2019-2020学年必修5第三章训练卷
不等式（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设，，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，是正数，且，则（ ）
A．有最小值 B．有最小值
C．有最大值 D．有最大值
3．若不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．在直角坐标系中，满足不等式的点组成的图形（用阴影部分来表示）是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列不等式中解集为实数集的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若实数，满足不等式组，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．不等式表示的区域在直线的（ ）
A．右上方 B．右下方 C．左上方 D．左下方
9．已知，，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．定义在区间上的函数是奇函数且单调递减，若实数，满足，则点所在区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．设，满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．某加工厂用某原料由甲车间加工出产品，由乙车间加工出产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时小时，可加工出千克产品，每千克产品获利元．乙车间加工一箱原料需耗费工时小时，可加工出千克产品，每千克产品获利元．甲、乙两车间每天共能完成至多箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过小时，则甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（ ）
A．甲车间加工原料箱，乙车间加工原料箱
B．甲车间加工原料箱，乙车间加工原料箱
C．甲车间加工原料箱，乙车间加工原料箱
D．甲车间加工原料箱，乙车间加工原料箱
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．已知，，且满足，则的最大值为_________．
14．设，，，则的最大值为_________．
15．不等式组，表示的平面区域的面积大小是_________．
16．若函数的定义域是实数，则的取值范围是_________．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）已知，求证：．
18．（12分）已知关于的不等式的解集为，求的值．
19．（12分）对任意实数，不等式恒成立，求的取值范围．
20．（12分）已知，，若恒成立，求实数的取值范围．
21．（12分）某人上午时乘摩托艇以匀速海里/时从港出发到相距海里的港去，然后乘汽车以匀速千米/时自港向相距千米的市驶去，要求在同一天下午至点间到达市．设汽车、摩托艇所需时间分别是，小时．如果已知所需经费(元)，那么，分别是多少时最经济？此时需要花费多少元？
22．（12分）某厂使用两种零件，装配两种产品，，该厂的生产能力是月产产品最多有件，月产产品最多有件；而且组装一件产品要个、个，组装一件产品要个、个，该厂在某个月能用的零件最多个；零件最多个．已知产品每件利润元，产品每件元，欲使每月利润最大，需要组装，产品各多少件？最大利润多少万元？
2019-2020学年必修5第三章训练卷
不等式（一）答 案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】D
【解析】若，，则A，B，C不成立；
无论，，，取何值，D均成立，故选D．
2．【答案】B
【解析】∵，
当且仅当且，即，时取“”，
∴的最小值为，故选B．
3．【答案】B
【解析】不等式的解集为，即判别式，
解得，故选B．
4．【答案】B
【解析】，，即或，
画出图形可得答案B，故选B．
5．【答案】D
【解析】A：；B：；C：，故选D．
6．【答案】B
【解析】作出约束条件下的可行域如图所示，由图知当目标函数经过点时取得最大值，，故选B．
7．【答案】B
【解析】∵，∴，
当且仅当，即时等号成立，故选B．
8．【答案】B
【解析】取原点验证可知不等式表示的区域在直线的右下方，故选B．
9．【答案】C
【解析】据已知得，
故，
当且仅当时取得等号，故选C．
10．【答案】B
【解析】依题意，奇函数在区间上单调递减，
因此不等式，
即等价于，
即，
在坐标平面中画出该不等式组表示的平面区域，
结合图形可知，该三角形区域的三个顶点的坐标分别是，，，
因此该平面区域的面积等于，故选B．
11．【答案】A
【解析】作出不等式组表示的可行域，显然当直线经过直线与直线的交点时，取得最大值，
∴，∴，故选A．
12．【答案】B
【解析】设甲车间加工原料箱，乙车间加工原料箱，
则可得约束条件为，作出其可行域如图所示．
当平行直线系过点时，目标函数取得最大值，此时甲车间加工原料箱，乙车间加工原料箱，故选B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】由，可得，即的最大值为，故答案为．
14．【答案】
【解析】
，
∴，当且仅当且，即，时等号成立．故答案为．
15．【答案】
【解析】不等式组，所表示的平面区域是图中阴影部分（含边界），它所表示平面区域的面积等于图中阴影部分面积，其图形是一个直角三角形，其中，，∴．故答案为．
16．【答案】
【解析】当时，，∴，定义域不为，∴；
当时，则，∴．
故答案为．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．【答案】见解析．
【解析】．
∵，∴，，∴．
∴．
18．【答案】．
【解析】由的解集为知，
且，为方程的两个根，
由根与系数的关系得，，
解得，，∴．
19．【答案】．
【解析】∵，
因此不等式等价于，
即对任意均成立；
注意到时该不等式不恒成立，于是有，
由此解得，
因此的取值范围是．
20．【答案】．
【解析】∵，，
∴，当且仅当，即时取等号．
∵恒成立，∴，解得．
21．【答案】见解析．
【解析】由题意知，，，．
∴，．
∴，．
又由于汽车、摩托艇所用时间和应在至小时之内，即．
∴，应满足，
目标函数，即．
作出可行域如图所示，
设，则最大时，最小．
作一列平行直线系：，当直线经过可行域上点时，最大，即当，时，最小，此时，，的最小值为元．
22．【答案】见解析．
【解析】设分别生产，产品件、件，依题意有，
设利润，
要使利润最大，只需求的最大值，作出可行域如图所示（阴影部分及边界），
作出直线，即．
由于向上平移直线时，的值增大，∴在点处取得最大值．
由，解得，即．
所以最大利润(万元)．
答：要使月利润最大，需要分别组装，产品件、件，此时最大利润为万元．
2019-2020学年必修5第三章训练卷
不等式（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．若方程只有正根，则的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
5．关于的不等式的解集时，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
6．若的解集为，那么对于函数应有（ ）
A． B．
C． D．
7．实数，为方程的两根，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，满足约束条件，若的最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知，满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
11．正数，满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．给出下列语句：
①若，，则；
①若，，则；
③若，则；
④当时，的最小值为，
其中结论正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．已知，，则与的大小关系为_________．
14．方程的两根都是负数，则的取值范围是_________．
15．已知直角三角形的面积等于，则两条直角边和的最小值为_________．
16．设，则的最小值是_________．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）设，，求证：．
18．（12分）若不等式组的整数解只有，求的取值范围．
19．（12分）奥运会召开时，某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志——“中国印·舞动的北京”和奥运会吉祥物——“福娃”．该厂所用的主要原料为，两种贵重金属，已知生产一套奥运会标志需用原料和原料的量分别为盒和盒，生产一套奥运会吉祥物需用原料和原料的量分别为盒和盒．若奥运会标志每套可获利元，奥运会吉祥物每套可获利元，该厂现有原料，的量分别为盒和盒．问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂的利润最大，最大利润为多少?
20．（12分）已知集合，，，试求实数的取值范围，使．
21．（12分）设集合为函数的定义域，集合为关于的不等式的解集．
（1）求；
（2）若，求的取值范围．
22．（12分）已知，两地相距km，某船从地逆水到地，水速为km/h，船在静水中的速度为km/h．若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，当km/h，每小时的燃料费为元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度应为多少？
2019-2020学年必修5第三章训练卷
不等式（二）答 案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】C
【解析】当时，，当时，，所以A，B不一定成立；
当，时，，所以D不一定成立；
因为，所以，即C恒成立，故选C．
2．【答案】A
【解析】由得，所以A不正确；
由得，所以，所以，
所以B正确；
因为，所以，所以C正确；
因为，且两式不相等，所以，所以D正确，故选A．
3．【答案】C
【解析】原不等式等价于，即，
或，故选C．
4．【答案】B
【解析】由题意得，解得，故选B．
5．【答案】A
【解析】由的解集为，得，
或，故选A．
6．【答案】A
【解析】由已知易得，且的两根为，．
∴的对称轴为．
由开口向下的抛物线的图象与性质知，故选A．
7．【答案】A
【解析】∵，∴，∴或．
而
，
∵或，∴当时，的最小值为，故选A．
8．【答案】A
【解析】由已知做出可行域如图所示，
则，．
若过点时取得最大值，则，解得，
此时目标函数为，即，平移直线，
当直线经过点时，截距最大，此时最大值为，满足条件；
若过点时取最大值，则，解得，
此时目标函数为，即，平移直线，
当直线经过点时，截距最大，此时最大值为，不满足条件，
所以，故选A．
9．【答案】D
【解析】如图，表示点与可行域内的点的连线的斜率，
因为，，故的取值范围是，故选D．
10．【答案】C
【解析】
，当且仅当时，等号成立，故选C．
11．【答案】B
【解析】根据对数的运算法则，得．
因为，所以．
设，则，解得或（舍），
所以的取值范围是，故选B．
12．【答案】C
【解析】本题语句①是关于不等式的证明，对于不等式的证明通常采用三步：
一是作差，二是变形，三是与比较，
所以本题中作差变形后可得，
由于，，所以，即①正确；
对于语句②用赋值法很容易判断其错误，如，，，符合条件但结论不正确；对于语句③，利用不等式的性质，在不等式两边同时乘，不等号的方向不改变，故正确；对于语句④，利用基本不等式的“一正，二定，三相等”，结合正弦的取值范围知第三点不成立，取不到“”，故④错误．
综合得正确的有①，③两个，故选C．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】．
∵，，∴，，∴，
∴．
故答案为．
14．【答案】
【解析】由题意得，∴．故答案为．
15．【答案】
【解析】由题可设两直角边长分别为，，则面积，
而，当且仅当时等号成立，
即两条直角边和的最小值为．故答案为．
16．【答案】
【解析】
，
当且仅当，，时等号成立，
如取，，满足条件．故答案为．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．【答案】证明见解析．
【解析】左边右边
，
∴原不等式成立．
18．【答案】．
【解析】由，得或，①
由，得，②
∵①与②的交集只有一个整数解，
∴，即②的解为．
结合数轴知，∴．
19．【答案】见解析．
【解析】设该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为，套，利润为元，
由题意得，目标函数为．
作出可行域如图所示．
目标函数可变形为，
∵，
∴当通过图中的点时，最大，这时最大．
解，得点的坐标为，
将点，代入，
得(元)．
答：该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为，套时利润最大，最大利润为元．
20．【答案】或．
【解析】，或，
．
①当时，，符合；
②当时，，要使，则，解得；
③当时，，
∵，，∴不符合题设．
∴综上所述得或．
21．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，得或，
∴．
（2）∵，
由，即，知，
当时，由，得，
即，不满足；
当时，由，得或，
即，
若，则，解得或，
又∵，∴，
综上所述，所求的取值范围是．
22．【答案】见解析．
【解析】设每小时的燃料费为，比例系数为，则．
当时，，∴，得．
设全程燃料费为，依题意有
，
当，即时取等号．
∵，∴当，时，全程燃料费最省；
当时，令，
任取，则，．
∴．
∴，
即在上为减函数，
当时，取最小值．
综合得：当时，km/h，全程燃料费最省，为元，
此时船的实际速度为；
当时，时，全程燃料费最省，为元，
此时船的实际速度为．
