2019-2020学年必修5第一章训练卷
解三角形（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在中，下列等式中一定成立的等式是（ ）
A． B．
C． D．
2．在中，，，，则最短的边的长度是（ ）
A． B． C． D．
3．在中，若，则的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
4．在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则角的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，分别为的三个内角、、的对边，且满足，向量，，若，则角为（ ）
A． B． C． D．
7．在锐角中，角，，的对边分别为，，．若，
则为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，，，则的外接圆直径为（ ）
A． B． C． D．
9．在中，已知，给出下列结论：
①由已知条件，这个三角形被唯一确定；
②一定是钝角三角形；
③；
④若，则的面积是．
其中正确结论的序号为（ ）
A．③④ B．②③ C．①④ D．②④
10．如图，一艘船上午在处测得灯塔在它的北偏东处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午到达处，此时又测得灯塔在它的北偏东处，且与它相距，此时船的速度为（ ）
A． B．
C． D．
11．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为，，，则为（ ）
A． B． C． D．
12．在中，，，是边上一点，，的面积为，则边的长为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．在中，，，，则 ．
14．的内角，，所对的边的长度分别为，，，设向量，，若，则的大小为 ．
15．在中，，，的对边分别为，，，若，则角的值为 ．
16．在不等边中，角，，所对的边分别为，，，其中为最长的边，如果，则角的取值范围为 ．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）在中，，为锐角，角，，所对的边分别为，，，
且，．
（1）求的值；
（2）若，求，，的值．
18．（12分）设的内角，，所对的边分别为，，，已知，，．
（1）求的周长；
（2）求的值．
19．（12分）在中，已知，，．
（1）求的长；
（2）求的值．
20．（12分）设函数，其中向量，．
（1）求的最小正周期与单调递减区间；
（2）在中，，，分别是，，的对边，已知，，的面积为，求的值．
21．（12分）如图，公园内有一块边长为的等边三角形形状的三角地如题，现将其修成草坪，图中把草坪分成面积相等的两部分，在上，在上．
（1）设，，试用表示的函数关系式；
（2）如果是灌溉水管，为节约成本希望它最短，的位置应该在哪里？如果是参观线路，则希望它最长，的位置又在哪里？请给予证明．
22．（12分）如图①，在中，，是角的角平分线，且．
（1）求的取值范围；
（2）若，问为何值时，最短？
2019-2020学年必修5第一章训练卷
解三角形（一）答 案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】B
【解析】由正弦定理，得．
2．【答案】C
【解析】由三角形内角和定理，
根据“大角对大边”以及角最小可知最短的边是．
由正弦定理，解得．
3．【答案】A
【解析】由正弦定理得，所以，
所以是钝角，故是钝角三角形．
4．【答案】D
【解析】由正弦定理得，
又由余弦定理知，
所以．
5．【答案】B
【解析】由，得，∴，
故，即，
因为，，由，得，所以，
又因为，所以，所以．
6．【答案】C
【解析】由，由正弦定理可知，
即，所以，于是，
由，可得，解得∴，∴．
7．【答案】D
【解析】由，得，即，
∴
．
8．【答案】A
【解析】∵，∴，
∴，∴，
∴的外接圆直径．
9．【答案】B
【解析】由已知可设，，（），
则，，，∴，
∴，∴③正确；
同时由于边长不确定，故①错；
又，
∴为钝角三角形，∴②正确；
若，则，∴，，
又，∴，故④错．
综上②③正确，故选B．
10．【答案】D
【解析】设船的航速为，在中，，，，
由正弦定理得，∴，∴此船的航速为．
11．【答案】A
【解析】由，得，
所以的面积为，解得．
又，所以
，故．
12．【答案】C
【答案】如图，
设，由得，∴．
在中，由余弦定理，，
解得或．
当时，由，得，
又由，得；
当时，同理得．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】由正弦定理，得，
又，∴为锐角，∴．
14．【答案】
【解析】∵，∴，即，
，
又∵，则．
15．【答案】或
【解析】由及已知条件，可得，即，则或．
16．【答案】
【解析】由题意得，，再由正弦定理得，
即，则，
∵，∴，
又为最长边，∴，因此得角的取值范围是．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．【答案】（1）；（2），，．
【解析】（1）∵，为锐角，，∴，
又，∴，，
∴，
∵，∴．
（2）由（1）知，∴，
由正弦定理，得，即，，
∵，∴，∴，∴，．
18．【答案】（1）5；（2）．
【解析】（1）∵，∴；
∴得周长为．
（2）∵，∴，
∴，∵，∴，故为锐角，
∴，
∴．
19．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由余弦定理知，，
∴．
（2）由正弦定理知，∴，
∵，所以为锐角，则，
因此．
20．【答案】（1），；（2）2．
【解析】（1），
∴函数的最小正周期．
令，∴，
∴函数的单调递减区间为．
（2）由，得，∴．
∵，∴，∴，∴．
∵，∴．
在中，由余弦定理，当，
∴．
由，得，，
∴．
21．【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）在中，在上，点在上，∴．
∵，∴，∴．
在中，由余弦定理得，
∴．
（2）令，则，则，
令，．
任取，．
∵，∴，，，即，．
∴在上是减函数；同理在上是增函数，
又，，，
∴，即时，有最小值，此时，且；
当或，即或时，有最大值，此时为的边长上的中线或边上的中线．
22．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由是角的角平分线可得，．
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
两式相除，整理得，因为，故．
（2）如图②，以的中点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
设，，，其中．
由，得，整理得．
因为，则，即，
又，则，即．
因为，
因为，且，
整理得，即，
则，
整理得．
故当，即时，取得最大值，此时取得最小值，即最短为．
2019-2020学年必修5第一章训练卷
解三角形（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若锐角的面积为，且，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．在中，，，的角平分线，则（ ）
A． B． C． D．
5．的内角，，的对边分别为，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，已知，，，则为（ ）
A． B． C． D．
7．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则角为（ ）
A． B． C． D．
8．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则为（ ）
A． B． C． D．
9．已知中，角，，的对边分别为，，，，若，则为（ ）
A． B． C． D．
10．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知的内角，，的对边分别是，，，
且，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，平面上有四个点，其中为定点，且，为动点，满足关系，若和的面积分别为，
则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．在中，角，，的对边分别是，，，已知，，则 ．
14．在中，，，，则 ．
15．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积 ．
16．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为，，，则的值为 ．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若，的面积为，求．
18．（12分）在中，．
（1）求的大小；
（2）求的最大值．
19．（12分）在中，角，，的所对的边分别是，，，
且．
（1）证明：；
（2）若，求．
20．（12分）在中，角，，的对边分别是，，．
（1）若，且为锐角三角形，，，求的值；
（2）若，，求的取值范围．
21．（12分）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求角的大小；
（2）若的面积，且，求．
22．（12分）在中，角，，的对边分别是，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积．
2019-2020学年必修5第一章训练卷
解三角形（二）答 案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】C
【解析】∵的面积，∴，
解得．
∵角为锐角，∴，根据余弦定理，
得
，∴．
2．【答案】D
【解析】∵，，∴，，
从而．
由正弦定理，得，故选D．
3．【答案】C
【解析】∵，∴，∴，∴．
又必为锐角，∴，
∵，∴．∴，∴，∴．
4．【答案】A
【解析】如图，在中，由正弦定理，
得．
由题意知，所以，
则，所以，
所以，所以，
于是由余弦定理，得
．
5．【答案】D
【解析】由正弦定理，得，
展开得到
，
化简得，
即．
由三角形内角和定理，得，故．
6．【答案】B
【解析】如图，作，则，，
设，则，
在中，由余弦定理可得，解得，
所以，所以，所以，
所以，
故答案为．
7．【答案】C
【解析】由及正弦定理，得，①
将代入①得，
又，故，∴．
8．【答案】A
【解析】因为，，所以，
即，
化简并整理得，
∴，，结合正弦定理有，
所以，则，所以．
9．【答案】B
【解析】由及正弦定理知，，则，
则，得．
10．【答案】B
【解析】因为中，，所以，
所以．
因为，所以由正弦定理得，所以，
所以．
因为，所以，所以，故选B．
11．【答案】D
【解析】由及正弦定理，
可知，则由，
得，
由余弦定理可得，则，．
由正弦定理，得，
又，所以，
即，
因为，所以，，则．
12．【答案】C
【解析】设，则，
∴，∴，，，
∴，
∴，
令，则，，
∴．
∵函数的图象的对称轴方程为，且，
∴当时，取得最大值，此时．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】由余弦定理得，
∴，∴，即，
又，∴．
14．【答案】
【解析】∵，∴由余弦定理，
得，
∴．
15．【答案】
【解析】在中，∵，
又，∴，
由正弦定理，得，解得，
故的面积．
16．【答案】
【解析】由，得，
∴的面积为，解得，
又，
∴
，
故．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题设及，得，故，
将上式两边平方，整理得，
解得（舍去）或．
（2）由得，故，
又，则，
由余弦定理及，得
，
所以．
18．【答案】（1）；（2）最大值为．
【解析】（1）由余弦定理及题设得，
又，所以．
（2）由（1）知，
则
，
∵，∴当时，取得最大值．
19．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）根据正弦定理，可设，则，，，代入中，
有，
变形可得，
在中，由，有，
∴．
（2）由已知，得，根据余弦定理，得，
所以，由（1）知，
所以，故．
20．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵，∴，
又为锐角，∴，
而，即，解得（负值舍去），
∴．
（2）由正弦定理可得，
∵，∴，∴，
∴．
21．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵，
∴，
∵，∴，
由正弦定理可得，
即，∵，
∴，即．
∵，∵，∴．∵，∴．
（2）∵，∴，
∵，∴，
∴，即（或求出）．
∴．
22．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：在中，，，∴，，，
由正弦定理，得，即．
（2）由正弦定理，得，∴，
由余弦定理，得，
即，∴或，当时，
又，∴．
又，，明显不符合题意，∴，
又，
∴的面积．
