人教版高中数学选修1-1教案 3.3.1函数的单调性与导数

3.3.1函数的单调性与导数
1、教材分析
“函数单调性与导数”是人教版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修1－1第三章《导数及其应用》的内容。本节的教学内容属导数的应用，是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打好基础。
由于学生在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性。通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图象难以画出的函数而言），充分展示了导数解决问题的优越性。
根据新课标要求和教材的分析，并结合学生的认知特点，确定如下几个方面为本课的教学目标：
2、教学目标
知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系。
2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间。
过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法。
2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想。
情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。
对于函数单调性与导数，学生的认知困难主要体现在：用准确的数学语言描述函数单调性与导数的关系，这种由数到形的翻译，从直观到抽象的转变，对学生是比较困难的。根据以上的分析和教学大纲的要求，我确定了本节课的重点和难点。
3．教学的重点和难点
教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。
教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。
4、教学方法：
为还课堂于学生，突出学生的主体地位，本节课拟运用“问题--- 解决”课堂教学模式，采用发现式、启发式的教学方法。通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神。
5、教学手段：
本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生的理解。
【教学过程】
一．回顾与思考
1、判断函数的单调性有哪些方法？比如判断y=x2的单调性，如何进行？（分别用定义法、图像法完成）
2、如果遇到函数：y=x3-3x判断单调性呢？还有其他方法吗？
二．新知探究 函数的单调性与导数之间的关系
1、【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢?
【思考】 如图（1），它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
【引导】 随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？
【探究】通过观察图像，我们可以发现：
（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数．相应地，．
（2）从最高点到入水，运动员离水面的高随时间的增加而减少，即是减函数．相应地，．
2、【思考】 导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与导数有什么关系呢？
【引导】可先分析函数的单调性与导数的符号之间的关系.
提出问题2：上例得出的结果是不是具有一般性？
【设计意图】
新课标强调，要“加强几何直观，重视图形在数学学习中的作用，鼓励学生借助直观进行思考。”所以，我在此处让学生借助几何直观理解函数的单调性与导数的关系，并用几何画板动态演示，有效促进了学生探索问题的本质。
3、追踪成果 深入探究
为突破本节课的难点,我通过继续举例,引导学生进一步探究：
探讨：函数的单调性与其导函数正负的关系，进一步引导学生经历从具体实例揭示数学本质的过程，鼓励学生发现数学的规律和解决问题的途径，使他们经历知识的形成过程。通过学案，展示学生的探究成果：
函数y=f(x)
函数y=f(x)的单调性
y=x
函数y=f(x)单调
函数y=f(x)单调
函数y=f(x)单调
函数y=f(x)单调
函数y=f(x)单调
函数y=f(x)单调
函数y=f(x)单调
对所展示的学生成果予以及时的鼓励和肯定。
【思考】函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系？
【探究】如图，导数表示函数在点处的切线的斜率．
在处，，切线是“ ”式的，这时，函数在附近单调 ；
在处，，切线是“ ”式的，这时，函数在附近单调 ．
【设计意图】
上述探究所得结论将是后面利用导数求函数单调区间的理论依据，重要性不言而喻。而学生只学习了导数的意义和一些基本运算，要想得到严格的证明不现实。因此，我采用由易到难，逐步过渡的教学策略，让学生进一步直观观察，并借助几何画板动态演示，分析问题的本质。
4、归纳结论 揭示本质
经历上述探究之后，将学生分成6小组，进行讨论交流，揭示函数的单调性与导数的本质关系，让小组派代表归纳结论。对回答问题的学生进行及时鼓励。在此基础上，我和学生共同完善结论，并板书结论：
函数的单调性与其导函数正负的关系：
在某个区间(a，b)内，
若f ' (x)>0，则f(x)在(a，b)上是增函数；
若f ' (x)<0，则在f(x)(a，b)上是减函数.
若，则为 常数函数（与轴平行）
强调正确理解“某个区间”的含义，它必须是在定义域内的某个区间。
考虑到本节课堂容量较大，这里没有提到函数在个别点处导数为零不影响单调性的情况（如y=x3在x=0处），这一问题将在第二课时探究。
三、例题讲解
例1．已知导函数f ' (x)的下列信息：
当3当x<3或x>5时，f ' (x)>0；
当x=3或x=2时，f ' (x)=0.
试画出函数 f ( x )图象的大致形状.
【设计意图】
应用所学，使具体知识形成方法和技能。鼓励学生先自己动手，培养学生积极主动的学习态度.再通过教师示范，培养学生良好的作图习惯.对于学生在分析过程中出现的问题，及时指正.
本题是一道开放性的题目，学生的答案也许图象可能向“内”弯曲，可能向“外”弯曲，也可能是条直线. 举典例进行说明：左图是折线图，右图是平滑的曲线，追问：两种做法是否都行呢？
 
解决办法：
让学生回顾前面所学习，导数为零的点的附近图象应该几乎没有升降变化，而“折点”附近图象升降变化很大，让学生再次动手操作，得到正确图如上，右图.
例2.判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
【设计意图】
求单调区间是导数的一个重要应用，也是本节重点.
通过例1（1），引导学生得出用导数法求单调区间的解题步骤，并给学生示范；
通过例1（2），让学生在黑板解答，进一步规范解题步骤；
通过练习，回答本节刚开始提出的问题，解决学生的疑惑.体会用导数解决函数单调性时的有效性、优越性.
练习： （2）
分析：（1）学生动手解题，得出单调区间；
（2）学生分析求可导函数单调区间的一般步骤和方法：
①确定定义域； ②求、令得实根；③间断点与根分区间；
④确定各开区间的符号，得出结论。
提出可否直接解关于导函数的不等式，列出、解出。
四、课堂小结：
1、函数的单调性与导数的关系
2、求解函数单调区间
五、作业布置：(课本) P93 4， P98 A组 1
六、板书设计
3.3.1函数的单调性与导数
函数单调性与导数的关系
利用导数求单调性的步骤
多媒体
例题讲解
例1：
例2：