的信心.
教学重难点
【重点】掌握整式及多项式的有关概念,掌握多项式的定义、多项式的项和次数以及常数项等概念.
【难点】多项式的次数.
教学过程
一、问题引入
1.师:同学们,你们能列出下列问题中的代数式吗?
教师板书题目.
(1)长方形的长与宽分别为a,b,则长方形的周长是 ;
(2)某班有男生x人,女生21人,则这个班共有学生 人;
(3)鸡兔同笼,鸡a只,兔b只,则共有头 个,脚 只.
2.师:观察以上所得出的四个代数式与上节课所学单项式有何区别与联系.
(1)2(a+b);(2)21+x;(3)a+b;2a+4b.
学生分组回答,教师补充完善,从而归纳出多项式的特点.
二、讲授新课
板书由学生自己归纳得出的多项式的概念.上面这些代数式是由几个单项式相加而成的.像这样,几个单项式的和叫做多项式.在多项式中,每个单项式叫做多项式的项.其中,不含字母的项,叫做常数项.例如,多项式x2-2x+5有三项,它们是x2,-2x,5.其中5是常数项.
一个多项式含有几项,就叫做几项式.多项式里次数最高项的次数,就是这个多项式的次数.例如,多项式2x2+3x-1是一个二次三项式.
注意:
(1)多项式的次数不是所有项的次数之和;
(2)多项式的每一项都包括它前面的符号.
(教师介绍多项式的项、次数以及常数项等概念,并让学生比较多项式的次数与单项式的次数的区别与联系,渗透类比的数学思想)
整式是单项式和多项式的统称.
三、例题讲解
教师出示例题.
【例1】 判断:
(1)多项式a3-a2b+ab2-b3的项为a3,a2b,ab2,b3,次数为12;
(2)多项式3n4-2n2+1的次数为4,常数项为1.
(这两个判断能使学生清楚地理解多项式中项和次数的概念,第(1)题中第二、四项应为-a2b,-b3,而往往很多同学都认为是a2b和b3,不把符号包括在项中.另外也有同学认为该多项式的次数为12,应注意:多项式的次数为最高次项的
次数).
【例2】 指出下列多项式的项和次数,各是几次几项式:
(1)3x-1+3x2;(2)4x3+2x-2y2.
(让学生口答,老师在黑板上规范书写格式.应特别提醒学生注意多项式的项包括前面的符号,多项式的次数应为最高次项的次数.)
【例3】 (1)一条河的水流速度是2.5km/h,船在静水中的速度是vkm/h,用式子表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度;
(2)买一个篮球需要x元,买一个排球需要y元,买一个足球需要z元,用式子表示买3个篮球,5个排球,2个足球共需要的钱数;
(3)如图1(图中长度单位:cm),用式子表示三角尺的面积;
(4)图2是一所住宅的建筑平面图(图中长度单位:m),用式子表示这所住宅的建筑面积.
分析 (1)船在河流中行驶时,船的速度需要分两种情况讨论:
顺水行驶时,船的速度=船在静水中的速度+水流速度;
逆水行驶时,船的速度=船在静水中的速度-水流速度.
解:(1)船在这条河中顺水行驶的速度是(v+2.5)km/h,逆水行驶的速度是(v-2.5)km/h.
(2)买3个篮球、5个排球、2个足球共需要(3x+5y+2z)元.
(3)三角尺的面积等于三角形的面积减去圆的面积.根据图中的数据,得三角形的面积是abcm2,圆的面积是πr2cm2.因此三角尺的面积(单位:cm2)是
ab-πr2.
(4)住宅的建筑面积等于四个长方形面积的和,根据图中标出的尺寸,可得这所住宅的建筑面积(单位:m2)是x2+2x+18.
从上面的例子可以看出,用字母表示数,字母和数一样可以参与运算,可用式子把数量关系简明地表示出来.
学生完成,教师点评.
四、课堂练习
(1)填空:-a2b-ab+1是 次 项式,其中三次项系数是 ,二次项为 ,常数项为 ,写出所有的项 .
(2)已知代数式3xn-(m-1)x+1是关于字母x的三次二项式,求m,n的值.
【答案】 (1)三 三 -1 -ab 1 -a2b,-ab,1 (2)m=1 n=3
五、课堂小结
1.理解多项式的定义,能说出一个多项式是几次几项式,最高次数是几,分别由哪几项组成,各项的系数分别为多少,常数项为几.
2.这堂课学习了多项式,与前一节所学单项式合起来统称为整式,使知识形成了系统.
(让学生小结,师生进行补充)
第5课时 求代数式的值
教学目标
【知识与技能】
1.会求代数式的值,感受代数式求值可以理解成一个转换过程或某种算法.
2.能解释代数式值的实际意义.
3.根据代数式求值推断代数式所反映的规律.
【过程与方法】
学会从数学的角度提出问题、理解问题,能综合运用所学的知识和技能解决问题.
【情感、态度与价值观】
初步认识数学与人类生活的密切联系,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
教学重难点
【重点】会求代数式的值.
【难点】利用代数式求值推断代数式所反映的规律.
教学过程
一、创设情境,引入新课
据报载,一位医生研究得出由父母身高预测子女身高的公式:若父亲的身高为a米,母亲的身高为b米,则儿子成年的身高为×1.08米,女儿的身高为米.七年级男生张小华父亲的身高为1.76米,母亲身高为1.60米,请你预测张小华成年后的身高是多少.你能通过你父母的身高预测自己成年后的身高吗?
学生计算预测.
师:本节课我们来学习求代数式的值.
活动一 代数式的值
问题展示:请同学们回答下列问题:
1.下图是一组数值转换机,请写出输出结果.
2.你能写出下图的转换步骤吗?
学生举手回答.
师:我们知道,表示数的字母具有任意性和确定性,如6x-3中的x可取任意有理数,当给出未知数(字母)的值时,如x=5,则6x-3就是一个确定的数.
一般地,用数值代替代数式里的字母,按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值.
二、讲授新课
1.按图(1)输入-2,0,0.26,输出的结果分别为多少?
按图(2)输入-2,0,0.26,输出的结果又分别为多少?
2. 根据所给的x的值,求-5x+1的值.
(1)x=4; (2)x=-2.
生解答:(1)当x=4时,原式=-5×4+1=-19;
(2)当x=-2时,原式=-5×(-2)+1=11.
师评:当代入负值时,要用括号把负数括起来.
3.一项调查研究显示:一个10岁~50岁的人,每天所需的睡眠时间th与他的年龄n岁之间的关系为,如30岁的人每天所需的睡眠时间为t==8(h).
算一算,你每天需要多少睡眠时间.
学生计算回答.
4.若x+2y2+5的值为7,求代数式3x+6y2+4的值.
活动二 巩固新知
例:堤坝的横截面是梯形,测得梯形上底a=18m,下底b=36m,高h=20m,求这个截面的面积.
解:梯形面积公式S=(a+b)h.
将a=18,b=36,h=20代入上面的公式,得
S=×(18+36)×20=540(m2).
答:堤坝的横截面面积是540m2.
师评:求代数式的值的第一步是“代入”即用数值替代代数式里的字母,其他的运算符号及原来的数字都不能改变.第二步是“求值”,即按照代数式指明的运算计算出结果.
三、例题讲解
【例1】 如图,某堤坝的横截面是梯形,测得梯形上底a=18m,下底b=36m,高h=20m,求这个截面的面积.
【解】 梯形面积公式是S=(a+b)h.
将a=18,b=36,h=20代入上面公式,得
S=(a+b)h=×(18+36)×20=540(m2)
【例2】 当x=-3,y=2时.求下列代数式的值:(1)x2-y2;(2)(x-y)2.
【解】 (1)x2-y2=(-3)2-22=9-4=5.
(2)(x-y)2=(-3-2)2=(-5)2=25.
四、变式训练
一辆卡车在行驶时平均每小时耗油8L,行驶前油箱中有油80L.
1.用代数式表示行驶xh后,油箱中的剩余油量Q= .
2.计算行驶2h,5h,8h后,油箱中的剩余油量.
3.这里,能求x=12h时剩余油量Q的值吗?
学生解答.
师评:代数式的值是由所含字母的值确定的,是随代数式中字母的取值变化而变化的,字母取不同的值,代数式的值可能不同,也可能相同.
代数式中字母的取值不能取使代数式和它表示的实际问题失去意义的值.
活动(三) 合作探究
填写下表,看谁做得又对又快.
n
1
2
3
4
5
6
7
8
…
5n+6
…
n2
…
1.通过观察计算结果,随着n值逐渐变大,两个代数式的值如何变化?
2.估计一下,哪个代数式的值先超过100?
学生计算,回答.
师评:求出代数式的值后,根据值的变化趋势还可以进行预测,推断代数式所反映的规律.
五、随堂练习
1.某市为鼓励市民节约用水,对自来水用户按如下标准收费,若每月用户用水不超过15m3,则每立方米水价按a元收费,若超过15m3,则超过部分每立方米按2a元收费.
(1)某户居民在一个月内用水n(n≥15)立方米,那么他该月应缴水费多少元?
(2)该户居民在10月份用水35立方米,11月份用水28m3,12月份用水40m3.他在这三个月中各缴水费多少元?
2.已知m2+n-1=3,求m2+n-6的值.
【答案】 1.15a+2a(n-15) 55a 41a 65a 2.-2
六、课堂小结
1.本节课学习了哪些内容?
(1)“代数式的值”的定义;(2)求代数式的值.
2.求代数式的值应分哪几步?应注意哪些问题?
步骤:(1)代入;(2)计算.
注意:(1)格式规范;(2)适当添加括号;(3)灵活运用整体代入.
2.2 整式加减
第1课时 同类项
教学目标
【知识与技能】
理解同类项的概念,在具体情景中,认识同类项.
【过程与方法】
通过小组讨论、合作学习等方式,经历概念的形成过程,培养学生自主探索知识和合作交流的能力.
【情感、态度与价值观】
初步体会数学与实际生活的密切联系,从而激发学生学好数学的信心.
教学重难点
【重点】理解同类项的概念.
【难点】根据同类项的概念在多项式中找同类项.
教学过程
一、复习引入
师:同学们,在上新课之前,我们先来做几个题目.
1.教师读题,指名回答.
(1)5个人+8个人= ;?
(2)5只羊+8只羊= .?
师:观察下列各单项式,把你认为相同类型的式子归为一类:8x2y,-mn2,5a,-x2y,-xy2,6,7mn2,9a,0,0.4mn2,2xy2.
由学生小组讨论后,按不同标准进行多种分类,教师巡视后把不同的分类方法投影显示.
要求学生观察归为一类的式子,思考它们有什么共同的特征.
请学生说出各自的分类标准,并且对学生按不同标准进行的分类给予肯定.
二、讲授新课
1.同类项的定义:
师:在生活中我们常常把具有相同特征的事物归为一类.8x2y与-x2y可以归为一类,2xy2与-xy2可以归为一类,-mn2,7mn2与0.4mn2可以归为一类,5a与9a可以归为一类,还有6与0也可以归为一类.8x2y与-x2y只有系数不同,各自所含的字母都是x，y,并且x的指数都是2,y的指数都是1;同样地,2xy2与-xy2也只有系数不同,各自所含的字母都是x，y,并且x的指数都是1,y的指数都是2.
像这样,所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项.另外,所有的常数项都是同类项.比如,前面提到的6与0也是同类项.
通过特征的讲述,选择所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相等的项作为研究对象,并称它们为同类项.(板书课题:同类项)
(教师为了让学生理解同类项概念,可设问同类项必须满足什么条件,让学生归纳总结)
板书由学生归纳总结得出的同类项概念以及所有的常数项都是同类项.
三、例题讲解
教师读题,指名回答.
【例1】 判断下列说法是否正确,正确的在括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)3x与3mx是同类项.( )
(2)2ab与-5ab是同类项.( )
(3)3x2y与-yx2是同类项.( )
(4)5ab2与-2ab2c是同类项.( )
(5)23与32是同类项.( )
(这组判断题能使学生清楚地理解同类项的概念,其中第(3)题满足同类项的条件,只要运用乘法交换律即可;第(5)题两个都是常数项属于同类项.一部分学生可能会单看指数不同,误认为不是同类项)
【例2】 游戏.
规则:一学生说出一个单项式后,指定一位同学回答它的两个同类项.
要求出题同学尽可能使自己的题目与众不同.
可请回答正确的同学向大家介绍写一个单项式同类项的经验,从而揭示同类项的本质特征,透彻理解同类项的概念.
【例3】 指出下列多项式中的同类项:
(1)3x-2y+1+3y-2x-5;
(2)3x2y-2xy2+xy2-yx2.
【答案】 (1)3x与-2x是同类项,-2y与3y是同类项,1与-5是同类项.
(2)3x2y与-yx2是同类项,-2xy2与xy2是同类项.
【例4】 k取何值时,3xky与-x2y是同类项?
【答案】 要使3xky与-x2y是同类项,这两项中x的次数必须相等,即k=2.所以当k=2时,3xky与-x2y是同类项.
【例5】 若把(s+t)，(s-t)分别看作一个整体,指出下面式子中的同类项.
(1)(s+t)-(s-t)-(s+t)+(s-t);
(2)2(s-t)+3(s-t)2-5(s-t)-8(s-t)2+s-t.
(组织学生口头回答上面三个例题,例3多项式中的同类项可由教师标出不同的下划线,并运用投影仪给出书面解答,为合并同类项做准备.例4让学生明确同类项中相同字母的指数也相同.例5必须把(s-t)，(s+t)分别看作一个整体)
通过变式训练,可进一步明晰“同类项”的意义,在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、提高识别能力.
四、课堂练习
请写出2ab2c3的一个同类项.你能写出多少个?它本身是自己的同类项吗?
(学生先在课本上解答,再回答,若有错误请其他同学及时纠正)
【答案】改变2ab2c3的系数即可,与其本身也是同类项.
五、课堂小结
理解同类项的概念,会在多项式中找出同类项,会写出一个单项式的同类项,会判断同类项.
第2课时 合并同类项
教学目标
【知识与技能】
理解合并同类项的概念,掌握合并同类项的法则.
【过程与方法】
经历概念的形成过程和法则的探究过程,渗透分类和类比的思想方法.培养观察、归纳、概括能力,发展应用意识.
【情感、态度与价值观】
在独立思考的基础上,积极参与讨论,敢于发表自己的观点,从交流中获益.
教学重难点
【重点】正确合并同类项.
【难点】找出同类项并正确的合并.
教学过程
一、情境引入
师:为了搞好班会活动,李明和张强去购买一些水笔和软面抄作为奖品.他们首先购买了15本软面抄和20支水笔,经过预算,发现这么多奖品不够用,然后他们又去购买了6本软面抄和5支水笔.问:
(1)他们两次共买了多少本软面抄和多少支水笔?
(2)若设软面抄的单价为每本x元,水笔的单价为每支y元,则这次活动他们支出的总金额是多少元?
学生完成,教师点评.
二、讲授新课
合并同类项的定义.
学生讨论问题(2)可根据购买的时间次序列出代数式,也可根据购买物品的种类列出代数式,再运用加法的交换律与结合律将同类项结合在一起,将它们合并起来,化简整个多项式,所得结果都为(21x+25y)元.
由此可得:把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.
三、例题讲解
【例1】 找出多项式3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5中的同类项,并合并同类项.
【答案】
原式=3x2y+5x2y-4xy2+2xy2+5-3=(3+5)x2y+(-4+2)xy2+(5-3)=8x2y-2xy2+2.
根据以上合并同类项的实例,让学生讨论归纳,得出合并同类项的法则:
把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母指数保持不变.
【例2】 下列各题合并同类项的结果对不对?若不对,请改正.
(1)2x2+3x2=5x4; (2)3x+2y=5xy;
(3)7x2-3x2=4; (4)9a2b-9ba2=0.
(通过这一组题的训练,进一步熟悉法则)
【例3】 求多项式3x2+4x-2x2-x+x2-3x-1的值,其中x=-3.
【答案】 3x2+4x-2x2-x+x2-3x-1=(3-2+1)x2+(4-1-3)x-1=2x2-1,当x=-3时,原式=2×(-3)2-1=17.
试一试:把x=-3直接代入例4这个多项式,可以求出它的值吗?与上面的解法比较一下,哪个解法更简便?
(通过比较两种方法,使学生认识到在求多项式的值时,常常先合并同类项,再求值,这样比较简便)
课堂练习.
课本练习第1~4题.
【答案】 略
四、课堂小结
1.要牢记法则,熟练正确的合并同类项,以防止2x2+3x2=5x4的错误.
2.从实际问题中类比概括得出合并同类项法则并能运用法则正确地合并同类项.
第3课时 去括号、添括号
教学目标
【知识与技能】
去括号与添括号法则及其应用.
【过程与方法】
在具体情境中体会去括号和添括号的必要性,能运用运算律去括号和添括号.
【情感、态度与价值观】
让学生接受“矛盾的对立双方能在一定条件下互相转化”的辩证思想和概念.
教学重难点
【重点】去括号和添括号法则.
【难点】当括号前是“-”时的去括号和添括号.
教学过程
一、创设情境,引入新课
还记得我们前面用火柴棒摆的正方形吗?记录正方形的个数与所用火柴棒的根数.
1.若第一个正方形摆4根,以后每个摆3根,则n个正方形所用的火柴棒的根数为 4+3(n-1) .
2.若每个正方形上方摆1根,下方摆1根,中间摆1根,还需加1根,则n个正方形所用的火柴棒的根数为 n+n+(n+1) .?
3.若每个正方形都摆4根,除第1个外,其余的都多1根,则n个正方形所用的火柴棒的根数为 4n-(n-1) .
4.若先摆1根,再每个正方形摆3根,则n个正方形所用的火柴棒的根数为
1+3n .
搭n个正方形所需要的火柴棒的根数,用的计算方法不一样,所用火柴棒的根数相等吗?
生:相等.
师:那么我们怎样说明它们相等呢?
学生讨论、回答.
师评:4+3(n-1)用乘法的分配律把3乘到括号里,再合并得3n+1;4n-(n-1)可看成4n与-(n-1)的和,而-(n-1)可看成n-1的相反数,即为1-n,所以4n-(n-1)等于4n+1-n=3n+1.
活动一 去括号
师:在代数式里,如果遇到括号,那么该如何去括号呢?
我们再看看以前做过的习题.
计算:(1)-(8-12)+(-16+20)
=-8+12-16+20
(2)(1-2)+(3-4)-(-5+6)
=1-2+3-4+5-6
它们是相等的吗?若相等,观察两式的变化情况,并说明.
学生回答.
师:①前一个括号里的数有没有变号?后一个括号里的数有没有变号?②前两个括号里的数有没有变号,后两个数呢?③变与不变由谁来决定,与什么有关?
学生回答.
师:去括号法则:如果括号前是“+”,那么去掉括号和括号前的“+”,括号内各项不改变符号;如果括号前是“-”,那么去掉括号及括号前的“-”,括号内各项都要改变符号.
师:去括号的依据又是什么呢?请同学们看下面的解答过程,并回答.
+(a+b-c) -(a+b-c)
=1×(a+b-c) =(-1)×(a+b-c)
=a+b-c =-a-b+c
生:乘法分配律.
二、新课讲授
1.去括号:
(1)a-(a+b+c);(2)x-2(y-x).
教师找两名学生上黑板演示,其余同学在座位上解答.
2.先去括号,再合并同类项:
(1)8a+2b+(5a-b);
(2)a+(5a-3b)-2(a-2b).
教师找两名学生上黑板演示,其余同学在座位上解答.
师评:无论括号前是“+”、“-”,还是一个数字,都是乘法分配律的运用,运算时既可以使用去括号法则,也可以直接使用乘法分配律,关键是注意“减全变”、“加不变”.
活动二 添括号
问题展示:观察以下两等式中括号和各项符号的变化.
(1)a+(b+c)=a+b+c;(括号没了,符号不变)
(2)a-(b+c)=a-b-c.(括号没了,符号全变了)
再观察对调后两个等式中括号和各项符号的变化,你能得出什么结论?
(1)a+b+c=a+(b+c);
(2)a-b-c=a-(b+c).
学生回答.
添括号的法则:如果括号前是“+”,那么括到括号里的各项都不改变符号,如果括号前是“-”;那么括到括号里的各项都要改变符号.
三、例题讲解
【例】 先去括号,再合并同类项:
(1)8a+2b+(5a-b);
(2)a+(5a-3b)-2(a-2b).
【答案】 (1)8a+2b+(5a-b)
=8a+2b+5a-b
=(8a+5a)+(2b-b)
=13a+b.
(2)a+(5a-3b)-2(a-2b)
=a+5a-3b-2a+4b
=(a+5a-2a)+(-3b+4b)
=4a+b.
四、变式训练
1.在下列各式的括号里填入适当的项.
(1)a2-a+b=+( )=-( );
(2)x2-y2=(x2-xy)+( -y2);
(3)(x-x2)-(y-y2)=( )-(x2-y2).
2.在括号里填入适当的项.
(1)x2-x+1=x2-( );
(2)2x2-3x-1=2x2+( );
(3)(a-b)-(c-d)=a-( ).
学生解答:
1.(1)a2-a+b -a2+a-b (2)xy (3)x-y 2.(1)x-1 (2)-3x-1 (3)b+c-d
师:第一题中的(2)、(3)可先把等号两边的括号都去掉,再观察等式左边与右边的各项,看是否缺项、多项、符号是否一致,然后进行填空,使等式左右两边相等;其余各题直接运用添括号法则.
五、课堂小结
这节课我们学习了哪些新知识,需要注意些什么?
1.去括号法则和添括号法则.
2.添括号是添上括号及括号前面的符号,去括号是去掉括号及括号前面的符号.
3.添括号和去括号的过程正好相反,它们可以相互检验.
第4课时 整式加减
教学目标
【知识与技能】
让学生从实际背景中去体会进行整式加减运算的必要性,并能灵活运用整式的加减运算的步骤进行运算.
【过程与方法】
经历整式加减法则的概括过程,发展学生有条理的思考及语言表达能力,培养符号感.
【情感、态度与价值观】
认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具.
教学重难点
【重点】整式的加减.
【难点】总结出整式加减运算的一般步骤.
教学过程
一、问题引入
1.做一做.
师:在上新课之前,我们先来看一下这道题.
某学生合唱团出场时第一排站了n名,从第二排起每一排都比以前一排多一人,一共站了四排,则该合唱团一共有多少名学生参加?
(1)学生写出答案:n+(n+1)+(n+2)+(n+3).
(2)提问:以上答案能进一步化简吗?如何化简?我们进行了哪些运算?
2.教师板书题目.
化简:
(1)(x+y)-(2x-3y);
(2)2(a2-2b2)-3(2a2+b2).
师:以上化简实际上进行了哪些运算?怎样进行整式的加减运算?
(从实际问题引入,让学生经历一个实际背景,体会进行整式的加减运算的必要性,再通过复习、练习,为学生概括出整式的加减的一般步骤做必要的准备)
二、讲授新课
1.整式的加减:教师概括.(引导学生归纳总结出整式的加减运算的步骤)
师:我们不难发现,去括号和合并同类项是整式加减的基础.因此,整式加减的一般步骤可以总结为:
(1)如果有括号,那么先去括号;(2)如果有同类项,再合并同类项.
三、例题讲解
【例1】 求整式x2-7x-2与-2x2+4x-1的差.
【答案】 (x2-7x-2)-(-2x2+4x-1)=x2-7x-2+2x2-4x+1=3x2-11x-1.
(本例应先列式,列式时注意给两个多项式都加上括号,后进行整式的加减)
练习 一个多项式加上-5x2-4x-3等于-x2-3x,求这个多项式.
【例2】 先化简,再求值:
5a2-[a2-(2a-5a2)-2(a2-3a)],其中a=4.
【答案】 原式=5a2-(a2-2a+5a2-2a2+6a)
=5a2-(4a2+4a)
=5a2-4a2-4a
=a2-4a.
当a=4时,原式=a2-4a=a2-4×4=0.
(本例让学生体会整式的加减运算的实质是去括号、合并同类项这两个知识的综合,有利于将新知识转化为已有的知识,更新学生的知识结构)
【例3】 计算:(1)(2x-3y)+(5x+4y);
(2)(8a-7b)-(4a-5b).
【答案】 (1)原式=2x-3y+5x+4y=2x+5x+4y-3y=7x+y.
(2)原式=8a-7b-4a+5b=8a-4a-7b+5b=4a-2b.
【例4】 一种笔记本的单价是x元,一种圆珠笔的单价是y元,小红买这种笔记本3本,买这种圆珠笔2支;小明买这种笔记本4本,买这种圆珠笔3支,买这些笔记本和圆珠笔,小红和小明一共花费多少钱?
【答案】小红和小明买笔记本共花费:(3x+4x)元,买圆珠笔共花费(2y+3y)元,因为,小红和小明一共花费:(3x+4x)+(2y+3y)=(7x+5y)元.
3.课堂练习.
课本练习第1~4题.
【答案】 略
四、课堂小结
教师引导学生小结:
1.整式的加减实际上就是去括号、合并同类项这两个知识的综合.
2.整式的加减的一般步骤:
(1)如果有括号,那么先算括号;
(2)如果有同类项,则合并同类项.
3.求多项式的值,一般先将多项式化简再代入求值,这样使计算简便.
4.数学是解决实际问题的重要工具.
