2019-2020学年必修5第二章训练卷
数列（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．数列的通项公式等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知等差数列中，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．在单调递减的等比数列中，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列的前项和为，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．若正数，，成公差不为零的等差数列，则（ ）
A．成等差数列 B．成等比数列
C．成等差数列 D．成等比数列
6．等差数列中，，，则此数列前20项和等于（ ）
A． B． C． D．
7．设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．等比数列中，是方程的两个根，则等于（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
9．若数列是等比数列，其公比是，且成等差数列，则等于（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
10．已知等差数列的公差，且成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知为等差数列，，，以表示的前项和，则使得达到最大值的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知是等差数列的前项和，且，有下列四个命题：①；②；③；④．其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．①④ C．①③ D．①②
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．与的等比中项是 ．
14．等比数列中，，则的前4项和是 ．
15．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，以后每秒钟通过的路程都增加，在达到离地面的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是 秒．
16．在等比数列中，，若数列满足，则数列的前项和 ．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）已知为等差数列，且，．
（1）求的通项公式；
（2）若等比数列满足，，求的前项和．
18．（12分）设是公比为正数的等比数列，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设是首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和．
19．（12分）已知数列各项均为正数，其前项和为，且满足．
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前项和，求的最小值．
20．（12分）某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付元；第二种，第一天付元，第二天付元，第三天付元，以此类推；第三种，第一天付元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍）．你会选择哪种方式领取报酬呢？
21．（12分）在数列中，，．
（1）设，证明：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和．
22．（12分）已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，求数列的通项公式；
（3）令，求数列的前项和．
2019-2020学年必修5第二章训练卷
数列（一）答 案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】B
【解析】∵，，，，，，
∴．
2．【答案】A
【解析】∵为等差数列，设首项为，公差为，
∴①，②，
由①-②得，即．
3．【答案】B
【解析】∵，，∴，
∵数列为递减数列，∴，即．
4．【答案】A
【解析】令，，解得；
令，，解得．
5．【答案】D
【解析】∵正数，，成公差不为零的等差数列，
设公差为，则，
∴，，即，
故，，成等比数列．
6．【答案】B
【解析】∵，，
∴，解得，
即．
7．【答案】A
【解析】由题意知，公比，根据等比数列的前项和公式可得
，，
即，解得，
则，
代入得．
8．【答案】A
【解析】∵是方程的两个根，
∴，，
∵数列是等比数列，
∵，即，
又∵与的符号相同，∴．
9．【答案】C
【解析】∵，，成等差数列，∴，∴，
∴，∴，∴或．
10．【答案】C
【解析】∵，，成等比数列，且数列为等差数列，
∴，∴，∴．
11．【答案】B
【解析】设的公差为，
∵，即，解得，
∴，
故当时，达到最大值．
12．【答案】D
【解析】∵是等差数列的前项和，且，
∴，，∴，，
∴①；②；③；
④，故正确的命题的序号是①②．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】设A为与两数的等比中项，则，
故．
14．【答案】
【解析】设公比为，∵，，∴，解得，，
即．
15．【答案】
【解析】设每一秒钟通过的路程依次为，，，，，则数列是首项，公差的等差数列，
由求和公式有，即，解得．
16．【答案】
【解析】∵，求得，∴，
又∵，∴，
即．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设等差数列的公差为，
∵，∴，解得，即．
（2）设等比数列的公比为，
∵，∴，
又∵，∴，即．
18．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设等比数列的公比为，则由，，
得，
即，解得或（舍去），因此，
故的通项为．
（2）由已知可得，∴，
∴．
19．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵①，∴②，
由②—①得，整理得．
∵数列各项均为正数，∴，即，
故数列是等差数列，公差为，
又，解得，故有．
（2）由（1）可得，
，
由其形式可以看出，关于递增，故其最小值为．
20．【答案】见解析．
【解析】设该同学到商场勤工俭学的天数为，
则第一种方案领取的报酬为；
第二种方案领取的报酬为；
第三种方案领取的报酬为．
令，即，解得，即小于或等于天时，第一种方案报酬高；
令，即，解得，即小于或等于天时，第一种方案报酬高；
即当工作时间小于天时，选用第一种付费方案；
∵当时，可以记算得，，∴当工作时间大于或等于天时，选用第三种付费方案，
综合可知当工作时间小于天时，选用第一种付费方案；当工作时间大于或等于天时，选用第三种付费方案．
21．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：∵，∴，∴．
∴数列是等差数列，首项为，公差为．
（2）由（1）可得，∴，∴，
∴数列的前项和，①
则，②
∴①—②得，
即．
22．【答案】（1）；（2）；
（3）．
【解析】（1）当时，，
当时，，可知满足该式，
即数列的通项公式为．
（2）∵，①
∴，②
由②-①得：，，故．
（3），
∴，
令，③
则，④
③-④得：，
∴，
∴数列的前项和．
2019-2020学年必修5第二章训练卷
数列（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．等差数列中，，，则数列的公差为（ ）
A． B． C． D．
2．在等比数列中，，是方程的两根，则等于（ ）
A． B． C． D．不能确定
3．等差数列中，若，且，为数列前项和，则中
最大的是（ ）
A． B． C． D．
4．在等比数列中，，则其前项的和的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知数列，，，，，，，，，，，则是数列中的
（ ）
A．第项 B．第项 C．第项 D．第项
6．数列中，，数列满足，（且），若为常数，则满足条件的值（ ）
A．唯一存在，且为 B．唯一存在，且为
C．存在且不唯一 D．不一定存在
7．设数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
8．正项等比数列满足，，，则数列的前项和是（ ）
A． B． C． D．
9．将数列按“第组有个数”的规则分组如下：、、、，则第组中的第一个数是（ ）
A． B． C． D．
10．已知数列满足，，则的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
11．数列的首项为，为等差数列且．若，，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知数列的前项和为，对任意，，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．已知是等比数列的前项和，，，则 ．
14．在数列中，，，且，则 ．
15．等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，．给出下列结论：
①；
②；
③的值是中最大的；
④使成立的最大自然数等于．
其中正确的结论是 ．（填写所有正确的序号）
16．数列满足，且，
则 ．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）已知公差大于零的等差数列的前项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是等差数列，且，求非零常数的值．
18．（12分）已知数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求证：数列的前项和为．
19．（12分）已知数列是各项均为正数的等比数列，是等差数列，
且，，．
（1）求和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
20．（12分）已知数列的各项均为正数，对任意，它的前项和
满足，并且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，为数列的前项和，求．
21．（12分）如图所示，某市年新建住房万平方米，其中万平方米
是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长．另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加万平方米．
（1）试问到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积（以年累计的第一年）将首次不少于万平方米？
（2）试问到哪一年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于？
22．（12分）已知单调递增的等比数列满足，且是
的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，对任意正整数，恒成立，试求的取值范围．
2019-2020学年必修5第二章训练卷
数列（二）答 案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】B
【解析】∵，解得，
又∵，∴．
2．【答案】B
【解析】∵，是方程的两根，
∴，，即，，可得．
又∵，∴．
3．【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，
∵，∴，解得，
又∵，∴，即，
∵，
∴为对称轴，即时，有最大值．
4．【答案】D
【解析】设等比数列公比为，
∵等比数列中，，
∴，
当时，，当且仅当是时，取等号；
当时，，当且仅当时，取等号．
综上可知的取值范围是．
5．【答案】C
【解析】将数列分为第组个，第组个，…，第组个，
即，，，，，
则这组中，每一组中的数的分子，分母的和为，所以是第组中的第个数，在数列中的项数为．故选C．
6．【答案】B
【解析】∵数列满足，（且），
∴数列为首项，公比为的等比数列，即，
即，
∵为常数，∴，解得，
即满足条件的值唯一存在，且为．
7．【答案】B
【解析】∵ ①，∴ ②，
由得，即，
又∵，，可得，
∴从第二项起是公比为的等比数列，即，
即．
8．【答案】D
【解析】∵是正项等比数列，∴且，即．
又∵，∴，解得或（舍去），
即，∴，
故数列的前项和为．
9．【答案】A
【解析】由“第组有个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以为首项，公差为的等差数列，前组数的个数共有个，
故第组中的第个数是．
10．【答案】C
【解析】∵，
∴，…，，．
叠加可得，
∴，当时，，符合上式，
故数列的通项公式为．
11．【答案】B
【解析】∵为等差数列，，，
∴公差，首项，
又∵，
∴，
∵数列的前项和为，
∴．
12．【答案】A
【解析】∵对任意，，
∴当时，，解得；
当时，，
化简可得，
此时当时，，即，；
当时，，即，，
又∵恒成立，
∴①当时，，
可得，即；
②当时，，
可得，即．
综合①②两种情况，有．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】∵为等比数列，∴，即，解得．
又∵，即，解得，
∴．
14．【答案】
【解析】∵数列中，，，且，
∴，，，，∴；
由，得，
同理可得，，，；
∴
．
15．【答案】①②④
【解析】∵，，，∴．
对于①项，显然成立，故①项正确；
对于②项，∵，∴，故②项正确；
对于③项，∵，∴，故③项错误；
对于④项，因为，，所以使成立的最大自然数等于，故④项错误．
综上所述：正确的结论是①②④．
16．【答案】
【解析】∵，∴，可得，
即数列是以为公比的等比数列，
又∵，
∴，
即．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）设等差数列的公比为，则，
∵，，解得，，
∴，解得，即，．
（2）由（1）知，，∴．
∴，，，
又∵是等差数列，
∴，∴，解得（舍去）．
经检验，符合题意，∴．
18．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）∵ ①，∴ ②，
由得，即．
∵当时，，，∴，
即当时，数列是等比数列，首项为，公比为，可得，
∴．
（2）证明：∵，∴，
即数列的前项和，
故数列的前项和，．
19．【答案】（1），，，；（2），．
【解析】（1）设数列的公比为，数列的公差为，则，
由题意得，解得，，
即数列的通项公式为，；
数列的通项公式为，．
（2）由（1）知，
则 ①， ②，
由①—②得
，
即，．
20．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）∵对任意的，有 ①，
∴当时，有，解得或．
当时，有 ②，
由①②并整理得，
∵数列的各项均为正数，∴，
即当时，，此时成立；
当时，，此时不成立，舍去．
故，．
（2）
．
21．【答案】（1）年；（2）年．
【解析】（1）设中低价房面积构成数列，由题意可知是等差数列，其中，，则，
令，即，而是正整数，解得，
即到年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于万平方米．
（2）设新建住房面积构成数列，
由题意可知是等比数列，其中，，则，
∵，∴，
即 满足上述不等式的最小正整数，
故到年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于．
22．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）设等比数列的首项为，公比为，
由题意知，可得，
即，解得或，
又∵单调递增，∴，，即，．
（2）由（1）知，
∵，∴ ①，
②，
由①—②得，，
∵对任意正整数，恒成立，
∴对任意正整数，恒成立，
即对任意正整数，恒成立，
又∵，∴，即的取值范围是．
