高中数学选修2-2复习教案2

第4周教学反思：上周的教学内容是选修2-3最后一章《计数原理》.本章的内容较少，但是比较难，本章与前面学习的内容没有任何的联系，主要考查学生的理解能力，从测试的情况来看很不理想。必须加强对学生的巩固和练习。
教案 选修2-2复习 第5周
高中数学选修2-2知识点总结
教学目标：
1．重点理解导数相关概念及其几何意义；
2．掌握选修2-2的知识点
3．利用选修2-2知识解决简单问题
教学重点：利用导数研究与函数有关的简单问题，掌握推理证明的证明方法，会计算与复数有关的简单问题。
教学难点：用所学知识点解决常见问题。
授课类型：复习课
课时安排：4课时
第一章、导数
1．函数的平均变化率为
注1：其中是自变量的改变量，平均变化率 可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念:函数在处的瞬时变化率是，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.
3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；
函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；
5、常见的函数导数
函数
导函数
(1)
0
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
6、常见的导数和定积分运算公式:若，均可导（可积），则有：
和差的导数运算
积的导数运算
特别地：
商的导数运算
特别地：
复合函数的导数
微积分基本定理
F(a)--F(b)
（其中）
和差的积分运算
特别地：
积分的区间可加性
.用导数求函数单调区间的步骤:
①求函数f(x)的导数
②令>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.
③令<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；
[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f(x)的极值的步骤：
(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f(x)的导数 (3)求方程=0的根
(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值
8.利用导数求函数的最值的步骤:求在上的最大值与最小值的步骤如下：
⑴求在上的极值；
⑵将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；
9．求曲边梯形的思想和步骤:分割近似代替求和取极限 （“以直代曲”的思想）
10.定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1
性质5 若，则
①推广：
②推广:
11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.
( l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于x轴上方的图形面积；
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于x轴上方图形面积的相反数；
当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．
12．物理中常用的微积分知识（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。（2）力的积分为功。
第二章、推理与证明知识点
13.归纳推理的定义：
从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。
归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
归纳推理的思维过程大致如图： 
15.归纳推理的特点:
①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。
②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。
③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
16.类比推理的定义：
根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。
17.类比推理的思维过程

18.演绎推理的定义：
演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。
19．演绎推理的主要形式：三段论
20.“三段论”可以表示为：①大前题：M是P②小前提：S是M　③结论：S是P。
其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。
21.直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。
22.综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。
23.分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。
要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。
24反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
25.反证法的一般步骤
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。
26常见的“结论词”与“反义词”
原结论词
反义词
原结论词
反义词
至少有一个
一个也没有
对所有的x都成立
存在x使不成立
至多有一个
至少有两个
对任意x不成立
存在x使成立
至少有n个
至多有n-1个
p或q
且
至多有n个
至少有n+1个
p且q
或
27.反证法的思维方法:正难则反
28.归缪矛盾
（1）与已知条件矛盾:
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾．
29．数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤
(1)证明：当n取第一个值时命题成立；
(2)假设当n=k (k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确　
[注]：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。
第三章、数系的扩充和复数的概念知识点
30.复数的概念：形如a+bi的数叫做复数，其中i叫虚数单位，叫实部， 叫虚部，数集叫做复数集。
规定：a=c且b=d，
强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相等。
31．数集的关系：
32.复数的几何意义：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。
33.复平面：根据复数相等的定义，任何一个复数，都可以由一个有序实数对唯一确定。
由于有序实数对与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
34.求复数的模(绝对值)与复数对应的向量的模叫做复数的模(也叫绝对值)记作。由模的定义可知：
35.复数的加、减法运算及几何意义
①复数的加、减法法则：，则。
注：复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进行。
②复数的乘法法则：。
③复数的除法法则：其中叫做实数化因子
36.共轭复数:两复数互为共轭复数，当时，它们叫做共轭虚数。
常见的运算规律
设是1的立方虚根，则，
作业布置：试卷1
板书设计：
选修2-2
一、导数
二、推理与证明
三、复数
例题
练习
高二数学选修2-2综合测试题1（理科）
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2010·全国Ⅱ理，1)复数2＝(　　)
A．－3－4i　　 B．－3＋4iC．3－4i D．3＋4i
[答案]　A[解析]　2＝＝－3－4i.
2．用反证法证明“如果a>b，那么>”假设的内容应是(　　)
A.＝
B.<
C.＝且<
D.＝或<
[答案]　D
[解析]　“若a>b，则>”的否定是“若a>b，则≤”，所以假设的内容应是＝或<.故应选D.
3．函数y＝2－x2－x3的极值情况是(　　)
A．有极大值，没有极小值
B．有极小值，没有极大值
C．既无极大值也无极小值
D．既有极大值也有极小值
[答案]　D
[解析]　y′＝－3x2－2x＝－x(3x＋2)，
当x>0或x<－时，y′<0，
当－0，
∴当x＝－时取极小值，当x＝0时取极大值．
4．曲线y＝cosx 与坐标轴所围图形面积是(　　)
A．4　　　　 B．2　　　　
C.　　　　 D．3
[答案]　D
[解析]　由y＝cosx图象的对称性可知，
y＝cosx与坐标轴所围图形面积是
3∫0cosxdx＝3sinx＝3.
5．若点P在曲线y＝x3－3x2＋(3－)x＋上移动，经过点P的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是(　　)
A．[0，) B．[0，)∪[，π)
C．[，π) D．[0，)∪(，]
[答案]　B
[解析]　∵y′＝3x2－6x＋3－＝3(x－1)2－≥－，∴tanα≥－ α∈(0，π)，
∴α∈[0，)∪[，π)，故选B.
6．将8分为两数之和，使其立方之和为最小，则分法为(　　)
A．2和6 B．4和4
C．3和5 D．以上都不对
[答案]　B
[解析]　设一个数为x，则另一个数为8－x，
则y＝x3＋(8－x)3(0≤x≤8)，
y′＝3x2－3(8－x)2，
令y′＝0，即3x2－3(8－x)2＝0，解得x＝4
当0≤x<4时，y′<0；当40，所以当x＝4时，y最小，故应选B.
7．设x＝3＋4i，则复数z＝x－|x|－(1－i)在复平面上的对应点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案]　B
[解析]　∵x＝3＋4i，∴|x|＝＝5
∴z＝3＋4i－5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i
＝－3＋5i.
∴复数Z在复平面上的对应点在第二象限，故应选B.
8．k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱的对角面个数f(k＋1)为(　　)
A．f(k)＋k－1 B．f(k)＋k＋1
C．f(k)＋k D．f(k)＋k－2
[答案]　A
[解析]　增加的一条侧棱与其不相邻的k－2条侧棱形成k－2个对角面，而过与其相邻的两条侧棱的截面原来为侧面，现在也成了一个对角面，故共增加了k－1个对角面，∴f(k＋1)＝f(k)＋k－1.故选A.
9．(2010·江西理，5)等比数列{an}中a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…·(x－a8)，则f′(0)＝(　　)
A．26 B．29
C．212 D．215
[答案]　C
[解析]　令g(x)＝(x－a1)(x－a2)……(x－a8)，
则f(x)＝xg(x)
f′(x)＝g(x)＋g′(x)x，故f′(0)＝g(0)＝a1a2……a8
＝(a1a8)4＝212.
10．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…A．1项 B．k项
C．2k－1项 D．2k项
[答案]　D
[解析]　n＝k＋1时，左边为：
1＋＋＋…＋
＝＋，
故共增加了2k项，故选D.
11．设f(z)＝，且z1＝1＋5i，z2＝－3＋2i，则f()的值是(　　)
A．－2＋3i B．－2－3i
C．4－3i D．4＋3i
[答案]　D
[解析]　∵z1－z2＝(1＋5i)－(－3＋2i)＝4＋3i，
∴＝4－3i，
∵f(z)＝，∴f(4－3i)＝＝4＋3i.
12．已知f(x)＝x3＋x，若a，b，c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值(　　)
A．一定大于0 B．一定等于0
C．一定小于0 D．正负都有可能
[答案]　A
[解析]　解法1：f(a)＋f(b)＋f(c)＝a3＋b3＋c3＋(a＋b＋c)＝(a3＋b3)＋(b3＋c3)＋(a3＋c3)＋(a＋b＋c)，因为a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝(a＋b)>0，同理b3＋c3>0，a3＋c3>0，又因为a＋b>0，b＋c>0，a＋c>0，故2(a＋b＋c)>0，即a＋b＋c>0，所以f(a)＋f(b)＋f(c)>0，故选A.
解法2：∵f′(x)＝3x2＋1>0，
∴f(x)在R上是增函数．
又a＋b>0，∴a>－b，∴f(a)>f(－b)．
又f(x)＝x3＋x是奇函数，
∴f(a)>－f(b)，即f(a)＋f(b)>0.
同理：f(b)＋f(c)>0，f(c)＋f(a)>0，
∴f(a)＋f(b)＋f(c)>0，故选A.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)
13．在△ABC中，D为BC的中点，则＝(＋)，将命题类比到四面体中得到一个类比命题为________________．
[答案]　在四面体A－BCD中，G为△BCD的重心，则＝(＋＋)
14．若x[答案]　－2 －1
[解析]　由复数相等的条件知，
∵x＜y＜0，∴.
15．设f(t)＝，那么f′(2)＝________.
[答案]　
[解析]　∵f(t)＝，
∴f′(t)＝
＝＝，
∴f′(2)＝＝.
16．(2010·福建文，16)观察下列等式：
①cos2α＝2cos2α－1；
②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；
③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；
④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；
⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.
可以推测，m－n＋p＝________.
[答案]　962
[解析]　由题易知：m＝29＝512，p＝5×10＝50
m－1280＋1120＋n＋p－1＝1，
∴m＋n＋p＝162.
∴n＝－400，∴m－n＋p＝962.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)设复数z＝，若z2＋az＋b＝1＋i，求实数a、b的值．
[解析]　z＝＝＝
＝＝1－i.
将z＝1－i代入z2＋az＋b＝1＋i，得
(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i，
(a＋b)－(a＋2)i＝1＋i，
∴，∴
18．(本题满分12分)已知实数a≠0，函数f(x)＝ax(x－2)2(x∈R)有极大值32，求a的值．
[解析]　f(x)＝ax(x－2)2＝a(x3－4x2＋4x)．
∴f′(x)＝a(3x2－8x＋4)＝a(3x－2)(x－2)．
由f′(x)＝0，得x＝或x＝2，
当a>0时，f(x)在x＝时，取极大值；
由f＝32，得a＝27，
当a<0时，f(x)在x＝2时，取极大值，
由f(2)＝32，得a不存在，∴a＝27.
19．(本题满分12分)证明：若函数f(x)在区间[a，b]上是严格的增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实根．
[分析]　函数f(x)在区间[a，b]上是严格的增函数，就是表明对区间[a，b]上任意x1，x2，若x1[证明]　假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，设α，β为其中的两个实根，则有f(α)＝f(β)＝0.
因为α≠β，不妨设α>β，
又因为函数f(x)在区间[a，b]上是严格的增函数，所以f(α)>f(β)．
这与假设f(α)＝0＝f(β)矛盾，所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实根．
[点评]　原命题和逆否命题是一组等价命题，反证法的实质是通过逆否命题来证明原命题的正确性．
20．(本题满分12分)(2010·安徽文，20)设函数f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0[解析]　f′(x)＝cosx＋sinx＋1＝sin(x＋)＋1　(0令f′(x)＝0，即sin(x＋)＝－，
解之得x＝π或x＝π.
x，f′(x)以及f(x)变化情况如下表：
x
(0，π)
π
(π，π)
π
(π，2π)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
递增
π＋2
递减

递增
∴f(x)的单调增区间为(0，π)和(π，2π)单调减区间为(π，π)．
f极大(x)＝f(π)＝π＋2，f极小(x)＝f(π)＝.
21．(本题满分12分)已知数列，，…，，…，Sn为该数列的前n项和，计算得S1＝，S2＝，S3＝，S4＝.
观察上述结果，推测出Sn(n∈N*)，并用数学归纳法加以证明．
[解析]　推测Sn＝(n∈N*)．用数学归纳法证明如下：
(1)当n＝1时，S1＝＝，等式成立；
(2)假设当n＝k时，等式成立，
即Sk＝，那么当n＝k＋1时，
Sk＋1＝Sk＋
＝＋
＝
＝
＝
＝＝.
也就是说，当n＝k＋1时，等式成立．
根据(1)和(2)，可知对一切n∈N*，等式均成立．
22．设函数f(x)＝－a＋x＋a，x∈(0,1]，a∈R*.
(1)若f(x)在(0,1]上是增函数，求a的取值范围；
(2)求f(x)在(0,1]上的最大值．
[分析]　(1)由f(x)在(0,1]上为增函数，知f′(x)≥0在(0,1]上恒成立，即a≤在(0,1]上恒成立，故a只需小于或等于在(0,1]上的最小值.
(2)求f(x)在(0,1]上的最大值时由(1)的结论可对a分类讨论，分0两种情况，当0时，可由导数求f(x)在(0,1]上的极大值点．
[解析]　(1)f′(x)＝－a·＋1.
因为f(x)在(0,1]上是增函数，
所以f′(x)＝－＋1≥0在(0,1]上恒成立，
即a≤＝在(0,1]上恒成立，
而在(0,1]上的最小值为，又因为a∈R*，所以0(2)由(1)知：①当0②当a>时，令f′(x)＝0，得x＝∈(0,1]，
因为当00，当所以f(x)在点x＝处取得极大值，即为f＝＋a
＝＋a＝a－，故f(x)max＝a－.
综上，当0时，f(x)max＝a－.
[点评]　①已知f(x)在[a，b]上单调递增(或单调递减)可推得x∈[a，b]时，f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，求单调区间时，令f′(x)>0(或f′(x)<0)．②求f(x)的最大值时，要比较端点处函数值与极值的大小．当f′(x)的符号不确定时，可对待定系数进行分类讨论．
高二数学选修2-2综合测试题2（理科）
一．选择题（每小题只有一个答案正确，每小题5分，共60分）
1.已知复数的实部为，且，虚部为1，则的取值范围是 （ ）A． B． C．D．
2.若函数在处可导,且, 则 （ ）
A． B． C． D．
3．一质点沿直线运动，若由始点起经过t秒后的位移为，那么速度为0的时刻为（ ）
A．0秒 B．1秒末 C．2秒末 D．1秒末和2秒末
已知函数在上有最大值3，那么在上的最小值是（ ）A. B. C. D.
5.已知点在P曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则取值范围是（ ）
A.? ?????B. ?? ??C. ??????D.
6.函数的极小值为 （ ）A． B．0 C． D．
7. 曲线与直线所围成图形的面积为 （ ）A． B． C． D．
8.若在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是 (　　)
A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)
9.若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是（?? ?）A．?? B．?? C．? D．
10.若复数不是纯虚数，则的取值范围是( )
(A)或 (B)且 (C) (D)
11．设、是上的可导函数，、分别为、的导函数，且满足，则当时有 （ ）A． B.
C. D.
当时,与的大小关系为 （ ）
＞ B．＜ C．＝ D．大小关系不确定
二、填空题（每小题5分，共20分）
．函数的单调递减区间为　　　　　　　　.
关于的不等式的解集为，则复数所对应的点位于复平面内的第________象限．
函数在点处的切线方程为，则　　
三角形的面积为，、、为三角形的边长，为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为_________________.
三、解答题（本大题共70分）
17．（本题10分）已知函数，讨论函数的单调性.
18.（本题12分）已知，给定正的常数，解不等式。
19. （本题12分）已知曲线，，直线与曲线C,C分别交于M,N两点，求|MN|最小是的值。
（本题12分）若函数在上为单调函数，求实数的取值范围.
21（本题12分）在数列中，已知
（1）求，并由此猜想数列的通项公式
（2）用适当的方法证明你的猜想.
22（本题12分）是否存在常数、、使得等式对一切正整数都成立？
并证明你的结论.
（任选一题）
?（本题12分）已知函数，，
（１）若对一切,恒成立, 求实数的取值范围;
（2）试判断方程有几个实根。
?（本题12分）已知为的导函数，且定义在R上，对任意的都有，试证明。
高二年级理科数学答案及评分标准

解得…………………………10分
，…………………………11分
故．……………………………12分
16. （课本选修2-2第57页例2）
解：（解法1）
作出直线
所求面积为图中阴影部分的面积.
解方程组
得直线
直线因此，所求图形的面积为
（解法1）
（解法2）
（解法3）
（解法4）课本的解法
评分标准：正确出作图得3分，求出交点（8,4）得2分，求出交点（4,0）得1分，正确用定积分表示出所求面积得3分，计算出积分的值得3分.
17.解:⑴由，得y′=3x2+1，…………..3分
设切点P0的坐标为 (x0 , y0),
又∵点P0在第三象限, ∴ x0 <0, y0<0
∵在点 P0 处的切线 平行直线4x－y－1=0，得3 x02+1=4，…………..5分
解之得x0= －1，………………………..6分
代人y=x3+x－2 ，得y0=－4…………………………..8分
∴切点P0的坐标为 (－1,－4)…………………………………….9分
⑵∵直线, 的斜率为4,
∴直线l的斜率为,……………………………11分
∵l过切点P0,点P0的坐标为 (－1,－4)
∴直线l的方程为，即…………….14分
18.解: （1）
……………….1分
……………2分
……………3分
由此猜想数列的通项公式……………..5分
（2）下面用数学归纳法证明
①猜想成立………………………..6分
② 假设当…………….7分
那么
…………………………………8分
………………12分
即当n=k+1时猜想也成立……………………………..13分
根据①和②，可知猜想对任何都成立………………..14分
（用其他方法正确证明也给分）
19．解：由题意知
　　，…………4分
　　所以．…………6分
　　令，解得或（舍去）．…………9分
　　此时，．……………………11分
　　因为在附近的左侧右侧．
所以是极大值，根据实际问题的意义知，是最大值，………13分
答：零售定为每件30元时，最大毛利润为23000元．…………14分
20.解:⑴∵,
∴当时, ，当时, …………………1分
∴当时, ，当时, ……………2分
∴当时,函数 …………4分
⑵∵由⑴知当时,,
∴当时, 当且仅当时取等号 …………6分
∴函数在上的最小值是 ………………7分
∴依题意得∴ ……………8分
（用导数求最小值参考给分）
⑶根据（2）知，…………9分
由解得 …………………10分
∴直线与函数的图象所围成图形的面积
…………11分