数学人教A版必修四教案 1.6三角函数模型的简单应用

三角函数模型的简单应用
一.学习目标：
1.通过对实际问题的分析，发现周期变化的规律，将发现的规律抽象为恰当的三角函数模型.用三角函数模型解决这些具有周期性变化规律的实际问题.
2.能根据图象建立解析式,根据解析式作出图象,体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
3．通过学习体验数学在解决实际问题中的价值和作用，从而激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索、勤于思考的精神.
二．教学重点与难点：
1.教学重点：由三角函数模型解决一些具有周期变化规律。
教学难点：将某些实际问题抽象为三角函数模型。
三．教学基本流程:
1、导入新课
问题导入：我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质,特别研究了三角函数的周期性。在现实生活中,如果某种变化着的现象具有周期性,那么是否可以借助三角函数来描述，是不是也能对应的写出其的变化表达式？
2、推进新课，新课传授
复习：复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程。
简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概，,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述。数学模型的方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法。
回顾以前学习过的数学模型概念，使学生们能够回忆起以前学习过的函数实际应用的问题，能够想起，解决实际问题的基本过程是:1)收集数据2)画散点图3)选择函数模型4)求解函数模型5)检验。
6)用函数模型解释实际问题。
讲解新课：
由复习内容总结归纳出解决实际问题的一般流程是：
1)审题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求、理解数学关系；
2)建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型；
3)求解:对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；
4)还原:把数学结论还原为实际问题的解答；
5)画出散点图,分析它的变化趋势,确定合适的函数模型。
3、应用示例
例1 如图1, 某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数y=sin(wx+φ)+b.

(1)求这一天的最大温差；
(2)写出这段曲线的函数解析式。
题目分析：题中给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型。其中第(1)小题实际上就是求函数图象的解析式，然后再求函数的最值差。教师应引导学生观察思考：“求这一天的最大温差”实际指的是“求6时到14时这段时间的最大温差”，可根据前面所学的三角函数图象直接写出而不必再求解析式。让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用。第 (2)小题只要用待定系数法求出解析式中的未知参数，即可确定其解析式。其中求ω是利用半周期，通过建立方程得解。
解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是20摄氏度
从图中可以看出,图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象，所以,
A=(30-10)=10；b=(30+10)=20;
因为所以=；
然后求解，A=10，b=20,=,将(6,10)代入式子中，=
综上，解析式为y=10sin(x+)+20，x[6,14].
本例中所给出的一段图象实际上只取6—14，这恰好是半个周期，提醒学生注意抓关键。本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围，这点往往被学生忽略掉。
例2 画出函数y=的图像并观察其周期。函数图如下：
从图中可以看出，函数y=是以为周期的波浪形曲线。因此我们可以这样进行验证：
由于 = =
所以，函数y=是以为周期的函数。
小结：利用函数图像的直观性，通过观察图像而获得对函数性质的认识，显然y=与正弦函数相关。
习题作业
课本练习题1,2 成才之路A级