4.2.2 圆与圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用
知识导图
学法指导
1.重点掌握用几何法(利用两圆的圆心距与两圆半径长的关系)判断圆与圆的位置关系．
2．解决实际问题时，把握建系的技巧．
3．处理圆与圆相切的问题时，注意内切与外切均属于相切，在不能确定的情况下应分类讨论．
4．体会求两圆的公共弦的方法及步骤．
高考导航
1.考查圆与圆的位置关系或由圆与圆的位置关系求参数是高考的热点，题型以选择题和填空题为主，难度中等偏下，分值为5分．
2．两圆的公共弦问题是高考的常考知识点，各种题型均有出现，难度中等，分值为4～6分.
知识点一 圆与圆的位置关系
圆C1：(x－a)2＋(y－b)2＝r与圆C2：(x－c)2＋(y－d)2＝r的位置关系的判定方法有几何法和代数法两种，如下表：
位置关系
几何法
代数法
图示
外离
|C1C2|>r1＋r2
Δ<0
外切
|C1C2|＝r1＋r2
Δ＝0
相交
|r1－r2|<|C1C2|
Δ>0
内切
|C1C2|＝|r1－r2|
Δ＝0
内含
|C1C2|<|r1－r2|
Δ<0
1．应用代数法判定两圆位置关系时应注意：
(1)Δ>0时，两圆有两个公共点，相交；
(2)Δ＝0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；
(3)Δ<0时，两圆无公共点，包括内含与外离．
知识点二 用坐标法解决几何问题
用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算解决代数问题，最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论．这就是用坐标法解决平面几何问题的三个步骤：
2．利用几何法判断两圆的位置关系，直观，容易理解，但不能求出交点坐标；利用代数法判断两圆的位置关系，并不能准确地判断位置关系(如：Δ＝0仅能说明两圆只有一个公共点，但确定不了是内切还是外切；Δ<0仅能说明两圆没有公共点，到底是相离还是内含)，必须辅以图形．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( )
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )
(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9的位置关系是( )
A．相离 B．外切
C．相交 D．内切
解析：圆心距d＝＝5，两圆半径的和r1＋r2＝2＋3＝5，则d＝r1＋r2，即两圆外切．
答案：B
3．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的公切线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：两圆的圆心距为3，半径长之和为2，故两圆外离，公切线有4条．
答案：D
4．[2019·上海检测]已知以C(－4,3)为圆心的圆与圆x2＋y2＝1外切，则圆C的方程为________________．
解析：设圆C的半径长为r，则(x＋4)2＋(y－3)2＝r2.
由题意得两圆圆心距d＝＝5，
因为两圆外切，所以圆心距为两圆半径长之和，即5＝r＋1，解得r＝4.故圆C的方程为(x＋4)2＋(y－3)2＝16.
答案：(x＋4)2＋(y－3)2＝16
类型一 两圆位置关系的判定
例1 已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，问：m为何值时，
(1)圆C1和圆C2外切？
(2)圆C1与圆C2内含？
【解析】 把圆C1，圆C2的方程化为标准方程，得圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.
(1)如果圆C1与圆C2外切，则＝3＋2，即m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2.
(2)如果圆C1与圆C2内含，则<3－2，即m2＋3m＋2<0，解得－2将圆的一般方程化成标准方程→
结合圆的位置关系得出半径长之间的关系→由此列式求解
方法归纳
(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：
①化成圆的标准方程，写出圆心和半径；
②计算两圆圆心的距离d；
③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．
(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．
跟踪训练1 圆A：(x＋2)2＋(y＋1)2＝4与圆B：(x－1)2＋(y－3)2＝4的位置关系是( )
A．相交 B．外离 C．外切 D．内含
解析：
方法一 画出两圆，由图可直观得出两圆外离．
方法二 根据题意，可知圆A与圆B的圆心距d＝＝5>4，即d>rA＋rB，故两圆外离．
方法三 将两圆的方程联立，得方程组
即
消去x2，y2，得6x＋8y－5＝0，将其代入圆A(或圆B)的方程中消去y，得100x2＋100x＋169＝0，所以Δ＝1002－4×100×169<0，所以方程无实数解，即两圆相离．因为两圆半径长相等，所以不会出现内含的情况，故两圆外离．
答案：B
思路一 求圆C1圆C2的半径r1，r2→求|C1C2|→比较|C1C2|与|r1－r2|，r1＋r2的大小→得出结论
思路二 联立圆C1与圆C2的方程→整理成关于x?或y?的一元二次方程→判断判别式的符号→得出结论
类型二 两圆的公共弦的问题
例2 已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)试判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程；
(3)求公共弦的长度．
【解析】 (1)将两圆方程配方化为标准方程，
C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10.
则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝5；圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝.
又|C1C2|＝2，r1＋r2＝5＋.r1－r2＝5－，
∴r1－r2<|C1C2|(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0.
(3)方法一 两方程联立，得方程组
两式相减得x＝2y－4，③
把③代入②得y2－2y＝0，∴y1＝0，y2＝2.∴或
所以交点坐标为(－4,0)和(0,2)．∴两圆的公共弦长为＝2.
方法二 两方程联立，得方程组
两式相减得x－2y＋4＝0，即为两圆相交弦所在直线的方程．
由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心为C1(1，－5)，半径r1＝5.
圆心C1到直线x－2y＋4＝0的距离d＝＝3，
设公共弦长为2l，由勾股定理r2＝d2＋l2，得50＝45＋l2，解得l＝，所以公共弦长2l＝2.
(1)利用圆心距与两圆半径的和差比较判断两圆的位置关系．
(2)求两圆公共弦所在的直线方程，两圆方程相减即可．求弦长，可解方程组求交点坐标，利用两点间的距离公式，也可利用弦心距、半径与弦长的关系求解．
方法归纳
(1)求圆的弦长，一般运用垂径定理构造直角三角形，利用半径、弦心距先求半弦长，即得弦长．
(2)求两圆的公共弦长及公共弦所在直线方程一般不用求交点的方法，常用如下方法：
跟踪训练2 (1)圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0与圆x2＋y2－4x＋10y＋13＝0的公切线的条数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)[2019·甘肃省兰州第一中学期中]若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0的公共弦长为2，则a的值为( )
A．1 B．±1
C．3 D．±2
解析：(1)两圆的圆心分别为(－2,2)，(2，－5)，则两圆的圆心距d＝＝.又两圆半径分别为1和4，则d>1＋4＝5，即两圆外离，因此它们有4条公切线．
(2)由题意知，圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0的公共弦所在的直线为2ay－2＝0，
而圆心(0,0)到2ay－2＝0的距离为d＝＝，所以22＝()2＋2，解得a＝±1.
答案：(1)D (2)B
类型三 圆与圆相切的问题
例3 已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切；
(2)m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么．
【解析】 两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m.
圆心分别为C1(1,3)，C2(5,6)．
半径分别为和.
(1)当两圆外切时，＝＋.解得m＝25＋10.
(2)当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心间距离5，故有－＝5.
解得m＝25－10.
因为kc1c2＝＝，所以两圆公切线的斜率是－，
设切线方程为y＝－x＋b，则有＝.解得b＝±.
容易验证，当b＝＋，直线与另一圆相交，故舍去．
故所求公切线方程为y＝－x＋－.即4x＋3y＋5－13＝0.
(1)利用|C1C2|＝R＋r，求m.
(2)利用|C1C2|＝R－r，求m，再求公切线方程．
方法归纳
求公切线的五个步骤
(1)判断公切线的条数．
(2)设出公切线的方程．
(3)利用切线性质建立所设字母的方程，求解字母的值．
(4)验证特殊情况下的直线是否为公切线．
(5)归纳总结．
注意：对于求公切线问题，不要漏解，应先根据两圆的位置关系来判断公切线的条数．
跟踪训练3 求圆O：x2＋y2＝36与圆M：x2＋y2－10y＋16＝0的公切线方程．
解析：如图所示，易知两圆相交，公切线有两条．
由圆M的方程易得M(0,5)，r＝3.
设两圆的公切线与圆O相切于点B(x0，y0)，
则公切线方程为x0x＋y0y＝36.
∵点M到公切线的距离等于3
∴＝3.
∵x＋y＝36，又点M在公切线的下方，
∴－(5y0－36)＝18，即y0＝.从而x0＝±＝±.
∴公切线方程为x＋y－36＝0或－x＋y－36＝0，
即4x＋3y－30＝0或4x－3y＋30＝0.
在求两圆的公切线时，首先，要判断两圆的位置关系，以确定公切线的条数，从而防止漏解；其次，应注意公切线的几何性质，应用最佳方法．
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．两圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1和(x－3)2＋(y＋6)2＝144的位置关系是( )
A．相切 B．内含
C．相交 D．相离
解析：因为两圆的圆心距d＝＝10<12－1＝11，所以两圆内含．
答案：B
2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则直线AB的方程是( )
A．x＋y＋3＝0 B．3x－y－9＝0
C．x＋3y＝0 D．4x－3y＋7＝0
解析：两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为x＋3y＝0.
答案：C
3．两圆(x－2)2＋(y－1)2＝4与(x＋1)2＋(y－2)2＝9的公切线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：两圆的圆心距为＝.
两个圆的半径长之和为5，半径长之差为1.
∵1<<5，∴两个圆相交，公切线有2条．
答案：B
4．已知点A，B分别在两圆x2＋(y－1)2＝1与(x－2)2＋(y－5)2＝9上，则A，B两点之间的最短距离为( )
A．2 B．2－2
C．2－4 D．2
解析：两圆心之间的距离为＝2>4＝r1＋r2，所以两圆相离，所以A，B两点之间的最短距离为2－4，故选C.
答案：C
5．过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且取得最小面积的圆的方程是( )
A．x2＋y2＋x－y＝0
B．x2＋y2－x＋y＝0
C．x2＋y2＋x－y＋＝0
D．x2＋y2＋x＋y＋＝0
解析：利用圆系方程来求．
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知两圆x2＋y2＝1和(x＋2)2＋(y－a)2＝25没有公共点，则实数a的取值范围为________．
解析：由已知，得两圆的圆心分别为(0,0)，(－2，a)，半径分别为1,5，∴圆心距d＝＝.∵两圆没有公共点，∴<5－1或>5＋1，解得－24.
答案：(－∞，－4)∪(－2，2)∪(4，＋∞)
7．两圆相交于两点(1,3)，(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋C＝0上，则m＋C的值为________．
解析：由两圆的公共弦的垂直平分线为两圆心的连线，可得＝－1，所以m＝5.又两公共点(1,3)和(5，－1)的中点(3,1)在直线x－y＋C＝0上，所以C＝－2.所以m＋C＝3.
答案：3
8．[2019·海南校级月考]过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程为________________．
解析：设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0，则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心坐标代入直线l的方程：2x＋4y－1＝0，可得λ＝，故所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.
答案：x2＋y2－3x＋y－1＝0
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知两圆C1：x2＋y2＋4x＋4y－2＝0，C2：x2＋y2－2x－8y－8＝0，判断圆C1与圆C2的位置关系．
解析：方法一 把圆C1的方程化为标准方程，得(x＋2)2＋(y＋2)2＝10.圆C1的圆心坐标为(－2，－2)，半径长r1＝.
把圆C2的方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－4)2＝25.圆C2的圆心坐标为(1,4)，半径长r2＝5.
圆C1与圆C2的圆心距d＝＝3，
又圆C1与圆C2的两半径长之和是r1＋r2＝5＋，两半径长之差是r2－r1＝5－，
而5－<3<5＋，即r2－r1所以圆C1与圆C2的位置关系是相交．
方法二 将两圆的方程联立得到方程组
由①－②得x＋2y＋1＝0 ③，由③得x＝－2y－1，把此式代入①，并整理得y2－1＝0 ④，
方程④根的判别式Δ＝02－4×1×(－1)＝4>0，
所以方程④有两个不相等的实数根y1，y2，把y1，y2分别代入方程③，得到x1，x2.
所以圆C1与圆C2有两个不同的公共点(x1，y1)，(x2，y2)，即圆C1与圆C2的位置关系是相交．
10．求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0与圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆C的方程．
解析：联立两圆的方程，得
相减并化简，得公共弦所在直线的方程为4x＋3y－2＝0.
方法一 由
解得或
即两圆的交点坐标分别为(－1,2)，(5，－6)．
∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C是公共弦的中点(2，－2)，半径长为＝5.
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.
方法二 设所求圆C的方程为x2＋y2－12x－2y－13＋λ(x2＋y2＋12x＋16y－25)＝0(λ≠－1)，
可求得圆心C.
∵圆心C在公共弦所在直线上，
∴4·＋3·－2＝0，解得λ＝.
∴圆C的方程为x2＋y2－4x＋4y－17＝0.
[能力提升](20分钟，40分)
11．一辆货车宽2米，要经过一个半径为米的半圆形隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度不得超过( )
A．2.4米 B．3米
C．3.6米 D．2.0米
解析：以半圆直径所在直线为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示坐标系．
由半圆的半径为可知，半圆所在的圆的方程为x2＋y2＝10(y≥0)，
由图可知当车恰好在隧道中间行走时车篷可达到最高．
此时x＝1或x＝－1，代入x2＋y2＝10，得y＝3(负值舍去)，故选B.
答案：B
12．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是________________．
解析：由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a,0)，和(0，b)，1，因为两圆相离，所以>＋1，
即a2＋b2>3＋2.
答案：a2＋b2>3＋2
13．求过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点，且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
解析：由题意，设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0，
即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋6x＋6λy－4－28λ＝0，
圆心为.
由题意，得－＋－4＝0，
∴λ＝－7.
∴所求圆的方程是x2＋y2－x＋7y－32＝0.
14．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1)．
(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O1与圆O2交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
解析：(1)设圆O1、圆O2的半径分别为r1，r2，
∵两圆相切，
∴|O1O2|＝r1＋r2，∴r2＝|O1O2|－r1＝－2＝2(－1)，
∴圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝4(－1)2.
(2)由题意，设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，
圆O1，O2的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程，
为4x＋4y＋r－8＝0.
∴圆心O1(0，－1)到直线AB的距离为＝＝，
解得r＝4或20.
∴圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
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