高中数学必修五 3.2一元二次不等式及3.4基本不等式 教案

教案 一元二次不等式及基本不等式
上周反思：上周为考试周，主要对必修5第一和第二章节进行复习巩固，在复习过程中发现学生由于长时间的没有做第一章节的题目，部分学生对知识点记忆不是很熟悉，因此重点抓学生对知识点的熟悉程度和教学生做题。
3.2 一元二次不等式及其解法
一、教学目标：
知识与技能：
1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程;
2.通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系;
3.会解一次二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图.?
过程与方法：
采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想;
情感、态度与价值观：
通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辩证的世界观.
二．重点难点?
重点：1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.
2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.
难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.
三、教材与学情分析
由具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的一元二次不等式关系并鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，及数形结合思想，感受函数思想在解决二次不等式的作用。激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，激发学生的学习兴趣.
四、教学方法
问题引导，主动探究，启发式教学．
五、教学过程
（一）导入新课
播放2014“新闻联播最萌结尾”，为学生创设如下问题情境：
春天来了，熊猫饲养员计划在靠墙的位置为它们圈建一个矩形的室外活动室。现有可以做出20m栅栏的材料，要求使得活动室的面积不小于42m2，你能确定与墙平行的栅栏的长度范围吗？
分析可得如下数学模型：
设与墙平行的栅栏长度为x（0则依题意得：
整理得： x2-20x+84≤0
师生活动：针对问题情境，在教师的引导下，展开课堂讨论，分析得出以上数学模型。
设计意图：舍弃课本上枯燥的收费问题，换用一个鲜活的实例吸引学生的注意力，激发学习兴趣，以便顺利导入新课。
（2）观察归纳，形成概念
观察式子： x2-20x+84≤0
抢答竞赛： （1）该式子是等式还是不等式？
（2）该式中含有几个未知数？
（3）未知数的最高次数是几次？
通过抢答竞赛，你能归纳出一元二次不等式的定义吗？
定义：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。
其一般形式为： ax2+bx+c＞0 (a≠0) ax2+bx+c＜0 (a≠0)
ax2+bx+c≥0 (a≠0) ax2+bx+c≤0 (a≠0)
师生活动：让学生观察所得式子，抢答以上三个问题。在此基础上，学生自己归纳一元二次不等式的定义，教师帮助明确一元二次不等式的一般形式。
设计意图：通过抢答竞赛，即活跃了课堂气氛，也为学生归纳一元二次不等式定义做好知识准备。整个环节意在让学生经历数学知识的产生过程，体会成功的喜悦。
（3）辨析讨论，深化概念
抢答竞赛：判断下列式子是不是一元二次不等式？
（1）xy+3≤0 （2）(x+2)(x-3)<0
（3）x3+5x-6>0 （4）ax2+bx+c>0
师生活动：教师再次展开抢答竞赛，其中命题（4）的判断中，教师要说明二次项系数a可能为0，
也可能不为0。
设计意图：通过问题辨析，加深概念的理解，让学生区别一元二次不等式与其他不等式．（1）题可使学生明确定义中“一元”的意思，（3）（4）使学生明确定义中“二次”的意思．
2. 一元二次不等式解法的探究
此时，学生已经认识到x2-20x+84≤0是一个一元二次不等式，那么如何确定这个不等式的解集，以得到熊猫活动室栅栏的长度范围呢？
回忆旧知，寻找方案
观察一元二次不等式x2-20x+84≤0左边的形式，在学过的哪些知识中出现过？
一元二次方程 x2-20x+84=0
二次函数 y= x2-20x+84
猜想：利用三者之间的关系来解一元二次不等式x2-20x+84≤0
师生活动：根据“温故而知新”的教育理念，教师引导学生观察这个一元二次不等式左边的形式，在学过的哪些知识中出现过？由此得到求这个一元二次不等式解集的猜想方案。
设计意图：在教师的引导下，让学生思考、发现解决问题的关键点，避免了传统的填鸭式教学。
探究新知，从形到数
环节一：
画出二次函数y= x2-20x+84的图象？
环节二：
观看几何画板动画，随着动点C横坐标x的变化，纵坐标y的变化情况
思考回答：
当x取哪些值时，y>0?
当x取哪些值时，y=0?
当x取哪些值时，y<0?
环节三：
（1）方程x2-20x+84=0的根是
（2）不等式x2-20x+84≥0的解集是
（3）不等式x2-20x+84≤0的解集是
师生活动：学生进行以上三个环节，最终得出不等式x2-20x+84≤0的解集，从而冲出困惑，顺利解决“怎样设计熊猫活动室”的问题。
设计意图：以上三个环节借助二次函数图象的直观性，引导学生对图象上任意一点的纵坐标进行跟踪观察，以获得对一元二次不等式解集的感性认识，从而培养了学生从形到数的转化能力。
类比讨论，获得解法
环节四：
如果把函数y=x2-20x+84变为y=ax2+bx+c(a>0)
1.方程ax2+bx+c=0的根是
2.函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴有几个交点？
3.不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集是
4.不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集是
可得下表：

二次函数
（）的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R
师生活动：学生仿照熊猫活动室问题的解决过程，经过小组研讨、代表发言、集体交流等一系列活动，共同得出“三个二次”之间的关系，从而找到了利用二次函数图象解一元二次不等式的方法。
设计意图：整个过程既能提高学生从特殊到一般的归纳能力，体会数形结合和分类讨论思想在解决问题中的运用，又能让每名学生充分发挥各自的长处和优势，促进共同进步。
3.一元二次不等式解法的应用
自主探究
求不等式 x2－5x≤0 的解集.
求不等式 4x2－4x＋1 > 0 的解集.
求不等式 －x2 ＋2x－3 > 0 的解集.
思考：解一元二次不等式的一般步骤？
总结：（1）把二次项系数化为正数
（2）计算判别式△
（3）解对应的一元二次方程
（4）根据一元二次方程的根，结合图象，写出不等式的解集
师生活动：学生先自主探究课本上包含引例在内的三道例题，学习其规范的解题格式，并思考解一元二次不等式的一般步骤。在教师的引导下，展开课堂讨论，师生共同总结出解一元二次不等式的四个步骤。
设计意图：学生通过探究会发现当二次项系数小于零时，可以先化为正再求解，而且这三道例题也分别体现了△>0、△=0、△<0对不等式解集的影响，具有典型性、层次性和学生的可接受性。
演练反馈——（演板）
1.求不等式 -2x2+x-5<0 的解集.
2.求不等式 x2-4x+4>0 的解集.
3.求不等式 log2x2≤log2(3x+4) 的解集.
4.求函数y=的定义域.
师生活动：学生上台演板，教师巡视课堂，给予个别指导。演板结束后，针对学生暴露出的问题，如解题不规范、运算错误等做详细点评。
设计意图：通过练习，反馈教学情况，内化学生所学知识。同时这几道练习题由浅入深，并能结合函数定义域和对数函数等内容，可以有效帮助学生实现知识间的融会贯通。
一元二次不等式的解法是近几年来高考综合题的热点，那么在掌握了解法步骤后能否百无一失、稳操胜券，还取决于是否拥有良好的解题习惯和数学素养。
六、课堂小结
1.一元二次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a≠0）.
2.求解一元二次不等式的步骤和解一元二次不等式的程序.
七、课后作业
1.课本第89页习题3.2[A]组第1题
2.优化方案课时作业
八、板书设计
3.2一元二次不等式
一元二次不等式的解法
一元二次不等式与一元二次方程和一元二次函数间的关系
例题
练习和作业
3.4 基本不等式：（第一课时）
一、教学目标
1.知识与技能目标：
（1）了解基本不等式的来源；
（2）会利用基本不等式求简单的最值问题；
（3）在使用基本不等式求最值时，注意：基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等），这三个条件缺一不可.
2.过程与方法目标：
（1）探索并了解基本不等式的形成过程；
（2）体会基本不等式的简单应用.
3.情感态度价值观目标：
通过层层设问，让学生带着问题去发现、去学习，充分挖掘学生的学习兴趣.
二、重点难点
重点：会使用基本不等式求最值，尤其注意基本不等式成立的前提条件和等号成立的条件；
难点：不知何时使用基本不等式，在使用基本不等式求最值时，容易忽略基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）.
三、教法分析
（一）学情分析
在使用基本不等式求最值问题中，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件.
（二）教法
根据本节课的内容和学生的实际水平，采用问题驱动学习法与计算机辅助教学法.
（三）学法
以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，着眼于学生的学习体验.设置问题，由浅入深，循序渐近，给不同层次的学生提供思考，创造和成功的机会.
（四）教学手段
课件展示
四、教学过程设计
（一）自我介绍
尊敬的各位评委老师，上午好！我是来自凯里一中数学组的龙朝芬，我今天要讲的课题是：基本不等式，选自新人教版必修第三章第四节。接下来讲解本节课的教学过程。
（二）本节课主要通过问题引入
问题1、已知，求函数的最小值；
问题2、已知，求函数的最小值。
学生会这样解题：



当时，有最小值。
这是高一上学期的解题方法，有没有更简单的方法呢？当然有，这就是今天要学习的基本不等式：，这个不等式又是怎么来的？我们一起来探讨一下：
（三）新知探究
大家都知道，自然，展开会有：
（什么时候取“”，当且仅当时，取“”）
这一不等式就可以解决问题2了，但不能解决问题1呀，那如何办呢？观察可以发现这两问题，一个是二次方，一个是一次方，如何把二次方降为一次方呢？
在不等式：中，若是用代替，代替，我们会得到，
（当且仅当时，取“”），这样可以把二次降为一次了。
通常我们把上式写作：，这里是什么？（是算术平均数）是什么呢？（是几何平均数），因此这个不等式可以描述为：两个正数的算数平均数不小于几何平均数。
基本不等式可以解决哪些问题呢？我们一起来看例题：
（四）初步应用，归纳提升
例1、（1）已知，求函数的最小值；
（2）已知，求函数的最小值；
（3）已知，，，求的最小值.
通过例1，可以让学生知道，表达式为倒数或具有倒数关系的两数之和时，可以用基本不等式来求最小值。那可以用基本不等式来求最大值吗？接下来一起学习例2。
例2、（1）已知，且，求的最大值.
（2）设，求的最大值.
通过例2的学习，让学生知道可以用基本不等式来求两正数的积的最大值，但要把和凑成一个常数。通过学习例1、例2，我们可以用基本不等式解决求函数最值及式子的最值问题，但是还达不到高考要求，再来看例3：
例3、（1）若，则的最小值为 ；
（2）已知，，，则当的值为 时，取得最大值。
通过例3的学习，让学生了解到基本不等式在高考中如何考的。
（五）反思总结，培养能力
1、基本不等式的前提条件：，，等号成立的条件：；
2、使用基本不等式求最值的三个限制条件（一正二定三相等），这三个条件缺一不可；
3、和为定值积最大，积为定值和最小.
（六）课后作业
1、课本：必修5第100页A组第一题
2、补充作业：
（1）求函数的最小值；
（2）已知，，，求的最小值；
（3）已知且，求的最大值.
思考：求函数的最小值.（今天我们用基本不等式求最值问题，是不是所有的最值问题都可以用它来解决呢？请回去思考这道题，看能否用基本不等式来解决，若不能我们下节课再一起来探讨）
板书设计
3.4基本不等式
一、基本不等式
二、公式推导
例题
练习和作业
3.4基本不等式（第二课时）
一、教学目标：
1.进一步掌握并运用基本不等式；
2.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。
3.使学生能够运用基本不等式来讨论函数的最大值和最小值问题。
二、教学重点与难点：
重点：能灵活利用基本不等式及其变式解决有关求值问题；
难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。
三、教学过程
（一）复习回顾：
题目分析：除运用函数的单调性求解最值外，当时，可以利用基本不等式解题，引导出基本不等式。并强调基本不等式时三个条件“一正、二定、三相等。”
基本不等式：如果,是正数，那么
变形公式：
解题分析：对于且积为定值，求和的最值时利用求其最小值。并加以总结：当积为定值时和有最小值。


解题分析：对于且和为定值，求积的最值时利用求其最大值。并加以总结：当和为定值时积有最大值。
2.最值定理：已知都是正数， ①如果积是定值，那么当时，和有最小值； ②如果和是定值，那么当时，积有最大值．
说明：用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”。
（二）例题讲解、发散思维
【题型1.不具备“正数”】

学生板演，教师根据学生的做题情况进行点评总结。
本题小结：利用基本不等式求函数最值时要满足各项均为正值，当不具备“正值”条件时，需将其转化为正值；对于本题的解法是化负为正。然后再利用基本不等式解题。
【题型2.不具备“定值”】

学生板演，教师根据学生的做题情况进行点评总结。
本题小结：利用基本不等式求函数最值时要满足为定值。不具备“定值”条件时，需将其构造成定值条件；求和的最值化积为定值，求积的最值化和为定值。然后再利用基本不等式解题。
【题型3.不具备“相等”的条件】
学生板演，教师根据学生的做题情况进行点评总结。
本题小结：利用基本不等式求函数最值时要满足等号成立。当不具备“相等”条件时，不能利用基本不等式解题。可以先讲解观察函数的图像求解最值。总结：等号成立时，利用基本不等式求最值。等号不成立时，利用函数单调性求最值。

习题训练： 求下列函数的值域:

学生板演，教师根据学生的做题情况进行点评总结。
本题小结：对于分母为一次函数，分子为二次函数的分式函数求最值，可以结合以前所学过的分离常数法将分式函数变形为的形式，也可以利用换元法将分式函数变形为的形式，再利用基本不等式解题。

学生板演，教师根据学生的做题情况进行点评总结。
本题小结：对于分母为二次函数，分子为常数项为0的一次函数的分式函数求最值，分子分母同除以分子；转化为分母为基本不等式形式。对于分母先利用基本不等式求解，再求其倒数。解题时一定要注意基本不等式的使用条件。
【题型4.含两个变量或多个变量的最值问题】
例4、已知x，y为正实数，且x+y=1，（1）求xy的最大值，及取得最大值时的x，y的值；

学生板演，教师根据学生的做题情况进行点评总结。
本题小结：对于（1）已知两正数的和为定值求积的最值，直接利用基本不等式解题，并强调等号成立的条件。对于（2）中求的最小值，采用的是整体代换思想，将中的1用来代换，转化为，再利用基本不等式解题。
归纳：利用基本不等式求函数值域，要注意基本不等式的三个条件:
（1）不具备“正值”条件时，需将其转化为正值；
（2）不具备“定值”条件时，需将其构造成定值条件；（构造：积为定值或和为定值）
（3）不具备“相等”条件时，需进行适当变形或利用函数单调性求值域；同时要灵活运用“1”的代换。
一般说来，和式形式存在最小值，凑积为常数；积的形式存在最大值，凑和为常数，要注意定理及变形的应用。
（三）课堂小结：
本节课的主要内容是用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”，当给出的函数式不具备条件时，往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑变形来创造利用基本不等式的条件进行求解；
（四）作业布置：

（五）板书设计：
3.4基本不等式
复习
题型分类
例题
练习和作业
3.5基本不等式习题课
一、教学目标：
知识与技能：
进一步掌握基本不等式；会用此不等式证明不等式,会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；
过程与方法：
通过例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
情感、态度与价值观：
培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新，鼓励学生讨论，学会沟通，培养团结协作精神；让学生学会用运动观点观察事物，了解事物之间从一般到特殊、从特殊到一般的辨证关系，渗透辩证唯物主义认识论的思想。
二．重点难点?
重点：掌握基本不等式，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的最值
难点：用基本不等式求最大（小）值的步骤。
三、教材与学情分析
通过本节课的学习，让学生进一步体会基本不等式的重要性，进一步领悟不等式证明的基本思路、方法.这为下面基本不等式的实际应用打下了坚实的基础，所以说，本节课研究内容在本大节中是起承上启下作用.在本节课的研究中，将由基本不等式推导出许多结构简洁的重要不等式，让学生去体会数学的简洁美与推理过程的严谨美.从而激发学生对数学的热爱和专研.进而让学生的数学逻辑思维能力及逻辑关系的分析能力得到锻炼与培养，这方面也是贯穿学生的整个数学学习过程.?
根据本节课的教学内容，应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，对基本不等式展开应用，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.?
四、教学方法
问题引导，主动探究，启发式教学．
五、教学过程
（一）导入新课
（1）利用基本不等式证明不等式
例1 已知m>0,求证。
[思维切入]因为m>0,所以可把和分别看作基本不等式中的a和b, 直接利用基本不等式。
[证明]因为 m>0,，由基本不等式得
当且仅当=，即m=2时，取等号。
规律技巧总结 注意：m>0这一前提条件和=144为定值的前提条件。
随堂练习1
[思维拓展1] 已知a,b,c,d都是正数，求证.
[思维拓展2] 求证.
例2 求证:.
[思维切入] 由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边.这样变形后,在用基本不等式即可得证.
[证明]
当且仅当=a-3即a=5时,等号成立.
规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.
2)利用不等式求最值
例3 (1) 若x>0,求的最小值;
(2)若x<0,求的最大值.
[思维切入]本题(1)x>0和=36两个前提条件;(2)中x<0,可以用-x>0来转化.
解?1) 因为 x>0 由基本不等式得
,当且仅当即x=时, 取最小值12.
(2)因为 x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得:
,
所以 .
当且仅当即x=-时, 取得最大-12.
规律技巧总结 利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正.
随堂练习2最值练习：解答下列各题：?
(１)求函数y＝2x2＋（x＞0）的最小值.?
(２)求函数y＝x2＋（x＞0）的最小值.?
(３)求函数y＝3x2－2x3（0＜x＜）的最大值.?
(４)求函数y＝x（1－x2）（0＜x＜1）的最大值.?
(５)设a＞0，b＞0，且a2＋＝1，求的最大值.??
师 我们来考虑运用正数的算术平均数与几何平均数之间的关系来解答这些问题.根据函数最值的含义，
我们不难发现若平均值不等式的某一端为常数，则当等号能够取到时，这个常数即为另一端的一个最值. ?（留五分钟的时间让学生思考，合作交流，此处留的时间可以更长一些，意在激发学生自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生.老师根据学生的思考情况作个别交流）?（根据学生完成的典型情况，找五位学生到黑板板演，然后老师根据学生到黑板板演的完成情况再一次作点评）?
解：(1)∵x＞0,∴2x2＞0，＞0.∴y＝2x2＋＝2x 2＋.?
当且仅当2x 2＝，即时等号成立.故当时，y有最小值.?
(2) ，当且仅当，即x＝±时，等号成立.
故当x＝±时，y有最小值.?
(3)∵0＜x＜,∴3－2x＞0.?∴y＝x2（3－2x）＝x·x·（3－2x）≤（）3＝1.
当且仅当x＝3－2x,即x＝1时，等号成立.?
(4)∵0＜x＜1,∴1－x2＞0.∴y 2＝x 2（1－x 2）2＝·2x 2（1－x2）（1－x2）≤ ()3＝.当且仅当2x2＝1－x 2,即时，等号成立.∴当时，y 2有最大值.
由题意可知y＞0，故当时，y有最大值.?
(5)∵a＞0，b＞0，且a 2＋＝1，∴ (a2+ +)=,
当且仅当,即，时取“＝”.?
故当，时，a1+b2有最大值.?
（学生对等号成立的条件往往没有详细说明）?
2.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为 3 m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？?
分析：水池呈长方体形，池底长、宽没有确定.
设池底长、宽分别为x m、y m.水池总造价为z元.?
根据题意有z=150×+120(2×３x+2×3y)?=240 000+720(x+y).?由容积为4 800 m3，
可得xy=1 600z≥ 297 600.等号当且仅当x=y=40时成立.所以将水池的底面设计为长为４０ m的正方形时水池总造价最低，最低总造价是２９７ ６００元.?
六、课堂小结
用基本不等式证明不等式和求函数的最大、最小值。
七、课后作业
1.优化方案课时作业
八、板书设计
3.5 基本不等式习题课
一、复习
例题1
例题2
例题3
练习和作业