4.1.2 圆的一般方程
知识导图
学法指导
1.准确把握圆的一般方程的结构形式，理解各个字母的意义；把握圆的一般方程与标准方程的互化；体会待定系数法求圆的一般方程的步骤．
2．明确求动点的轨迹及轨迹方程的步骤，弄清楚轨迹与轨迹方程的区别．
高考导航
1.圆心坐标及半径长的确定或与直线方程的综合是考查的热点，多以选择题、填空题的形式出现，分值5分．
2．考查动点的轨迹(方程)，各种题型均有可能出现，分值4～6分.
知识点一 圆的一般方程
1．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F>0时，该方程叫作圆的一般方程．
2．圆的一般方程下的圆心和半径：
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)表示的圆的圆心为，半径长为.
知识点二 求动点的轨迹方程的方法
求动点的轨迹方程，就是根据题意建立动点的坐标(x，y)所满足的关系式，并把这个方程化成最简形式，如果题目中没有坐标系，那么就要先建立适当的直角坐标系．
求轨迹方程的一般步骤为：
圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点：
(1)x2，y2项的系数均为1；
(2)没有xy项；
(3)D2＋E2－4F>0.
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)方程x2＋y2＋x＋1＝0表示圆．( )
(2)方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆．( )
答案：(1)× (2)√
2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )
A．(2,3) B．(－2,3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
解析：D＝－4，E＝6，则圆心坐标为(2，－3)．
答案：D
3．已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
A. B.
C. D.
解析：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则解得
∴△ABC外接圆的圆心为，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为 ＝.
答案：B
4．若方程x2＋y2＋ax＋ay＋a＝0表示圆，则a的取值范围是________________．
解析：由题意得2a2－4a>0，∴a2－2a>0，∴a<0或a>2.
答案：(－∞，0)∪(2，＋∞)
类型一 圆的一般方程的概念辨析
例1 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．
(1)2x2＋y2－7x＋5＝0；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)2x2＋2y2－4x＝0.
【解析】 二元二次方程只有能转化为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0且D2＋E2－4F>0才表示圆．
(1)因为x2与y2项的系数不相等，所以不能表示圆．
(2)因为方程中含有xy项，所以不能表示圆．
(3)因为(－2)2＋(－4)2－4×10<0，所以不能表示圆．
(4)2x2＋2y2－4x＝0可化为(x－1)2＋y2＝1，
故方程表示以点(1,0)为圆心，1为半径的圆.
判断二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0能否表示圆可按如下步骤进行：①判断A，C是否相等且不等于0，B是否等于0；②若满足A＝C≠0，B＝0，则判断D2＋E2－4F是否大于0，或将方程左端配方，然后与圆的标准方程进行对比，作出判断．
方法归纳
形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：
①由圆的一般方程的定义令D2＋E2－4F>0，成立则表示圆，否则不表示圆；②将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．
跟踪训练1 下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．
(1)x2＋y2＋x＋1＝0；
(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；
(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．
解析：(1)∵D＝1，E＝0，F＝1，∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3<0，∴方程(1)不表示任何图形．
(2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2，∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，∴方程表示点(－a,0)．
(3)两边同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0，D＝a，E＝－a，F＝0，∴D2＋E2－4F＝2a2>0，
∴该方程表示圆，它的圆心为，半径r＝＝|a|.
判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是不是大于零的常数．
类型二 待定系数法求圆的方程
例2 已知△ABC的三个顶点分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，求其外接圆P的方程．
【解析】 方法一 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
由题意可得解得
故所求外接圆P的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.
方法二 由题意可得弦AC的中垂线方程为x＝2，BC的中垂线方程为x＋y－3＝0，
由解得
所以圆心P的坐标为(2,1)．外接圆的半径长r＝|AP|＝＝5，
故所求外接圆P的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25.
方法一是待定系数法，应用起来很方便，计算略微复杂，方法二是根据圆的几何性质解题，需要细心分析，技巧性较强．求圆的方程时常用的几何性质有：
①圆的弦的垂直平分线过圆心；②圆的半径r，半弦长h，弦心距d满足r2＝h2＋d2.
方法归纳
待定系数法求圆的一般方程的步骤
用待定系数法求圆的一般方程的步骤如下：
跟踪训练2 求过三点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．
解析：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵所求圆过点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)，
∴解得
∴所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，∴－＝4，－＝－3，圆心为(4，－3)，
半径r＝＝5.
设出外接圆的一般方程，分别把A，B，C三点的坐标代入，解出D，E，F即可得所求方程；或根据几何性质求出圆心坐标和半径长，即可得圆的方程．
类型三 轨迹问题
例3 已知A(2,0)为圆x2＋y2＝4上一定点，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
【解析】 (1)设AP的中点为M(x，y)，
由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，整理得(x－1)2＋y2＝1，
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，
设O为坐标原点，连接ON，OP，BN，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.整理得x2＋y2－x－y－1＝0，
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
求点的轨迹方程就先设出该点的坐标，然后运用已知条件代入已知点满足的关系式进行求解．
方法归纳
1．一般地，求轨迹方程就是求等式，就是找等量关系，把等量关系用数学语言表达出来，再进行变形、化简，就会得到相应的轨迹方程，所以找等量关系是解决问题的关键．
2．求曲线的轨迹方程要注意的三点
(1)根据题目条件，选用适当的求轨迹方程的方法．
(2)看准是求轨迹，还是求轨迹方程，轨迹是轨迹方程所表示的曲线(图形)．
(3)检查轨迹上是否有应去掉的点或漏掉的点．
跟踪训练3 已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求经过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹．
解析：设动点P的坐标为(x，y)．
当AP垂直于x轴或点A与点P重合时，点P的坐标分别为(1,0)，(1,2)，符合题意，
此时x＝1；
当点P在原点，或AP垂直于y轴时，即当点P的坐标为(0,0)或(0,2)时，也符合题意，
此时x＝0；
当x≠0，且x≠1时，根据题意可知AP⊥OP，即kAP·kOP＝－1，
∵kAP＝，kOP＝，∴·＝－1，即x2＋y2－x－2y＝0(x≠0，且x≠1)．
经检验，点(1,0)，(1,2)，(0,0)，(0,2)也适合上式．
综上所述，点P的轨迹是以为圆心，为半径长的圆.
画出图形，结合圆的弦的中点的性质，由AP⊥OP建立关系求解．解题时，注意对点P的特殊位置的讨论．
4.1.2
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，5) B.
C. D.
解析：由(－2)2＋12－4k>0，得k<.
答案：B
2．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是( )
A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
解析：x2＋2x＋y2＝0可化为(x＋1)2＋y2＝1，
∴圆心为C(－1,0)．
又所求直线与直线x＋y＝0垂直，
∴所求直线的斜率为1，
故所求直线的方程为y＝x＋1，
即x－y＋1＝0.
答案：A
3．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是( )
A．两个点 B．四个点
C．两条直线 D．四条直线
解析：方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0，
则即
解得或或或
所以方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是(2,2)，(－2,2)，(2，－2)，(－2，－2)四个点．
答案：B
4．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为( )
A．8 B．－4
C．6 D．无法确定
解析：圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则直线x－y＋3＝0过圆心，即－＋3＝0，∴m＝6.
答案：C
5．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为( )
A．－2或2 B.或
C．2或0 D．－2或0
解析：配方得(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(1,2)，圆心到直线的距离d＝＝，所以a＝2或0，故选C.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________________．
解析：本题主要考查圆的方程．易知以(0,0)，(1,1)，(2,0)为顶点的三角形为等腰直角三角形，其外接圆的圆心为(1,0)，半径为1，所以所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1.
答案：(x－1)2＋y2＝1
7．若l是经过点P(－1,0)和圆x2＋y2＋4x－2y＋3＝0的圆心的直线，则l在y轴上的截距是________．
解析：圆心C(－2,1)，则直线l的斜率k＝＝－1，所以直线l的方程是y－0＝－(x＋1)，即y＝－x－1，所以l在y轴上的截距是－1.
答案：－1
8．过圆x2＋y2－6x＋4y－3＝0的圆心，且平行于直线x＋2y＋11＝0的直线的方程是________________________．
解析：由题意知圆心为(3，－2)，设所求直线的方程为x＋2y＋m＝0(m≠11)，将圆心(3，－2)代入，得3－4＋m＝0，∴m＝1，故所求直线的方程为x＋2y＋1＝0.
答案：x＋2y＋1＝0
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求经过点A(6,5)，B(0,1)，且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程．
解析：设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则其圆心坐标为，依题意有
即解得
因此圆的方程是x2＋y2－14x＋6y－7＝0.
10．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：
(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
解析：(1)据题意知
D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
即4m2＋4－4m2－20m>0，解得m<，
故m的取值范围为.
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝.
[能力提升](20分钟，40分)
11．[2019·北京市综合能力测试]已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，则圆C的圆心的轨迹是( )
A．点 B．直线
C．线段 D．圆
解析：∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，
∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，即(a－1)2＋b2＝1，
∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径长的圆．
答案：D
12．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，该圆的方程为____________．
解析：将圆的方程配方，得2＋(y＋1)2＝－k2＋1，∵r2＝1－k2≤1，∴rmax＝1，此时k＝0.
故圆的方程为x2＋(y＋1)2＝1.
答案：x2＋(y＋1)2＝1
13．求经过点A(1，)和B(2，－2)，且圆心在x轴上的圆的方程．
解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
因为圆心在x轴上，所以－＝0，即E＝0.
又圆过点A(1，)和B(2，－2)，
所以
即解得
故所求圆的方程为x2＋y2－6x＝0.
14．已知线段AB的端点B的坐标为(8,6)，端点A在圆C：x2＋y2＋4x＝0上运动，求线段AB的中点P的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．
解析：设点P的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x0，y0)，由于点B的坐标为(8,6)，且P为线段AB的中点，∴x＝，
y＝，
于是有x0＝2x－8，y0＝2y－6.
∵点A在圆C上运动，∴点A的坐标满足方程x2＋y2＋4x＝0，
即x＋y＋4x0＝0，
∴(2x－8)2＋(2y－6)2＋4(2x－8)＝0，化简整理，得x2＋y2－6x－6y＋17＝0，即(x－3)2＋(y－3)2＝1，
∴点P的轨迹是以(3,3)为圆心，1为半径长的圆．
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