4.1.1 圆的标准方程
知识导图
学法指导
1.理解圆的定义，体会推导圆的标准方程的过程．
2．利用待定系数法、几何性质法求圆的标准方程．
3．结合圆的标准方程，体会判断点与圆的位置关系的两种方法．
高考导航
圆的标准方程的求解、圆心坐标及半径长的确定、点与圆的位置关系问题是常考题型，有时也会考查与圆有关的最值问题和对称问题，多以选择题或填空题的形式出现，分值5分.
知识点一 圆的标准方程
1．圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆．定点→圆的圆心；定长→圆的半径．
2．圆的标准方程
1．由圆的标准方程可直接得到圆的圆心和半径；反过来，已知圆的圆心和半径即可直接写出圆的标准方程．这一点体现了圆的标准方程的直观性．
2．由圆的标准方程来看，要确定圆的标准方程需要三个独立的条件：圆心的横坐标、纵坐标以及圆的半径．
若某点正好是圆的圆心，则该点是圆上的点吗？
知识点二 点与圆的位置关系
设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：
位置关系
点在圆外
点在圆上
点在圆内
d与r的大小关系
d>r
d＝r
d
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．( )
(2)若圆的标准方程为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2(a≠0)，此圆的半径一定是a.( )
答案：(1)× (2)×
2．若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为( )
A．(－1,5)， B．(1，－5)，
C．(－1,5)，3 D．(1，－5)，3
解析：由圆的标准方程可知，圆心为(1，－5)，半径长为.
答案：B
3．已知圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5，则原点与圆的位置关系是( )
A．原点在圆内 B．原点在圆上
C．原点在圆外 D．以上都不对
解析：∵(0－1)2＋(0＋2)2＝5，∴(0,0)点在圆上．
答案：B
4．到原点的距离等于的点的坐标所满足的方程是________________．
解析：设点的坐标为(x，y)，根据到原点的距离等于以及两点间的距离公式，得＝，两边平方，得x2＋y2＝3，是半径为的圆．
答案：x2＋y2＝3
类型一 求圆的标准方程
例1 (1)圆心是(4，－1)，且过点(5,2)的圆的标准方程为________________；
(2)圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程为________________．
【解析】 (1)方法一(几何性质法) 由题意知圆的半径长为＝，
又圆心是(4，－1)，故所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋1)2＝10.
方法二(待定系数法) 设圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋1)2＝r2，把点(5,2)代入可得r2＝10，故所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋1)2＝10.
(2)方法一(几何性质法) 设点C为圆心，∵点C在直线x－2y－3＝0上，∴可设点C的坐标为(2a＋3，a)．
∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|，
∴＝，解得a＝－2，
∴圆心为C(－1，－2)，半径长r＝.故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
方法二(待定系数法) 设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题设条件知解得
故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
方法三(几何性质法) 线段AB的中点的坐标为(0，－4)，
直线AB的斜率kAB＝＝，∴弦AB的垂直平分线的斜率为k＝－2，
∴弦AB的垂直平分线的方程为y＋4＝－2x，即2x＋y＋4＝0.
又圆心是直线2x＋y＋4＝0与直线x－2y－3＝0的交点，由得
∴圆心坐标为(－1，－2)，∴圆的半径长r＝＝，
故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
答案：(1)(x－4)2＋(y＋1)2＝10 (2)(x＋1)2＋(y＋2)2＝10
求圆的标准方程可以利用条件求出圆心坐标和半径，也可以用待定系数法得圆的标准方程，求出a、b、r.
方法归纳
求圆的标准方程的主要方法
(1)几何法：利用圆的几何性质，直接求出圆心和半径，代入圆的标准方程．
(2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数，其步骤为设方程、列式、求解．
跟踪训练1 过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
解析：有三种方法．
方法一 设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由已知条件知
解此方程组，得故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
方法二 设点C为圆心，∵点C在直线x＋y－2＝0上，∴可设点C的坐标为(a,2－a)．
又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|.∴＝，解得a＝1.
∴圆心坐标为C(1,1)，半径长r＝|CA|＝2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
方法三 由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB＝＝－1，所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x.则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点，由得
即圆心为(1,1)，圆的半径为＝2，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
答案：C
用待定系数法求解，先设出圆的标准方程，代入三点的坐标得到关于a，b，r的方程组，解方程组即可；或用几何性质法求解，依据三角形两边的垂直平分线的交点为其外接圆的圆心即可求得圆的标准方程．
类型二 判断点与圆的位置关系
例2 已知两点P1(3,8)和P2(5,4)，求以线段P1P2为直径的圆的标准方程，并判断点M(5,3)，N(3,4)，P(3,5)是在圆上、在圆内、还是在圆外？
【解析】 设圆心为C(a，b)，半径长为r，则由C为线段P1P2的中点得a＝＝4，b＝＝6，即圆心为C(4,6)，
由两点间的距离公式得r＝|CP1|＝＝，故所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5.
方法一 分别计算点M，N，P到圆心C的距离：
|CM|＝＝>，
|CN|＝＝，
|CP|＝＝<，
所以点M在圆外，点N在圆上，点P在圆内．
方法二 由于(5－4)2＋(3－6)2＝10>5，故点M在圆外；
由于(3－4)2＋(4－6)2＝5，故点N在圆上；
由于(3－4)2＋(5－6)2＝2<5，故点P在圆内．
直径两端点坐标→圆心坐标和半径长可得→圆的标准方程→将各点坐标代入方程判断
方法归纳
判断点与圆位置关系的两种方法
(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小．
(2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断．
点P(x0，y0)在圆C上?(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
点P(x0，y0)在圆C内?(x0－a)2＋(y0－b)2点P(x0，y0)在圆C外?(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.
跟踪训练2 若点(3，)在圆x2＋y2＝16的内部，则a的取值范围是( )
A．[0,7) B．(－∞，7)
C．{7} D．(7，＋∞)
解析：由已知得a≥0，且(3－0)2＋(－0)2<16，所以0≤a<7，故选A.
答案：A
从几何意义上考虑，圆内部的点到圆心的距离小于半径，反过来，到圆心距离小于半径的点在圆内．
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．圆(x－3)2＋(y＋2)2＝13的周长是( )
A.π B．2π
C．2π D．2π
解析：由圆的标准方程可知，其半径为，周长为2π，故选B.
答案：B
2．圆心是C(2，－3)，且经过原点的圆的标准方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
C．(x＋2)2＋(y－3)2＝
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝
解析：由已知得半径r＝＝，又圆心坐标为(2，－3)，故圆的标准方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
答案：B
3．圆C：(x－)2＋(y＋)2＝4的面积等于( )
A．π B．2π
C．4π D．8π
解析：由圆C的方程为(x－)2＋(y＋)2＝4，知半径r＝＝2，则圆的面积S＝πr2＝4π.故选C.
答案：C
4．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )
A．在圆外 B．在圆内
C．在圆上 D．不确定
解析：把P(m,5)代入x2＋y2＝24，得m2＋25>24.所以点P在圆外，故选A.
答案：A
5．圆心为(2，－3)，一条直径的两端点分别在x轴、y轴上，则此圆的方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
解析：利用平面几何知识得r＝＝，所以圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13，故选A.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同圆心且过点P(－1,1)的圆的方程为________．
解析：因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又r＝＝5，
所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝25
7．已知点P(a，a＋1)在圆x2＋y2＝25的内部，那么实数a的取值范围是________．
解析：由a2＋(a＋1)2<25，可得2a2＋2a－24<0，
解得－4答案：(－4,3)
8．已知圆C经过A(5,2)，B(－1,4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为________．
解析：因为圆心在x轴上，设圆心为(a,0)，
所以圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2.
又因为A(5,2)，B(－1,4)在圆上．
所以解得a＝1，r2＝20.
所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝20.
答案：(x－1)2＋y2＝20
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点(5,2)和点(3，－2)的圆的标准方程．
解析：解法一 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
则圆心坐标是(a，b)，
则解得
所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
解法二 设A(5,2)，B(3，－2)．
因为圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，
所以圆心一定在线段AB的垂直平分线l上，
∵kAB＝＝2，∴kl＝－，又线段AB的中点为(4,0)，
所以线段AB的垂直平分线方程为y＝－(x－4)，
设所求圆的圆心为(a，b)，则有解得
所以半径r＝＝，
故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
解法三 因为圆心在直线2x－y－3＝0上，
所以设圆心坐标为(a,2a－3)，
因为圆过点(5,2)，(3，－2)，
所以＝，
解得a＝2.所以圆心为(2,1)，半径r＝＝，
故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
10．已知两点A(4,9)，B(6,3)，
(1)求以AB为直径的圆的方程；
(2)试判断点M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)是在(1)中所求圆的圆上，圆内，还是圆外．
解析：(1)设圆心为C(a，b)，半径为r(r>0)，
则由C为线段AB的中点得a＝＝5，b＝＝6.
又由两点间的距离公式得r＝|AC|＝＝.
所以所求圆的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10.
(2)分别计算点到圆心C的距离：
|MC|＝＝；
|NC|＝＝>；
|QC|＝＝3<.
因此，点M在圆上，点Q在圆内，点N在圆外．
[能力提升](20分钟，40分)
11．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋y2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5
解析：圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2,0)，(－2,0)关于原点的对称点为(2,0)，所以所求圆的圆心为(2,0)，易知所求圆的半径r＝，所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.
答案：A
12．设点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，则的最大值为________________．
解析：
因为点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，因此表示点(1,1)与该圆上任一点的距离．
易知点(1,1)在圆x2＋(y＋4)2＝4的外部，结合图可得的最大值为＋2＝＋2.
答案：＋2
13．已知某圆圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．
解析：如图，由题设知|AC|＝r＝5，
|AB|＝8，∴|OA|＝4.
在Rt△AOC中，|OC|＝
＝＝3.
设点C的坐标为(a,0)，则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3.
∴所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.
14．已知圆过点A(1，－2)，B(－1,4)．
(1)求周长最小的圆的方程；
(2)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．
解析：(1)当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，
即以线段AB的中点(0,1)为圆心，r＝|AB|＝为半径．
则所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
(2)解法一 直线AB的斜率k＝＝－3，
则线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，
即x－3y＋3＝0.
由，解得，
即圆心的坐标是C(3,2)．
∴r2＝|AC|2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20.
∴所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
解法二 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝R2.
则?.
∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20.
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