4.2.1 直线与圆的位置关系
知识导图
学法指导
1.比较判断直线与圆的位置关系的两种方法——代数法与几何法．
2．体会利用代数方法解决几何问题的思想，利用数形结合的思想方法解决一些综合问题．
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判断直线与圆的位置关系、直线与圆相切的问题及弦长问题是高考考查的热点题型，一般以选择题、填空题的形式出现，分值5分.
知识点 直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
的位置关系及判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝
dd＝r
d>r
代数法：由
消元得到一元二次方程，判别式为Δ
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
图形
判断直线与圆的位置关系，一般常用几何法，因为代数法计算繁琐，书写量大，易出错，几何法则较简洁，但是在判断直线与其他二次曲线的位置关系时，常用代数法．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( )
(2)直线x＋2y－1＝0与圆2x2＋2y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是相交．( )
答案：(1)√ (2)√
2．直线x－3y＋1＝0与圆x2＋y2＝的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心
解析：圆心(0,0)到直线x－3y＋1＝0的距离d＝<，故直线与圆相交，但不过圆心．
答案：D
3．已知圆的方程为x2＋y2＝1，则经过圆上一点M(1,0)的切线方程是( )
A．x＝1 B．y＝1
C．x＋y＝1 D．x－y＝1
解析：方法一 由圆的方程为x2＋y2＝1，可知圆心A的坐标为(0,0)，圆的半径r＝1，
∴经过圆上一点M(1,0)的切线方程是x＝1，
方法二 直接应用切线方程的第(1)个结论得，所求切线方程为1·x＋0·y＝12，即x＝1.
答案：A
4．直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：d＝＝，
所以|AB|＝2＝2＝2.
答案：2
类型一 直线与圆的位置关系的判断
例1 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
【解析】 有两种方法．
方法一 将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理，
得(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0，Δ＝4m(3m＋4)．
(1)当Δ>0时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
(2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
(3)当Δ<0时，即－方法二 已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2,1)，半径r＝2.
圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝.
(1)当d<2时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
(2)当d＝2时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
(3)当d>2时，即－(1)两方程联立，消元后根据根的判别式Δ的取值情况列等式或不等式(相切?Δ＝0，相离?Δ<0，相交?Δ>0)；
(2)根据圆心到直线的距离d与半径r的关系列等式或不等式(相切?d＝r，相离?d>r，相交?d方法归纳
解决此类问题的关键是搞清直线与圆的位置和直线与圆的公共点的个数间的等价关系．在处理直线与圆的位置关系时，常用几何法，即比较圆心到直线的距离和半径的大小，而不用联立方程．
跟踪训练1 已知直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1，判断它们的位置关系．
解析：解法一 圆x2＋y2＝1的圆心是O(0,0)，半径r＝1，
圆心到直线的距离d＝＝1＝r，∴直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1相切．
解法二 由得25x2－30x＋9＝0，
∵Δ＝(－30)2－4×25×9＝900－900＝0，∴直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1相切．
本题可采用几何法和代数法判断直线与圆的位置关系．
类型二 直线与圆相切问题
例2 若直线l过点P(2,3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求直线l的方程．
【解析】 因为(2－1)2＋(3＋2)2>1，所以点P在圆外．
(1)若直线l的斜率存在，
方法一 设l：y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，
因为直线l与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，所以＝1，所以k＝.
所以直线l的方程为y－3＝(x－2)，即12x－5y－9＝0.
方法二 设l：y－3＝k(x－2)，即y＝k(x－2)＋3，
与圆的方程联立消去y得(x－1)2＋[k(x－2)＋3＋2]2＝1，
整理得(k2＋1)x2－(4k2－10k＋2)x＋4k2－20k＋25＝0，
所以Δ＝(4k2－10k＋2)2－4(k2＋1)(4k2－20k＋25)＝0，所以k＝.
此时直线l的方程为y－3＝(x－2)，即12x－5y－9＝0.
(2)若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2也符合要求．
所以直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2.
(1)直线和圆相切，则过圆心和切点的直线与切线垂直．
(2)求过一点的圆的切线方程时，要先检验此点在圆上还是圆外，防止漏解．若此点在圆上，则切线只有一条；若此点在圆外，则切线一定有两条．
方法归纳
求切线方程的常用方法
1．求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法
先求切点与圆心的连线所在直线的斜率k，再由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式方程可得切线方程．若k＝0或k不存在，则切线的斜率不存在或为0，从而可直接得切线方程为x＝x0或y＝y0.
2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法
(1)几何法．设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得k，切线方程即可求出．
(2)代数法．设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出．
注意：过圆外一点的切线必有两条，当几何法或代数法求得的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出．
跟踪训练2 已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，求过点A且与圆O相切的直线方程．
解析：因为12＋22＝5，所以点A(1,2)在圆x2＋y2＝5上，圆心O(0,0)与A(1,2)连线的斜率为kOA＝＝2.
设切线斜率为k，则k＝－＝－，
所以过点A且与圆O相切的切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.
先判定点A在圆上，求出OA的斜率和切线的斜率，然后求切线的方程．
类型三 直线被圆截得的弦长问题
例3 求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．
【解析】 方法一 设直线l与圆C的交点分别为A，B，则由直线l与圆C的方程，得解得所以交点的坐标为A(1,3)，B(2,0)．
故直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|＝＝.
方法二 圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，其圆心坐标为(0,1)，半径长r＝，圆心到直线l的距离d＝＝.
设直线l与圆C的交点为A，B，则＝＝＝，所以弦长|AB|＝.
弦长问题时常用的方法有两种：一是几何法，即利用圆心到弦的垂线段、半径及半弦构成的直角三角形并结合勾股定理来计算；二是代数法，即利用根与系数的关系和弦长公式来计算．
方法归纳
求直线与圆相交时弦长的两种方法
(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有2＋d2＝r2，即|AB|＝2.
图1 图2
(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两个交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|
(直线l的斜率k存在)．
几何法比代数法运算量小，也比较直观、简单，故通常采用几何法解决圆的有关弦长问题．
跟踪训练3 过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，求直线l的方程．
解析：将圆的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝25，
由圆的性质可得，圆心到直线l的距离d＝＝3.
①当直线l的斜率不存在时，x＝－4满足题意；
②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x＋4)，
即kx－y＋4k＝0.
由点到直线的距离公式，得3＝，
解得k＝－，所以直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0.
解答本题时可设直线的点斜式方程，利用弦心距、半径长、半弦长构成的直角三角形来求解.
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．[2019·衡水检测]直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．相交且直线过圆心 D．相离
解析：∵圆心到直线的距离d＝＝<1，直线y＝x＋1不过圆心(0,0)，∴直线与圆相交但直线不过圆心．
答案：B
2．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
解析：设所求直线为2x＋y＋c＝0，
则＝，解得c＝±5，故选A.
答案：A
3．[2019·山东校级检测]直线x－y＋3＝0被圆(x＋2)2＋(y－2)2＝2截得的弦长等于( )
A. B.
C．2 D.
解析：圆心(－2,2)到直线x－y＋3＝0的距离d＝，圆的半径r＝，解直角三角形得，半弦长为，所以弦长等于.
答案：D
4．过点(2,1)的直线中被圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦长最大的直线的方程是( )
A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0
C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋5＝0
解析：过点(2,1)的直线中被圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦长最大的直线经过圆心．由题意得所求直线过点(2,1)和圆心(1，－2)，∴其方程为＝，整理得3x－y－5＝0.
答案：A
5．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－8＝0的最大距离是( )
A．18 B．6
C．5 D．4
解析：由题意得，圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝18，则其半径r＝3，圆心(2,2)到直线x＋y－8＝0的距离d＝＝2，故圆上的点到直线的最大距离是3＋2＝5.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________________．
解析：∵以原点O为圆心的圆过点P(1,2)，
∴圆的方程为x2＋y2＝5.
∵kOP＝2，∴切线的斜率k＝－.
由点斜式可得切线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋2y－5＝0.
答案：x＋2y－5＝0
7．设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为_________________．
解析：圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程是C：
x2＋(y－a)2＝a2＋2，
所以圆心C(0，a)，半径r＝.|AB|＝2，点C到直线y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距离d＝，由勾股定理得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2，
所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.
答案：4π
8．过点(5,2)向圆x2＋6x＋y2＋2y＋1＝0引切线，则切线长为________________．
解析：由已知可得，点(5,2)在圆外，则切线长为＝8.
答案：8
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．过点P(1，－1)的直线L与圆M：(x－3)2＋(y－4)2＝4相切，求切线方程和切线长.
解析：若直线L的斜率存在，设L的方程为y－(－1)＝k(x－1)，即kx－y－k－1＝0，
因为直线L与圆相切，所以圆心M到直线L的距离d＝r，即＝2，解得k＝.
若直线L的斜率不存在，则其方程为x＝1，满足要求．
故所求切线方程为21x－20y－41＝0或x＝1.
设其中一个切点为A，则在直角三角形PMA中，有|MP|＝，所以切线长|PA|＝＝5.
10．直线l经过点P(5,5)并且与圆C：x2＋y2＝25相交截得的弦长为4，求l的方程．
解析：据题意知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y－5＝k(x－5)，
与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)．
方法一 联立方程组消去y，得
(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0.
∴Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)>0，
解得k>0.
又x1＋x2＝－，x1x2＝，
由斜率公式，得y1－y2＝k(x1－x2)，
∴|AB|＝
＝
＝
＝
＝4.
两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0，
解得k＝或k＝2符合题意．
故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
方法二
如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半．
在Rt△AHO中，|OA|＝5，
|AH|＝|AB|
＝×4＝2，
∴|OH|＝＝，
∴＝，
解得k＝或k＝2.
∴直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
解析：由点M在圆外，得a2＋b2>1，∴圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝<1＝r，则直线与圆O相交．
答案：B
12．[2019·江西广昌一中月考]已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a>0)及直线l：x－y＋3＝0，当直线l被圆C截得的弦长为2时，则a等于________．
解析：由题可得＝，得a＝－1或a＝－－1(舍去)．
答案：－1
13．已知直线kx－y＋6＝0被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求k的值．
解析：解法一 设直线kx－y＋6＝0被圆x2＋y2＝25所截得的弦为AB，其中点为C，连接OC，则△OCB为直角三角形．因为圆的半径为|OB|＝5，半弦长为＝|BC|＝4，所以圆心到直线kx－y＋6＝0的距离为3，由点到直线的距离公式得＝3，解得k＝±.
解法二 设直线kx－y＋6＝0被圆x2＋y2＝25所截得的弦为AB，其中A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组消去y得，(1＋k2)x2＋12kx＋11＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
因此|AB|＝|x1－x2|＝·＝＝8，解得k＝±.
14．已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．
(1)求的最大值和最小值；
(2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值；
(3)求x＋y的最大值与最小值．
解析：方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4.
(1)表示圆上的点P与原点连线的斜率，显然PO(O为原点)与圆相切时，斜率最大或最小．
设切线方程为y＝kx(由题意知，斜率一定存在)，即kx－y＝0，由圆心C(3,3)到切线的距离等于半径长2，可得＝2，解得k＝，所以的最大值为，最小值为.
(2)x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，它表示圆上的点P到E(－1,0)的距离的平方再加2，所以当点P与点E的距离最大或最小时，式子取得最大值或最小值．显然点E在圆C的外部，所以点P与点E距离的最大值为|CE|＋2，点P与点E距离的最小值为|CE|－2.又|CE|＝＝5，所以x2＋y2＋2x＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11.
(3)设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，显然当动直线y＝－x＋b与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4相切时，b取得最大值或最小值．此时圆心C(3,3)到切线x＋y＝b的距离等于圆的半径长2，则＝2，即|b－6|＝2，解得b＝6±2，所以x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2.
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