第2课时 补集及综合应用
知识点 补集
1．全集
如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.
全集并不是一个含有任何元素的集合，仅包含所研究问题涉及的所有元素．
2．补集
?UA的三层含义：
(1)?UA表示一个集合；
(2)A是U的子集，即A?U；
(3)?UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)全集一定包含任何元素．( )
(2)同一个集合在不同的全集中补集不同．( )
(3)不同的集合在同一个全集中的补集也不同．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(?UB)＝( )
A．{x|0≤x<1} B．{x|0
C．{x|x<0} D．{x|x>1}
解析：画出数轴，如图所示．
?UB＝{x|x≤1}，
则A∩(?UB)＝{x|0答案：B
3．已知全集U＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，?UA＝{3}，则实数a等于( )
A．0或2 B．0
C．1或2 D．2
解析：由题意，知则a＝2.
答案：D
4．设全集U＝R，M＝{x|x<－2，或x>2}，N＝{x|1A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}
C．{x|1解析：阴影部分所表示集合是N∩(?UM)，
又∵?UM＝{x|－2≤x≤2}，
∴N∩(?UM)＝{x|1答案：C
类型一 补集的运算
例1 (1)已知U＝R，集合A＝{x|x<－2或x>2}，则?UA＝( )
A．{x|－22}
C．{x|－2≤x≤2} D．{x|x≤－2或x≥2}
(2)已知全集U，M，N是U的非空子集，且?UM?N，则必有( )
A．M??UN B．M??UN
C．?UM＝?UN D．M?N
(3)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，?UB＝{1,4,6}，求集合B.
【解析】 (1)
观察数轴可知，?UA＝{x|－2≤x≤2}．
(2)依据题意画出Venn图，
观察可知，M??UN.
(3)因为A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．
又?UB＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}．
【答案】 (1)C (2)A (3)见解析
(1)画出数轴表示集合A，根据补集的定义写出?UA.
(2)画出Venn图，逐个选项分析判断．
(3)先结合条件，由补集的性质求出全集U，再由补集的定义求出集合B，也可借助Venn图求解．
方法归纳
求补集的原则和方法
(1)一个基本原则．
求给定集合A的补集，从全集U中去掉属于集合A的元素后，由所有剩下的元素组成的集合即为A的补集．
(2)两种求解方法：
①若所给的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍．
②若所给的集合是用列举法表示，则用Venn图求解．,
跟踪训练1 (1)设全集U＝R，集合A＝{x|2(2)已知U＝{x|－5≤x<－2或2解析：(1)用数轴表示集合A为图中阴影部分，
故?UA＝{x|x≤2或x>5}．
(2)在集合U中，因为x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，所以U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．又因为A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，B＝{－3,3,4}，所以?UA＝{－5，－4,3,4}，?UB＝{－5，－4,5}．
答案：(1){x|x≤2或x>5}
(2){－5，－4,3,4} {－5，－4,5}
(1)借助数轴求补集更直观．
(2)先表示出全集U、集合A，再求补集．
类型二 集合交、并、补的综合运算
例2 (1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6)，集合B＝{1,3,4,6,7)，则集合A∩(?UB)＝( )
A．{2,5} B．{3,6} C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}
(2)已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1【解析】 (1)因为U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，B＝{1,3,4,6,7}，所以?UB＝{2,5,8}．又A＝{2,3,5,6}，
所以A∩(?UB)＝{2,5}．
(2)将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示．
因为A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－13}．
又P＝，所以(?UB)∪P＝.
又?UP＝，所以(A∩B)∩(?UP)＝{x|－1【答案】 (1)A (2)见解析
(1)先求?UB，再求A∩?UB.
(2)根据集合的交集、补集、并集运算，画数轴，即可求解．
方法归纳
求集合交、并、补运算的方法
跟踪训练2 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2解析：把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：
由图可知，?UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
A∩B＝{x|－2?U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
(?UA)∩B＝{x|－3借助数轴求出?UA，?UB再运算．
类型三 补集思想的应用
例3 已知集合A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠?，求实数m的取值范围．
【解析】 先求A∩B＝?时m的取值范围．
(1)当A＝?时，①
方程x2－4x＋2m＋6＝0无实根，所以Δ＝(－4)2－4(2m＋6)＜0，解得m＞－1.
(2)当A≠?，A∩B＝?时，方程x2－4x＋2m＋6＝0的根为非负实根．②
设方程x2－4x＋2m＋6＝0的两根为x1，x2，则③
即解得－3≤m≤－1，
综上，当A∩B＝?时，
m的取值范围是{m|m≥－3}．
又因为U＝R，④
所以当A∩B≠?时，
m的取值范围是?R{m|m≥－3}＝{m|m<－3}．
所以，A∩B≠?时，
m的取值范围是{m|m<－3}．
①A∩B＝?，对于集合A而言，分A＝?与A≠?两种情况. A＝?表示方程无实根．
②B＝{x|x<0}，而A∩B＝?，故A?{x|x≥0}，即已知方程的根为非负实根．
③Δ≥0保证了A≠?，即原方程有实根；x1＋x2≥0与x1x2≥0保证了原方程两根非负. 如果两根都大于1，则等价形式为
而不是
④由于A∩B≠?，故方程x2－4x＋2m＋6＝0一定有解，故我们还可以设全集U＝{m|Δ≥0}＝{m|m≤－1}．此时，{m|－3≤m≤－1}关于U的补集也是{m|m<－3}，结果相同．
方法归纳
(1)运用补集思想求参数范围的方法：
①否定已知条件，考虑反面问题；
②求解反面问题对应的参数范围；
③将反面问题对应参数的范围取补集．
(2)补集思想适用的情况：
从正面考虑，情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想．
跟踪训练3 设全集U＝{3,6，m2－m－1}，A＝{|3－2m|,6}，?UA＝{5}，求实数m.
解析：因为?UA＝{5}，所以5∈U但5?A，
所以m2－m－1＝5，
解得m＝3或m＝－2.
当m＝3时，|3－2m|＝3≠5，
此时U＝{3,5,6}，A＝{3,6}，满足?UA＝{5}；
当m＝－2时，|3－2m|＝7≠5，
此时U＝{3,5,6}，A＝{6,7}，不符合题意舍去．
综上，可知m＝3.,
根据补集的定义，得到关于m的方程m2－m－1＝5，解得m的值后还需检验.
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，则?UA等于( )
A．{1,3,5,6} B．{2,3,7}
C．{2,4,7} D．{2,5,7}
解析：由题意知?UA＝{2,4,7}，选C.
答案：C
2．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合?U(A∪B)等于( )
A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0解析：A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，
所以?U(A∪B)＝{x|0答案：D
3．如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A．A∩B B．A∪B
C．B∩(?UA) D．A∩(?UB)
解析：由Venn图可知阴影部分为B∩(?UA)．
答案：C
4．设全集U＝{1,2,3,4,5}，若A∩B＝{2}，(?UA)∩B＝{4}，(?UA)∩(?UB)＝{1,5}，则下列结论中正确的是( )
A．3?A,3?B B．3?A,3∈B
C．3∈A,3?B D．3∈A,3∈B
解析：由Venn图可知，3∈A,3?B，故选C.
答案：C
5．设集合M＝{x|－1≤x<2}，N＝{x|x－k≤0}，若(?R M)?(?R N)，则k的取值范围是( )
A．k≤2 B．k≥－1
C．k>－1 D．k≥2
解析：由(?RM)?(?RN)可知M?N，则k的取值范围为k≥2.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．设全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则(?UA)∪(?UB)＝________.
解析：依题意得知，?UA＝{c，d}，?UB＝{a}，(?UA)∪(?UB)＝{a，c，d}．
答案：{a，c，d}
7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1,2}，则实数m＝________.
解析：∵U＝{0,1,2,3}，?UA＝{1,2}．
∴A＝{x∈U|x2＋mx＝0}＝{0,3}．
∴0,3是方程x2＋mx＝0的两根，
∴0＋3＝－m，即m＝－3.
答案：－3
8．已知U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，?UA＝{x|x<3或x>4}，则ab＝________.
解析：因为A∪(?UA)＝R，
所以a＝3，b＝4，
所以ab＝12.
答案：12
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知全集U＝R，集合A＝{x|－1求：(1)A∩B；
(2)?U(A∪B)；
(3)A∩(?UB)．
解析：(1)因为A＝{x|－1所以A∩B＝{x|－1(2)A∪B＝{x|－1＝{x|－1?U(A∪B)＝{x|x≤－1或x>3}．
(3)A∩(?UB)＝{x|－13或x≤0}＝{x|－110．已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2(1)求(?R A)∩B；
(2)若A?C，求a的取值范围．
解析：(1)因为A＝{x|3≤x<7}，
所以?R A＝{x|x<3或x≥7}，
所以(?R A)∩B＝{x|2(2)因为C＝{x|x所以a≥7，
所以a的取值范围是{a|a≥7}．
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(?UB)等于( )
A．{3} B．{4}
C．{3,4} D．?
解析：由A∪B＝{1,2,3}，B＝{1,2}，U＝{1,2,3,4}知A∩(?UB)＝{3}．
答案：A
12．设全集U＝{1,2，x2－2}，A＝{1，x}，则?UA＝________.
解析：若x＝2，则x2－2＝2，U＝{1,2,2}，与集合中元素的互异性矛盾，故x≠2，从而x＝x2－2，解得x＝－1或x＝2(舍去)．
故U＝{1,2，－1}，A＝{1，－1}，则?UA＝{2}．
答案：{2}
13．已知A＝{x|0<2x＋a≤3}，B＝.
(1)当a＝1时，求(?R B)∪A；
(2)若A?B，求实数a的取值范围．
解析：(1)当a＝1时，A＝，
又B＝，
∴?R B＝，
∴(?R B)∪A＝.
(2)∵A＝，
若A?B，
当A＝?时，－≥，
∴0≥3不成立，
∴A≠?，
∴∴－1所以a的取值范围是{a|－114．设全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．
(1)求(?I M)∩N；
(2)记集合A＝(?I M)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
解析：(1)因为M＝{x|(x＋3)2≤0}＝{－3}，
N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，
所以?I M＝{x|x∈R且x≠－3}，
所以(?I M)∩N＝{2}．
(2)A＝(?I M)∩N＝{2}，
因为A∪B＝A，所以B?A，
所以B＝?或B＝{2}，
当B＝?时，a－1>5－a，得a>3；
当B＝{2}时，解得a＝3，
综上所述，所求a的取值范围为{a|a≥3}．
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