3.1 一元一次方程及其解法
第1课时 一元一次方程
教学目标
【知识与技能】
1.使学生掌握方程的概念、一元一次方程的概念、方程的解.
2.使学生初步了解方程的一般步骤,体会用方程解决问题的优越性.
【过程与方法】
1.经历具体问题的数量关系,形成方程的模型,使学生形成利用方程观察、认识现实世界的意识和能力.
2.经历具体实例的抽象概括过程,进一步培养学生观察、分析、概括和转化问题的能力.
3.通过分组合作学习活动,学会在活动中与人合作,并能与他人交流思维的过程与结果.
【情感、态度与价值观】
通过由具体实例抽象概括的独立思考与合作学习的过程,培养学生实事求是的态度以及善于质疑和独立思考的良好学习习惯.
教学重难点
【重点】方程、一元一次方程、方程的解的概念;以实际问题形成方程的模型、列方程.
【难点】列方程解决实际问题.
教学过程
一、问题展示,引入新课
师:同学们,上新课之前,我们先一起来看这一道题:
一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶,客车的行驶速度是70km/h,卡车的行驶速度是60km/h,客车比卡车早1h经过B地.A，B两地间的路程是多少?
师:请同学们用算术方法解决这个问题.
学生独立思考后,与大家交流,老师再做简单讲解.
师:如果设A，B两地相距xkm,你能分别列式表示客车和卡车从A地到B地的行驶时间吗?
匀速运动中,时间=.根据问题的条件,客车和卡车从A地到B地的行驶时间,可以分别表示出来.
(教学过程中对学生的回答,及时给予鼓励和表扬,激发他们对数学的兴趣)
师:以后我们将学习如何解方程求出未知数x,从而得出A，B两地间的路程为420km,同学们,与算术方法相比较,用方程来解决问题具有什么特点?
学生相互交流,说出自己对方程的感受.
教师引出方程的概念.
含有未知数的等式叫做方程.
二、例题讲解
师:下面我们再来一起做几个例题.
【例】 根据下列问题,设未知数并列出方程:
(1)用一根长24cm的铁丝围成一个正方形,正方形的边长是多少?
(2)一台计算机已使用1 700小时,预计每月再使用150小时,经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时.
【答案】 (1)设正方形的边长为xcm,列方程得4x=24.
(2)设x月后这台计算机的使用时间已达到2 450小时,那么在x月里这台计算机使用了150x小时,列方程得1 700+150x=2 450.
教师总结:同学们在列方程时,一定要弄清方程两边的代数式所表示的意义,体会列方程所依据的等量关系.
师:上面各方程都含有一个未知数(元),未知数的次数都是1,这样的方程叫做一元一次方程.那么如何从实际问题中列出方程呢?请同学们总结出列方程的一般步骤.
(学生互相讨论,交流合作)
师:列方程解应用题的一般步骤:
实际问题一元一次方程
分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,是用数学知识解决实际问题的一种方法.
师:当x=6时,4x的值为多少?
生:24.
师:也就是说x=6是方程4x=24的解.
师总结:解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未值数的值,这个值就是方程的解.
三、巩固练习
1.已知下列方程:(1)3x-2=6 (2)x-1= (3)2+1.5x=8 (4)3x2-4x=10 (5)x=0 (6)5x-6y=8 (7)=3.其中是一元一次方程的是 (填序号).
2.下列数中,是方程5x-3=x+1的解的是( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
(学生思考,教师提问.)
【答案】 1.(1)(3)(5) 2.C
四、提升练习
1.在参加2004年雅典奥运会的中国代表队中,羽毛球运动员有18人,比跳水运动员的2倍少4人,参加奥运会跳水的运动员有多少人?
2.王玲今年12岁,她爸爸36岁,问再过几年,她爸爸的年龄是她年龄的2倍?
(学生合作、讨论,教师再做讲解)
【答案】 1.11 2.12
五、课堂小结
这一节课你获得了哪些知识?有什么感受?
(教师引导学生一起回顾这节课所学知识,鼓励学生用自己的语言进行回答)
第2课时 等式的性质
教学目标
【知识与技能】
1.理解等式的基本性质.
2.会根据等式的基本性质解方程.
【过程与方法】
经历探索等式的基本性质的过程,培养学生动手的能力以及对数学的兴趣.
【情感、态度与价值观】
通过由具体实验操作与合作探索的过程,培养学生实事求是的态度.
教学重难点
【重点】等式的基本性质.
【难点】用等式的基本性质解方程.
教学过程
一、温故知新
师:同学们,你们知道什么叫方程吗?方程的解呢?那么什么又是等式?学生回答,教师点评.
二、讲授新课
1.合作探究.
师:像m+n=n+m,x+2x=3x,3×3+1=5×2等都是等式.通过下面的实验,我们一起来探究等式的一些性质,同学们看,这是一台天平,请仔细观察实验过程.
请同学们用语言叙述这个实验过程.
生:天平两边分别放入一个铁球和砝码,天平平衡,再在两边都加上相同的木块,天平仍平衡,再拿掉木块天平仍平衡.
师:这位同学回答得完全正确.如果我们把天平看成是等式,那么又会得到什么结论呢?
小组讨论,合作交流.
师:总结得出等式的性质1:等式两边都加上(或减去)同一个数(或整式),结果仍是等式.
师:请同学们继续观察下面的实验.
请同学们用语言表达出这个实验过程.
生:天平两边各放入一个小球和砝码,天平平衡,如果把两边小球和砝码的数量都变成原来的3倍,那么天平仍平衡.
师:与上面一样,如果我们把天平看成是等式,那么又有什么结论呢?
小组讨论,合作交流.
师:我们可以得出等式的性质2:等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为0),所得结果仍是等式.
性质3 如果a=b,那么b=a.(对称性)
例如,由-4=x,得x=-4.
性质4 如果a=b,b=c,那么a=c.(传递性)
例如,如果x=3,又y=x,所以y=3.
在解题的过程中,根据等式的这一性质,一个量用与它相等的量代替,简称等量代换.
三、例题讲解
【例】 利用等式的性质解下列方程:
(1)x+7=26;(2)-5x=20;(3)-x-5=4.
分析 要使方程x+7=26转化为x=a的形式,要去掉方程左边的7,因此两边要同时减7,你会类似地思考另外两个方程如何转化为x=a的形式吗?
【答案】 (1)两边同时减7,得x+7-7=26-7,于是x=19.
(2)两边同时除以-5,得x=-4.
(3)两边同时加5,得-x-5+5=4+5,化简,得-x=9.两边同乘-3,得x=-27.
四、巩固练习
1.下列等式的变形正确的是( )
A.若m=n,则m+2a=n+2a
B.若x=y,则x+a=y-a
C.若x=y,则xm=m
D.若(k2+1)a=-2(k2+1),则a=2
2.利用等式的基本性质解方程:
(1)10x-3=9;(2)5x-2=8;(3)x-1=5.
【答案】 1.A 2.(1)x=1.2 (2)x=2 (3)x=6
五、课堂小结
本节课主要学习了哪些知识?你在探索新知的过程中得到哪些启示?与同伴交流.
第3课时 解一元一次方程
——合并同类项与移项(1)
教学目标
【知识与技能】
理解合并同类项法则,会用合并同类项法则解一元一次方程,并在此基础上探索一元一次方程的一般解法.
【过程与方法】
通过探索合并同类项法则的过程,培养学生观察、思考、归纳问题的能力,积累数学探究活动的经验.
【情感、态度与价值观】
通过探索合并同类项法则,并进一步探索一元一次方程一般解法的过程,感受数学活动充满创造性,激发学生学习数学的兴趣.
教学重难点
【重点】合并同类项法则的探索及应用.
【难点】合并同类项法则的理解和灵活运用.
教学过程
一、温故知新
1.师:你们知道等式的基本性质是什么吗?
生:性质1:等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式.
性质2:等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为0),所得结果仍是等式.
性质3:如果a=b,那么b=a.(对称性)
性质4:如果a=b,b=c,那么a=c.(传递性)
2.利用等式的基本性质解方程:
(1)2x+3=x+4;(2)5x+4=5-3x.
问题展示:
问题1:某校三年共购买计算机140台,去年购买数量是前年的2倍,今年购买数量又是去年的2倍,前年这个学校购买了多少台计算机?
师:设前年购买计算机x台,那么去年购买计算机多少台?
生:2x.
师:今年购买计算机多少台?
生:4x.
师:题目中的等量关系是什么?
师生共同分析,列出方程:x+2x+4x=140.
用框图表示出解这个方程的具体过程:
x+2x+4x=140
7x=140
x=20
二、例题讲解
【例】 解下列方程:
(1)x-2x=6-8;
(2)7x-2.5x+3x-1.5x=-15×4-6×3.
【答案】 (1)合并同类项,得-x=-2.
系数化为1,得x=2.
(2)合并同类项,得6x=-78.
系数化为1,得x=-13.
三、巩固练习
解下列方程:
1.3x+4x-2x=18-7.
2.y-y+y=×6-1.
【答案】 1.x= 2.y=8
四、课堂小结
这节课你学习了哪些知识?获得了哪些经验?
第4课时 解一元一次方程
合并同类项与移项(2)
教学目标
【知识与技能】
使学生掌握移项的概念,并用移项解方程.
【过程与方法】
根据具体问题的数量关系,形成方程模型,使学生形成利用方程的观点认识现实世界的意识和能力.
【情感、态度与价值观】
通过由具体实例的抽象概括的独立思考与合作学习的过程,培养学生实事求是的态度以及善于质疑和独立思考的良好学习习惯.
教学重难点
【重点】移项法则的探索及其应用.
【难点】对移项法则的理解和灵活应用.
教学过程
一、新课引入
师:新课开始之前,我们先来看这样一个问题.
问题展示:
【例1】 把一些图书分给某班学生阅读,如果每人分3本,则剩余20本;如果每人分4本,则还缺25本,这个班有多少学生?
问题分析:
教师:设这个班有x名学生,如果每人分3本,这批书共 本.
生:(3x+20)本.
师:每人分4本,这批书共 本.
生:(4x-25)本.
师:这批书的总数有几种表示法?它们之间有什么关系?本题哪个相等关系可作为列方程的依据呢?
学生分组讨论,合作探究,教师总结.
师:我们可以列出方程 3x+20=4x-25
师:我们可以利用等式的性质解这个方程,得3x-4x=-25-20.
师:请同学们仔细观察上面的变形,你发现了什么?
学生分组合作、讨论,教师总结.
师:上面的变形,相当于把原方程左边的20移到右边变成-20,把4x从右边移到左边变成-4x.即时引出移项的概念:把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项.
教师即时总结并强调移项要变号.
【例2】 解下列方程:
(1)3x+7=32-2x;
(2)x-3=2x+1.
【答案】 (1)移项,得3x+2x=32-7.
合并同类项,得5x=25.
系数化为1,得x=5.
(2)移项,得x-2x=1+3.
合并同类项,得-x=4.
系数化为1,得x=-4.
【例3】 有一列数,按一定规律排列成1,-3,9,-27,81,-243,…,其中某三个相邻数的和是-1701,这三个数分别是多少?
师:同学们这列数的变化规律是什么?
生:前面一个数乘-3得到后面的数.
师:如果设第一个数是x,那么第二、三个数怎么表示呢?
生:-3x,9x.
师:请同学思考列出方程.
生:x-3x+9x=-1701.
【例4】 某制药厂制造一批药品,如用旧工艺,则废水排量要比环保限制的最大量还多200t;如用新工艺,则废水排量比环保限制的最大量少100t.新旧工艺的废水排量之比为2∶5,两种工艺的废水排量分别是多少?
分析：因为新旧工艺的废水排量之比为2∶5,所以可设它们分别为2xt和5xt,再根据它们与环保限制的最大量之间的关系列方程.
【答案】 设新、旧工艺的废水排量分别为2xt和5xt.
根据废水排量与环保限制最大量之间的关系,得5x-200=2x+100.
移项,得5x-2x=100+200.
合并同类项,得3x=300.
系数化为1,得x=100.
所以2x=200,5x=500.
答:新、旧工艺产生的废水排量分别为200t和500t.
二、巩固练习
解下列方程:
1.4x-20-x=6x-5-x.
2.32y+1=21y-3y-13.
3.2|x|-1=3-|x|.
【答案】 1.x=- 2.y=-1 3.x=-或x=
三、课堂小结
学习了移项法则后,你认为用逆运算的方法和用移项的方法解方程哪个更简便?对于解一元一次方程,你有了哪些新的领悟?
第5课时 解一元一次方程
——去括号与去分母(1)
教学目标
【知识与技能】
掌握解含有括号的一元一次方程的方法,能用多种方法灵活地解一元一次
方程.
【过程与方法】
经历对一元一次方程解法的探究过程,深入理解等式基本性质在解方程中的作用,学会多角度寻求解决问题的方法.
【情感、态度与价值观】
通过探索含有括号的一元一次方程的解法,体验整体探索思想的意义,培养学生善于观察、总结的良好思维习惯.
教学重难点
【重点】含括号的一元一次方程的解法.
【难点】结合方程的特点选择不同的方法解方程,并解释解法的合理性.
教学过程
一、例题讲解
教师出示例题.
【例1】 解下列方程:
(1)2x-(x+10)=5x+2(x-1);
(2)3x-7(x-1)=3-2(x+3);
(3)2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x).
【答案】 (1)去括号,得2x-x-10=5x+2x-2.
移项,得2x-x-5x-2x=-2+10.
合并同类项,得-6x=8.
系数化为1,得x=-.
(2)去括号,得3x-7x+7=3-2x-6.
移项,得3x-7x+2x=3-6-7.
合并同类项,得-2x=-10.
系数化为1,得x=5.
(3)去括号,得2x-4-12x+3=9-9x.
移项,得2x-12x+9x=9+4-3.
合并同类项,得-x=10.
两边同除以-1,得
x=-10.
注意:(1)用分配律去括号时,不要漏乘括号中的项,并且不要搞错符号;
(2)-x=10不是方程的解,必须把x的系数化为1,才算完成解的过程.
【例2】 一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶,用了2小时;从乙码头返回甲码头逆流行驶,用了2.5小时,已知水流的速度是3千米/小时,求船在静水中的速度.
师:如果设船在静水中的平均速度为x千米/小时,那么请同学们回答下列问题.
船顺流速度为多少?
生甲:(x+3)千米/小时.
师:逆流速度为多少?
生乙:(x-3)千米/小时.
师:那么这个方程的等量关系是什么?
生丙:往返的路程相等.
师生共同探讨,列出方程:2(x+3)=2.5(x-3)
师:下面请一位同学上黑板写出这道题的解题过程.
二、巩固练习
解下列方程:
1.2y+3=8(1-y)-5(y-2).
2.3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3).
【答案】 1.y=1 2.y=8
三、课堂小结
1.本节课主要学习了什么内容?
2.在去括号时应注意什么?
第6课时 解一元一次方程
——去括号与去分母(2)
教学目标
【知识与技能】
会解含分母的一元一次方程,掌握解一元一次方程的基本步骤和方法,能根据方程的特点灵活地选择解法.
【过程与方法】
经历一元一次方程一般解法的探究过程,理解等式基本性质在解方程中的作用,学会通过观察,结合方程的特点选择合理的思考方向进行新知识探索.
【情感、态度与价值观】
通过尝试从不同角度寻求解决问题的方法,体会解决问题策略的多样性;在解一元一次方程的过程中,体验“化归”的思想.
教学重难点
【重点】解一元一次方程的基本步骤和方法.
【难点】含有分母的一元一次方程的解题方法.
教学过程
一、新课引入
师:同学们,我们先来看这样一道题.
教师出示问题:一个数,它的三分之二,它的一半,它的七分之一,它的全部加起来总共是33,求这个数.
师:设这个数为x,那么它的三分之二、二分之一怎么表示?
生:
解这个方程关键是去分母,那么怎样才能去掉分母?根据是什么?
学生合作探究,尝试去分母,并与同伴交流自己的解法是否正确.
问题解答:根据等式的基本性质2,在方程两边乘以各分母的最小公倍数42,即可将方程化为熟悉的类型.
28x+21x+6x+42x=1386
合并同类项97x=1386
系数化为1,x=
答:所求的数是
师生共同探讨解有分数系数的一元一次方程的步骤.
5(3x+1)-10×2=(3x-2)-2(2x+3)
15x+5-20=3x-2-4x-6
15x-3x+4x=-2-6-5+20
16x=7
x=
师:同学们能不能总结解一元一次方程的一般步骤?
学生分组讨论,合作交流.
二、例题讲解
【例】 解下列方程:
(1)
(2)
【答案】 (1)去分母(方程两边同时乘6),得x+3+6=6x-3(x-1).
去括号,得x+3+6=6x-3x+3.
移项,得x-6x+3x=3-3-6.
合并同类项,得-2x=-6.
系数化为1,得x=3.
(2)去分母(方程两边同时乘6),得18x+3(x-1)=18-2(2x-1).
去括号,得18x+3x-3=18-4x+2.
移项,得18x+3x+4x=18+2+3.
合并同类项,得25x=23.
系数化为1,得x=.
三、巩固练习
解下列方程:
1..
2..
【答案】 1.x=3 2.x=1
四、课堂小结
下面我们一起来回忆一下解一元一次方程的一般步骤.1.去分母.2.去括号.3.移项.4.合并同类项.5.系数化为1.
3.2 一元一次方程的应用
第1课时 一元一次方程的应用(1)
教学目标
【知识与技能】
1.会列一元一次方程解决有关商品销售的问题.
2.通过应用题教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实中的相等关系,体会代数方法的优越性.
【过程与方法】
1.根据具体问题的数量关系,形成方程的模型,初步形成学生利用方程的观点认识现实世界的意识和能力.
2.通过分组合作学习活动,学会在活动中与他人合作,并能与他人交流思维的过程与结果.
【情感、态度与价值观】
通过由具体实例的分析、思考与合作学习的过程,培养学生理论联系实际的辩证唯物主义的思想以及善于分析问题、利用知识解决实际问题的良好的学习习惯.
教学重难点
【重点】正确分析应用题的题意,列出一元一次方程.
【难点】正确列出一元一次方程.
教学过程
一、温故而知新
师:同学们,今天我们要学习如何列一元一次方程解应用题,那么列方程解应用题的步骤的关键是什么?
学生回答,教师点评.
二、例题讲解
【例1】 如图,用直径为200mm的圆柱体钢,锻造一个长、宽、高分别为300mm、300mm和90mm的长方体毛坯,应截取多少毫米长的圆柱体钢?(计算时,π取3.14,结果精确到1mm)
分析 把圆柱体钢锻造长方体毛坯,虽然形状发生了变化,但锻造前后的体积是相等的,也就是圆柱体体积=长方体体积.
【答案】 应设截取的圆柱体钢长为xmm.根据题意,得3.14×()2x=300×300×90.
解方程,得x≈258.
答:应截取约258mm长的圆柱体钢.
【例2】 为了适应经济发展,铁路运输再次提速.如果客车行驶的平均速度增加40km/h,提速后由合肥到北京1110km的路程只需行驶10h.那么,提速前,这趟客车平均每时行驶多少千米?
分析 行程问题中常涉及的量有路程、平均速度、时间、它们之间的基本关系是:
路程=平均速度×时间.
【答案】 设提速前客车平均每时行驶xkm,那么提速后客车平均每时行驶(x+40)km.客车行驶路程1110km,平均速度是(x+40)km/h.所需时间是10h.根据题意,得10(x+40)=1110.
解方程,得x=71.
答:提速前这趟客车的平均速度是71km/h.
师:分析行程问题中的等量关系,还可以借助线段示意图.
【例3】 一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,卖这两件衣服总的是盈利还是亏损,或是不盈不亏?
分析 两件衣服共卖了120(60×2)元,是盈是亏要看这家商店买进这两件衣服时花了多少钱,如果进价大于售价就亏损,反之就盈利.
假设一件商品的进价是40元,如果卖出后盈利25%,那么商品利润是40×25%元;如果卖出后亏损25%,商品利润是40×(-25%)元.
【答案】 设盈利25%的那件衣服的进价是x元,它的商品利润就是0.25x元,根据进价与利润的和等于售价,列出方程x+0.25x=60.由此得x=48.
类似地,可以设另一件衣服的进价为y元,它的商品利润是-0.25y元,列出方程y-0.25y=60.由此得y=80.
两件衣服的进价是x+y=128元,而两件衣服的售价是60+60=120元,进价大于售价,由此可知卖这两件衣服总共亏损8元.
三、巩固练习
在商品市场经常可以听到小贩的叫嚷声和顾客的讨价还价声:“10元一个的玩具赛车打八折,快来买啊!”“能不能再便宜2元?”如果小贩真的便宜2元卖了,他还能获利20%,求一个玩具赛车的进价是多少元?
【答案】 5元
四、课堂小结
师:通过上面的例题,请同学们总结出列一元一次方程解应用题的步骤.
第2课时 一元一次方程的应用(2)
教学目标
【知识与技能】
1.使学生学会列一元一次方程解有关“增长率”的应用题.
2.通过应用题教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实中的相等关系,体会方程方法的优越性.
【过程与方法】
1.根据具体问题的数量关系,形成方程的模型,初步培养学生利用方程的观点认识现实世界的意识和能力.
2.通过分组合作学习活动,学会在活动中与人合作,并能与他人交流思维的过程与结果.
【情感、态度与价值观】
通过由具体实例的分析、思考与合作学习的过程,培养学生理论联系实际的辩证唯物主义思想以及善于分析问题、利用已学知识解决问题的良好的学习习惯.
教学重难点
【重点】正确分析应用题的题意,列出一元一次方程.
【难点】正确列出一元一次方程.
教学过程
一、问题展示
师:同学们,这节课我们将学习什么呢?下面先一起来看这道题.
教师多媒体出示课件.
某村去年种植的油菜籽亩产量160千克,含油率40%,今年种新选育的油菜籽后,亩产量提高20千克,含油率提高了10个百分点.
1.今年与去年相比,这个村的油菜种植面积减少了44亩,而村榨油厂用本村所产油菜料的产油量提高20%,今年油菜种植面积是多少亩?
2.油菜种植成本为210元/亩,菜油收购价为6元/千克,请比较这个村去、今两年油菜种植成本与将菜油全部售出所获收入.
师:如果设今年种植油菜x亩,那么请同学们回答下列问题:去年产油量 千克.?
生:160×40%×(x+44).
师:今年产油量 千克.?
生:(160+20)×50%x.
师:根据什么列出方程的等量关系?请列出方程.
生:今年比去年产油量提高20%,列出方程为:(160+20)×50%x=160×40%×(x+44)(1+20%).
师:请同学们解这个方程.
生:x=256.
师:在第二个问题中,去年油菜种植成本为 元.?
生:210(x+44)=63 000
师:售油收入为 元.?
生:160×40%(x+44)×6=115 200
师:售油收入与油菜种植成本的差为 元.?
生:52 200.
师:那么请同学们仿照上面的步骤,完成今年的情况.(学生合作完成,老师巡视、指导)
师:两年相比,油菜种植成本及售油收入有什么变化?
二、例题讲解
【例1】 王大伯3年前把手头一笔钱作为3年定期存款存入银行,年利率为5%.到期后得到本息共23000元,问当年王大伯存入银行多少钱?
分析 本题中涉及的数量关系有
本金×利率×年数=利息,
本金+利息=本息和.
【答案】 设当年王大伯存入银行x元,年利率为5%,存期3年,所以3年的利息为3×5%x元.3年到期后的本息共为23 000元.
根据题意,得x+3×5%x=23 000.
解方程,得x=20 000.
答:当年王大伯存入银行20 000元.
【例2】 三个作业队共同使用水泵排涝,如果三个作业队排涝的土地面积之比为4∶5∶6,而这一次装运水泵和耗用的电力费用共计120元,三个作业队按土地面积比各应该负担多少元?
分析 各个作业队应负担费用与排涝的土地面积成正比,且三个作业队各自应负担费用之和等于120元.由于共有土地4+5+6=15份,因而120元可由15份分担.据此,得解法如下:
【答案】 设每份土地排涝分担费用x元,那么三个作业队应负担费用分别为4x元、5x元、6x元.根据题意,得4x+5x+6x=120,解方程,得x=8.
4x=32,5x=40,6x=48.
答:三个作业队各应负担32元、40元、48元.
注意:本题中“设每份土地排涝分担费用x元”属间接设未知数法.当不能或难以直接设未知数时,常用这种方法.
三、巩固练习
某商店积压了100件某种商品,为使这批货物尽快脱手,该商店采取了如下销售方案,将价格提高到原来的2.5倍,再做3次降价处理:第1次降价30%,第2次又降价30%,第3次再降价30%,3次降价销售结果如下表:
降价次数
1
2
3
销售件数
10
40
一抢而光
求:(1)第3次降价占原价的百分比是多少?
(2)该商品按新销售方法销售,相比原价全部卖完,哪一种方案更盈利?
学生独立解答,教师巡视,对有疑问的学生予以帮助.
四、课堂小结
同学们,今天学习了什么内容?你有哪些收获?学生交流、回答.
3.3 二元一次方程组及其解法
第1课时 二元一次方程组
教学目标
【知识与技能】
理解二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义,并会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解.
【过程与方法】
经历认识二元一次方程和二元一次方程组的过程,感受类比的学习方法在数学学习过程中的作用.
【情感、态度与价值观】
学会用类比的方法迁移知识,体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性,感受学习数学的乐趣.
教学重难点
【重点】理解二元一次方程组的解的意义.
【难点】求二元一次方程的正整数解.
教学过程
一、创设情境,引入新课
古老的“鸡兔同笼”问题:
“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足.问鸡、兔各几何?”
教师描述:
这是我国古代数学著作《孙子算经》中记载的数学名题.它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣,这个问题也一定会使在座的各位同学感兴趣.怎样来解答这个问题呢?
学生思考并自行解答,教师巡视.最后,在学生动手动脑的基础上,集体讨论并给出各个解决方案.
教师展示幻灯片:
方法1:算筹解法.(孙子算经,用算筹研究代数.)
方法2:图形解法.(尚不成熟的符号语言,但很直观.)
方法3:算术解法.
兔数 (94÷2)-35=12
鸡数 35-12=23
方法4:一元一次方程的解法.
解:设鸡有x只,则兔有(35-x)只,则可列方程:
2x+4(35-x)=94
解得:x=23
则鸡有23只,兔有12只.
请同学们自己思考.
教师不失时机地复习一元一次方程的有关概念,“元”是指什么?“次”是指什么?
二、尝试活动,探索新知
1.讨论二元一次方程、二元一次方程组的概念.
教师提问:
上面的问题可以用一元一次方程来解,那么还有其他方法吗?
方法6:设有x只鸡,y只兔,依题意得:
x+y=35 ①
2x+4y=94 ②
针对学生列出的这两个方程,教师提出如下问题:
(1)你能给这两个方程起个名字吗?
(2)为什么叫二元一次方程呢?
(3)什么样的方程叫二元一次方程呢?
教师结合学生的回答,板书定义1:
含有两个未知数,并且未知数的指数都是1的方程,叫做二元一次方程.
同时教师引导学生利用一元一次方程进行知识的迁移与类比,让学生用原有的认知结构去同化新知识,符合建构主义理念.
教师追问:
在上面的问题中,鸡、兔的只数必须同时满足①、②两个方程.把①、②两个二元一次方程结合在一起,用大括号来连接.我们也给它起个名字,叫什么呢?
学生思考,教师板书定义2:
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组.
2.讨论二元一次方程、二元一次方程组的解的概念.
探究活动:满足x+y=35,且符合问题的实际意义的值有哪些?请填入表中.
x
…
y
…
教师启发:
(1)若不考虑此方程与上面实际问题的联系,还可以取哪些值?
(2)你能模仿一元一次方程的解给二元一次方程的解下定义吗?
(3)它与一元一次方程的解有什么区别?
教师板书定义3:
使二元一次方程两边相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.
教师提问:
那么什么是二元一次方程组的解呢?
学生讨论达成共识:
二元一次方程组的解必须同时满足方程组中的两个方程.即:既是方程①的解,又是方程②的解.
教师板书定义4:
二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解.
注意:
二元一次方程组的解是成对出现的,用大括号来连接,表示“且”.
请同学们议一议:
将上述“鸡兔同笼”问题的几种方案进行优劣对比,你有哪些想法呢?
学生通过对比,体验到从算术方法到代数方法是一种进步.当我们遇到求多个未知量,而且数量关系较复杂时,列二元一次方程组比列一元一次方程容易,它大大减轻了我们的思维负担.
三、例题讲解
【例】 下列各对数值中不是二元一次方程x+2y=2的解的是( )
解法分析:
将A、B、C、D中各对数值逐一代入方程检验是否满足方程,选D.
变式练习:上题中的选项是二元一次方程组的解的是( )
解法分析:
在例1的基础上,进一步检验A、B、C、D中各对值是否满足方程2x+y=-2,使学生明确认识到二元一次方程组的解必须同时满足两个方程.
教师总结:
本例题先检验二元一次方程的解,再检验二元一次方程组的解,符合从简单到复杂的认知规律,使学生更深刻地理解二元一次方程组的解的概念.
四、巩固练习
1.根据下列语句,列出二元一次方程:
(1)甲数的一半与乙数的3倍的和为11;
(2)甲数和乙数的2倍的差为17.
2.方程x+2y=7在自然数范围内的解( )
A.有无数组 B.有两组
C.有三组 D.有四组
3.若mx+y=1是关于x、y的二元一次方程,那么( )
A.m≠0 B.m=0
C.m是正有理数 D.m是负有理数
【答案】 1.(1)0.5x+3y=11 (2)x-2y=17 2.D 3.A
五、课堂小结
本节课学习了哪些内容?你有哪些收获?(什么叫二元一次方程?什么叫二元一次方程组?什么叫二元一次方程组的解?)
第2课时 用代入消元法解二元一次方程组
教学目标
【知识与技能】
1.用代入法解二元一次方程组.
2.了解解二元一次方程组时的“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.
3.会用二元一次方程组解决实际问题.
4.在列方程组的建模过程中,强化方程的模型思想,培养学生列方程解决实际问题的意识和能力.
5.将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体,进一步培养解方程组的能力.
【过程与方法】
通过观察、验证、讨论、交流等学习方式经历代入消元的过程,深刻体会到转化的作用,发展学生的抽象思维能力,培养学生有条理的表达能力和与人交流的能力.
【情感、态度与价值观】
1.了解二元一次方程组的“消元”思想、初步理解“化未知为已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想中,享受学习数学的乐趣,增强学习数学的信心.
2.培养学生合作交流、自主探索的良好习惯.
3.体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型,培养学生应用数学的意识.
4.在用方程组解决实际问题的过程中,体验数学的实用性,激发学生学习数学的兴趣.
教学重难点
【重点】用代入消元法解二元一次方程组.
【难点】探索用代入消元法将“二元”转化为“一元”的消元过程.
教学过程
一、创设情境,引入新课
教师出示下列问题:
问题1:篮球联赛中,每场比赛都要分胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分.某队为了争取较好的名次,想在全部22场比赛中得到40分,那么这个队胜负场数分别是多少?
问题2:在上述问题中,我们也可以设出两个未知数,列出二元一次方程组,那么怎样求解二元一次方程组呢?
二、尝试活动,探索新知
教师引导:
什么是二元一次方程组的解?(方程组中各个方程的公共解)
学生列式计算后回答:
满足方程①的解有:
……
满足方程②的解有:
……
这两个方程的公共解是
教师追问:
这个问题能用一元一次方程来解决吗?
学生思考并列出式子:
设胜x场,负(22-x)场,
解方程:2x+(22-x)=40 ③
学生观察并思考:
上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系?
教师提问:1.在一元一次方程的解法中,列方程时所用的等量关系是什么?
2.方程组中方程②所表示的等量关系是什么?
3.方程②与③的等量关系相同,那么它们的区别在哪里?
4.怎样使方程②变为只含有一个未知数呢?
结合学生的回答,教师做出讲解:
由方程①进行移项得y=22-x,由于方程②中的y与方程①中的y都表示负的场数,故可以把方程②中的y用(22-x)来代换,即得2x+(22-x)=40.这样,二元就化为一元了.
解得x=18.
问题解完了吗?怎样求y?
将x=18代入方程y=22-x,得y=4.
能代入原方程组中的方程①、②来求y吗?代入哪个方程更简便?
这样,二元一次方程组的解就是
教师归纳并板书:
这种通过代入消去一个未知数,使二元方程转化为一元方程,从而方程组得以求解的方法叫做代入消元法,简称代入法.
三、例题讲解
【例1】 用代入法解方程组:
本题较简单,直接由学生板演,师生共同评价.
【答案】 由②，得x＝1－5y.③
把③代入①，得2(1－5y)＋3y＝－19，
2－10y＋3y＝－19，－7y＝－21，y＝3.
把y＝3代入③，得x＝－14.
所以原方程组的解是
解后反思,教师引导学生思考下列问题:
(1)选择哪个方程代入另一方程?其目的是什么?
(2)为什么能代入?
(3)只求出一个未知数的值,方程组就解完了吗?
(4)把已求出的未知数的值代入哪个方程来求另一个未知数的值较简便?
(5)怎样检验你运算的结果是否正确呢?
(与解一元一次方程一样,需检验.其方法是将求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中,看方程的左、右两边是否相等.检验可以口算,也可以在草稿纸上验算.)
【例2】 (例1的变式)解方程组:
分析:对于这个方程组，应将方程组变形为观察③和④中未知数的系数，绝对值最小的是2，一般应选取方程③变形，得x＝，然后代入④求解．
(1)从方程的结构来看:例2与例1有什么不同?
例1是用x=1-5y直接代入②的,而例2的两个方程都不具备这样的条件,都不能直接代入另一个方程.
(2)如何变形?
把一个方程变形为用含x的式子表示y(或含y的式子表示x).
(3)选用哪个方程变形较简便呢?
通过观察,发现方程①中y的系数为-1,因此,可先将方程①变形,用含x的代数式表示y,再代入方程②求解.
【答案】 将原方程组整理，得
由③，得x＝.⑤
把⑤代入④，得2(3y＋1)－3y＝－5，
3y＝－7，y＝－.
把y＝－代入⑤，得x＝－3.
所以原方程组的解是
四、巩固练习
1. 已知是方程2x－ay＝3的一个解，那么a的值是( )
A．1 B．3 C．－3 D．－1
解析：将代入方程2x－ay＝3，得2＋a＝3，所以a＝1.
2. 已知是二元一次方程组的解，则a－b的值为( )
A．1 B．－1 C．2 D．3
解析：把解代入原方程组得解得所以a－b＝－1.
五、课堂小结
你从本节课的学习中体会到代入法的基本思路是什么?主要步骤有哪些呢?让学生在互相交流的活动中完成本节课的小结,并能通过总结与归纳,更加清楚地理解代入消元法,体会代入消元法在解二元一次方程组的过程中反映出来的化归思想.
第3课时 用加减消元法解二元一次方程组
教学目标
【知识与技能】
1.掌握用加减消元法解二元一次方程组.
2.使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法.
3.体验数学学习的乐趣,在探索过程中体验成功的喜悦,增强学好数学的信心.
【过程与方法】
1.通过探索二元一次方程组的解法,了解二元一次方程组的“消元”思想,使学生养成良好的探索习惯.
2.通过对具体实际问题的分析,组织学生自主交流、探索,经历列方程的建模过程,培养学生应用数学的意识.
【情感、态度与价值观】
1.让学生在了解二元一次方程组的“消元”思想以及初步理解“化未知为已知”和“化复杂问题为简单问题”的化归思想的过程中,享受学好数学的乐趣,增强学好数学的信心.
2.使学生养成合作交流、自主探索的良好习惯.
3.体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型,培养学生应用数学的意识.
4.在用方程组解决实际问题的过程中,体验数学的实用性,激发学生学习数学的兴趣.
教学重难点
【重点】如何用加减法解二元一次方程组.
【难点】如何运用加减法进行消元.
教学过程
一、创设情境,引入新课
教师提出问题:
王老师昨天在水果批发市场买了2千克苹果和4千克梨,共花了14元,李老师以同样的价格买了2千克苹果和3千克梨,共花了12元,梨每千克的售价是多少?比一比看谁算得快.
教师总结最简便的方法:
抵消掉相同部分,王老师比李老师多买了1千克的梨,多花了2元,故梨每千克的售价为2元.
二、例题讲解
【例1】 解方程组:
分析 根据等式的性质，如果把这两个方程的左边与左边相加，右边与右边相加，就可以消掉y，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解．
解：①＋②，得6x＝18，解得x＝3.
把x＝3代入①，得9＋2y＝13，
所以y＝2.
所以
【例2】 解方程组:
分析 (1)上面的方程组是否符合用加减法消元的条件？(不符合)(2)如何转化可使某个未知数系数的绝对值相等？(①×2或②×3)
解：①×2，得18x＋4y＝30.③
③－②，得15x＝20，x＝.
把x＝代入②，得4＋4y＝10，y＝.所以
师生共析:
1.用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.
2.用加减法解二元一次方程组的一般步骤:
第一步:在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等,可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数.
第二步:如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数),再加减消元.
第三步:对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母、去括号、合并同类项等,通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边、常数项在方程的右边的形式),再作如上加减消元的考虑.
三、巩固练习
1. 已知x、y满足方程组求代数式x－y的值．
解析：观察两个方程的系数，可知两方程相减得2x－2y＝－6，从而求出x－y的值．
解：
②－①得2x－2y＝－1－5，③
得x－y＝－3.
2. 已知xm－n＋1y与－2xn－1y3m－2n－5是同类项，求m和n的值．
解析：根据同类项的概念，可列出含字母m和n的方程组，从而求出m和n.
解：因为xm－n＋1y与－2xn－1y3m－2n－5是同类项，
所以
整理，得
④－③，得2m＝8，所以m＝4.把m＝4代入③，得2n＝6，所以n＝3.
所以当时，xm－n＋1y与－2xn－1y3m－2n－5是同类项．
四、课堂小结
本节课我们主要学习了二元一次方程组的另一种解法——加减法.通过把方程组中的两个方程进行相加或相减,消去一个未知数,化“二元”为“一元”.请同学们回忆:加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么?用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些?
3.4 二元一次方程组的应用
第1课时 二元一次方程组的应用(1)
教学目标
【知识与技能】
1.使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题,让学生再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用.
2.通过应用题教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系,体会代数方法的优越性.
3.体会列方程组比列一元一次方程容易.
4.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力.
【过程与方法】
以方程组为工具分析、解决含有多个未知数的实际问题.
【情感、态度与价值观】
1.确定解题策略,比较估算与精确计算.
2.培养分析、解决问题的能力,体会二元一次方程组的应用价值,增强数学的应用意识.
教学重难点
【重点】能根据题意找出等量关系,并能根据题意列二元一次方程组.
【难点】正确找出问题中的两个等量关系.
教学过程
一、创设情境,引入新课
复习提问:
列方程解应用题的步骤是什么?
学生回答:
审题、设未知数、列方程、解方程、检验并作答.
教师讲述:
前面我们结合实际问题,讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组.本节课我们继续探究如何用方程组解决实际问题.
二、例题讲解
【例1】 某市举办中学生足球比赛,规定胜一场得3分,平一场得1分.市第二中学足球队比赛11场,没有输过一场,共得27分.试问该队胜几场,平几场?
解法一 如果设该市第二中学足球队胜x场,那么该队平(11-x)场.根据得分规定,胜x场,得3x分,平(11-x)场,得(11-x)分.共得27分,得方程3x+(11-x)=27.解方程,得x=8.11-x=11-8=3(场).答:该市第二中学足球队胜8场,平3场.
解法二 设市第二中学足球队胜x场,平y场.由该队共比赛11场,得方程x+y=11.①
又根据得分规定,胜x场,得3x分,平y场,得y分,共得27分,因而得方程3x+y=27.②
解方程①、②组成的方程组,得
答:该市第二中学足球队胜8场,平3场.
【例2】 甲、乙两人相距4km,以各自的速度同时出发.如果同向而行,甲2h追上乙;如果相向而行,两人0.5h后相遇.试问两人的速度各是多少?
分析 用示意图来表示数量关系,比较直观,便于找到相等关系.本例中“同时出发,同向而行”,可用下图表示.
“同时出发,相向而行”,可用下图表示.
【答案】 设甲、乙的速度分别是xkm/h、ykm/h.根据题意与分析中图示的两个相等关系,得
②×4+①,得4x=20,x=5.
将x=5代入①,得y=3.所以.
答:甲的速度是5km/h,乙的速度是3km/h.
三、巩固练习
1.某所中学现在有学生4 200人,计划一年后初中在校生增加8%,高中在校生增加11%,这样全校学生将增加10%,这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数各是多少?
2.有大、小两辆货车,2辆大车与3辆小车一次可以运货15.50吨,5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨,求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨?
【答案】 1.现在的初中在校生有1 400人,高中在校生有2 800人. 2.3辆大车与5辆小车一次可以运货24.5吨.
四、课堂小结
通过这节课的学习,你知道用方程组解决实际问题有哪些步骤吗?
第2课时 二元一次方程组的应用(2)
教学目标
【知识与技能】
1.经历用方程组解决实际问题的过程,体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型.
2.能够找到实际问题中的已知数和未知数,分析它们之间的数量关系,列出方程组.
3.学会开放性地寻求设计方案,培养分析解决问题的能力.
【过程与方法】
通过经历积极思考、互相讨论、探索事物之间的数量关系的过程,形成方程模型意识.
【情感、态度与价值观】
在解方程和运用方程解决实际问题的过程中,进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型.
教学重难点
【重点】经历和体验用方程组解决实际问题的过程.
【难点】用方程组刻画并解决实际问题.
教学过程
一、创设情境,引入新课
前面我们初步体验了用方程组解决实际问题的全过程,其实生产、生活中还有许多问题也能用方程组解决.
教师出示问题:
玻璃厂熔炼玻璃液,原料是石英砂和长石粉混合而成.要求原料中含二氧化硅70%,根据化验,石英砂中含二氧化硅99%,长石粉中含二氧化硅67%.试问在3.2t原料中,石英砂和长石粉各多少吨?
二、例题讲解
分析:问题中涉及了哪些已知量和未知量?它们之间有何关系?引入未知数,填写下表:
石英砂
长石粉
原料总量
需要量
x
y
3.2
含二氧化硅
99%x
67%y
70%×3.2
【答案】 设需石英砂xt,长石粉yt.
由所需总量,得x+y=3.2.①
再由所含二氧化硅的百分率,得
99%x+67%y=70%×3.2.②
解由方程①、②组成的方程组,得
答:在3.2t原料中,石英砂0.3t,长石粉2.9t.
三、拓展练习,巩固概念
学生在手工实践课中,遇到这样一个问题:要用20张白卡纸制作包装纸盒,每张白卡纸可以做盒身2个或者做盒底盖3个.如果1个盒身和2个盒底盖可
以做在一个包装纸盒,那么能否将这些白卡纸分成两部分,一部分做盒身,一部分做盒底盖,使做成的盒身和盒底盖正好配套?请你设计一种分法.
按以下步骤展开问题的讨论:
1.学生独立思考,构建数学模型.
2.小组讨论达成共识.
3.学生板书并讲解.
4.对方程组的解进行探究和讨论,从而得到实际问题的结果.
5.针对以上结论,你能再提出几个探索性的问题吗?
四、巩固练习
某农场300名职工耕种51公顷土地,计划种植水稻、棉花和蔬菜,已知种植植物每公顷所需的劳动力人数及投入的资金如下表:
农作物品种
每公顷需劳动力
每公顷需投入资金
水稻
4人
1万元
棉花
8人
1万元
蔬菜
5人
2万元
已知该农场计划投入67万元,应该怎样安排这三种作物的种植面积,才能使所有职工都有工作,而且投入的资金正好够用?
【答案】 安排15公顷种水稻.20公顷种棉花.16公顷种蔬菜.
五、课堂小结
通过本节课的讨论,你对用方程组解决实际问题的方法又有何新的认识?
第3课时 二元一次方程组的应用(3)
教学目标
【知识与技能】
1.进一步经历用方程组解决实际问题的过程,体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型.
2.会用列表的方法分析问题中所蕴涵的数量关系,列出二元一次方程组.
【过程与方法】
经历探索建立模型解决实际问题的过程,感受方程组作为刻画现实世界的有效模型的内涵.
【情感、态度与价值观】
1.培养学生实事求是的科学精神,认识数学的科学价值和人文价值.
2.在利用方程组解决实际问题的过程中,体验数学的实用性,激发学生学习数学的兴趣.
3.培养学生分析问题、解决问题的能力,进一步体会二元一次方程组的应用价值.
教学重难点
【重点】用列表、画图的方法分析题意、建立模型.
【难点】如何应用列表法、图象法分析问题、建立模型.
教学过程
一、创设情境,引入新课
最近几年,全国各地普遍出现了夏季用电紧张的局面,为疏导电价矛盾,促进居民节约、合理用电,各地出台了峰谷电价试点方案.
电力行业中峰谷的含义是用山峰和山谷来形象地比喻用电负荷特性的变化幅度.一般白天的用电比较集中、用电功率比较大,而夜里人们休息时用电比较少,所以通常白天的用电称为高峰用电,即8:00~22:00,深夜的用电是低谷用电,即22:00~次日8:00.若某地的高峰电价为每千瓦时0.56元;低谷电价为每千瓦时0.28元.八月份小彬家的总用电量为125千瓦时,总电费为49元,你知道他家高峰用电量和低谷用电量各是多少千瓦时吗?
学生独立思考,并解答.
二、例题讲解
【例】 某村18位农民筹集5万元资金,承包了一些低产田地.根据市场调查,他们计划对种植作物的品种进行调整,改种蔬菜和荞麦.种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如下表:
每公顷所需的人数
每公顷需投入的资金
蔬菜
5
1.5
荞麦
4
1
在现有的条件下,这18位农民承包多少公顷田地,怎样安排种植才能使所有的人都有工作,且资金正好够用?
分析 怎样理解“所有的人都有工作”及“资金正好够用”?能用等式来表示它们吗?根据题意列表如下:
面积
人数
投入
蔬菜
x
5x
1.5x
荞麦
y
4y
y
合计
18
5
【答案】 设蔬菜的种植面积为xhm2,荞麦的种植面积为yhm2.
根据题意,得
解方程组,得承包田地的面积为x+y=4(hm2),人员安排为5x=5×2=10(人),4y=4×2=8(人).
答:这18位农民应承包4hm2的田地,种植蔬菜和荞麦各2hm2,并安排10人种蔬菜,8人种荞麦,这样能使所有的人都有工作,且资金正好够用.
教师引导学生讨论以上列方程组解决实际问题的思路:合理设定未知数,找出相等关系.
三、巩固练习
1.某工厂现在年产值是150万元,如果每增加1 000元的投资一年可增加2 500元的产值,设新增加的投资额为x万元,总产值为y万元,求x、y所满足的方程.
2.学校购买35张电影票共用250元,其中甲种票每张8元,乙种票每张6元,设甲种票x张,乙种票y张,请列方程组并求解.
3.有一个两位数,其数字和为14,若调换个位数字与十位数字,就比原数大18,则这个两位数是多少?
【答案】 1.y=150+2.5x.
2.解得
3.这个两位数为68.
四、课堂小结
1.在用二元一次方程组解决实际问题时,你会怎样设定未知数,可借助哪些方式辅助分析问题中的相等关系?
2.小组讨论, 试用框图概括“用二元一次方程组分析和解决实际问题”的基本过程.
学生思考、讨论、整理.
*3.5 三元一次方程组及其解法
教学目标
【知识与技能】
了解三元一次方程组的概念,会用消元法解简单的三元一次方程组.
【过程与方法】
经历三元一次方程组解法的探索过程,使学生能深入体会消元化归的思想方法.
【情感、态度与价值观】
通过解三元一次方程组,感受方程(组)变形的数学美以及方程组解的奇异美.
教学重难点
【重点】通过与二元一次方程组类比学会用加减消元法解三元一次方程组.
【难点】如何消元,消去哪个未知数.
教学过程
一、复习旧知，导入新知
(1)解二元一次方程组的基本方法有哪几种？
(2)解二元一次方程组的基本思想是什么？
(3)甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，求这三个数．
教师：题目中有几个未知数？含有几个相等关系？你能根据题意列出几个方程？
学生活动：回答问题、设未知数、列方程．
这个问题必须三个条件都满足，因此，我们设甲、乙、丙分别为x，y，z，列方程，再把三个方程合在一起，写成下面的形式：
这个方程组有三个未知数，每个方程的未知数的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组，就是我们要学习的三元一次方程组(板书课题)．
二、师生互动，理解新知
探究点：三元一次方程组及其解法
问题1：怎样解上面的三元一次方程组呢？你能不能设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程？
学生活动：思考、讨论后说出消元方案．
教师对学生的回答给予肯定或否定，纠正后说出消元方案：依照代入法，由较简单的方程②，可得x＝y＋1④，进一步将④分别代入①和③中，就可消去x，得到只含y，z的二元一次方程组．
解：由②，得x＝y＋1.④
把④代入①，得2y＋z＝25.⑤
把④代入③，得y＋z＝16.⑥
⑤与⑥组成方程组
解这个方程组，得
把y＝9代入④，得x＝10.
所以
注意：a.得二元一次方程组后，解二元一次方程组的过程在练习本上完成．
b．求得y＝9，z＝7后，求x，要代入前面最简单的方程④.
c．检验．
这道题也可以用加减法解，②中不含z，那么可以考虑将①与③结合消去z，与②组成二元一次方程组．
学生活动：在练习本上用加减法解方程组．
问题2：解方程组
学生活动：独立分析、思考，尝试解题，有的学生可能用代入法解，有的学生可能用加减法解，选一个用加减法解的学生板演，然后，让用代入法的学生比较哪种方法简单．
解：②×3＋③，得11x＋10z＝35.④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
把x＝5，z＝－2代入②，得2×5＋3y－2＝9，
y＝.所以
这个方程组的特点是方程①不含y，而②，③中y的系数的绝对值成整数倍关系，显然用加减法从②，③中消去y后，再与①组成只含x，z的二元一次方程组的解法最为合理．而用代入法由①得到的式子含有分母，代入②，③较繁琐．
归纳：通过消元，将一个较复杂的三元一次方程组化为简单易解的阶梯型方程组，从而通过回代得出其解，整个求解过程就称为用消元法解三元一次方程组．
三、应用迁移，运用新知
1．三元一次方程组的有关概念
例1 下列方程组中，是三元一次方程组的是( )
A. B.
C. D.
解析：A选项中，方程x2－y＝1与xz＝2中含未知数的项的次数为2，不符合三元一次方程组的定义，故A选项不是；B选项中，，不是整式，故B选项不是；C选项中方程组含有四个未知数，故C选项不是；D选项符合三元一次方程组的定义．
方法总结：满足三元一次方程组的条件：(1)方程组中一共含有三个未知数；(2)每个方程中含未知数的次数都是1；(3)方程组中共有三个整式方程．
2．三元一次方程组的解法
例2 解下列三元一次方程组：
(1)(2)
解析：(1)观察各个方程的特点，可以考虑用代入法求解，将①分别代入②和③中，消去z可得到关于x、y的二元一次方程组；(2)观察各个方程的特点，可以考虑用加减法求解，用①减去②可消去z，用①加上③也可消去z，进而得到关于x、y的二元一次方程组．
解：(1)将①代入②、③，消去z，得
解得
把x＝2，y＝3代入①，得z＝5.
所以原方程组的解为
(2)①－②，得x＋2y＝11.④
①＋③，得5x＋2y＝9.⑤
④与⑤组成方程组解得
把x＝－，y＝代入②，得z＝－.
所以原方程组的解是
方法总结：解三元一次方程组的难点在于根据方程组中未知数的系数特点选择较简便的方法．(1)一般地，若某一未知数的系数比较简单，可选用代入法；(2)若方程组三个方程中某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数时，可选用加减消元法．
3．三元一次方程组的应用
例3 一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．
解析：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x，y，z，则原三位数可表示为100x＋10y＋z.
解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z.由题意，
得
解得
答：原三位数是368.
方法总结：解数字问题的关键是正确地用代数式表示数．如果一个两位数的十位上的数字为a，个位上的数字为b，那么这个两位数可表示为10a＋b；如果一个三位数的百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，那么这个三位数可表示为100a＋10b＋c，依此类推．
四、课堂小结
通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？
本节课学习了(1)解三元一次方程组的基本思想是什么？方法有哪些？
三元二元一元
方法：代入法、加减法
(2)解题前要认真观察各方程的系数特点，选择最好的解法，当方程组中某个方程只含二元时，一般地，这个方程中缺哪个元，就利用另两个方程用加减法消哪个元；如果这个二元方程系数较简单，也可以用代入法求解．
(3)注意检验．
3.6 综合与实践 一次方程组与CT技术
教学目标
【知识与技能】
能用一次方程组解决简单的实际问题,掌握列方程组解决实际问题的一般步骤.
【过程与方法】
经历列一次方程组解决简单的实际问题的过程,体验到方程组解应用题所需的分析问题、解决问题的方法.
【情感、态度与价值观】
通过对实际问题的分析,感受方程作为刻画现实世界模型的意义.
教学重难点
【重点】用一次方程组解决日常生活中的实际问题.
【难点】分析出问题中的数量关系,建立方程组.
教学过程
一、创设情境,引入新课
CT是X射线计算机断层成像(X-ray computed tomography)的简称,亦指一种病情探测仪器.由于CT分辨力高,可使人体内组织或结构清楚地显影,能清楚地显示出器官是否有病变,因而对脑瘤、肺癌等疾病,CT检查作出的诊断都是比较可靠的.
CT的工作程序是这样的:X射线射入人体,被人体吸收而衰减,应用灵敏度极高的探测器采集衰减后的X射线信号,获取数据(由于人体不同器官和病变部位对X射线的吸收程度不同,所以所得数据也不同),将这些数据输入电子计算机,进行处理后,就可摄下人体被检查部位的各断层的图像,从而发现体内任何部位的细小病变.
所谓断层是指受检体的截面薄层,为了显示整个器官,需要多个连续的断层图像,图像的个数按断层的厚度(3~15mm)而定.
各断层的CT图像是如何得来的?我们在受检体内欲成图像的断层表面上,按一定大小(长或宽为1~2mm)把断层划分成许多很小的部分(它的高就是断层的厚度),这些小块就称为体素,一般用吸收值来表示X射线束穿过一个体素后被吸收的程度,要得到该断层的图像,要发现受检体有无病变,就需要把它上面的各体素的吸收值都求出来.
师:那么如何求一个断层上各体素的吸收值呢?这节课我们就来学习用最简单的由A、B、C三个体素组成的断层为例来进行说明.
二、讲授新课
设体素A、B、C的吸收值分别为x、y、z,则X射线束1穿过体素A和B后,由探测器测得的总吸收值为p1,则x+y=p1①
同样,X射线束2穿过体素A和C后,测得总吸收值为p2,X射线束3穿过体素B和C后,测得总吸收值为p3,则
x+z=p2,②
y+z=p3,③
将方程①②③联立起来,得到一个含有未知数x、y、z的三元一次方程组,解此方程组,可以求得体素A、B、C的各自吸收值.
由于一般的断层至少也得划分成160×160=25 600个体素,X射线束从不同位置、不同方向穿过该断层,因而需要解由此而建立的25 600个元的一次方程组,才能求出各体素的吸收值.
三、课堂小结
通过这节课的学习,你有什么收获?还有什么疑问吗?
