2019-2020学年必修3第三章训练卷
概率（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．用随机模拟方法求得某事件的概率为，其实际概率的大小为，则（ ）
A． B．
C． D．是的近似值
2．甲、乙、丙三人分别要去滕王阁、绳金塔、海昏侯墓3个旅游景区去旅游，每人去一地，每地去一人，则事件“甲去滕王阁”与“乙去滕王阁”是（ ）
A．对立事件 B．互斥但不对立事件 C．不可能事件 D．必然事件
3．某校高中毕业典礼上需要一位家长代表作互动，主持人会在已收到高校录取通知书的学生家长中随机抽取一位家长，设事件，
事件，
事件，
且已知，，，则事件“抽到收到一类院校或二类院校录取通知书的学生家长”的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．分别标有数字的4张卡片，从这4张卡片中随机抽取2张卡片，则取出的张卡片上的数字之和为奇数的取法数为（ ）
A． B． C． D．
5．若学校有高二学生名，抽名学生去参加全市数学联考，每个学生被抽到的概率为，则下列解释正确的是（ ）
A．10个人中，必有1个被抽到
B．每个人被抽到的可能性为
C．由于有被抽到与不被抽到两种情况，故不被抽到的概率为
D．以上说法都不正确
6．方程，有实根的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．欧阳修在《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径3cm，中间有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计)，则油恰好落入孔中的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为，第二次朝上一面的点数为，则函数在上为减函数的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．为了调查某厂名工人生产某种产品的能力，随机抽查了位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为，，，，频率分布直方图如图所示．工厂决定从生产高于件产品的工人中随机地选取2位工人进行宣传，则这2位工人不在同一组的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．如下图的矩形长为、宽为，在矩形内随机地撒颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，矩形中，点在轴上，点B的坐标为，且点与点在函数的图象上．若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（ ）
A． B． C． D．
12．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过的概率记为，点数之和大于的概率记为，点数之和为偶数的概率记为，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．若为互斥事件，，则______．
14．随意安排甲、乙、丙三人在3天节假日中值班，每人值班1天，甲排在乙丙之间值班的概率是_____．
15．在箱子中装有十张卡片，分别写有到的十个整数;从箱子中任取一张卡片，记下它的读数，然后放回箱子中;第二次再从箱子中任取一张卡片，记下它的读数，则是的倍数的概率为_____．
16．设是半径为的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点，连接得一弦，若事件表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，则________．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）在半径为的圆的某一直径上随机地取一点．试求过点且与该直径垂直的弦的长度不超过的概率．
18．（12分）甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：
甲商场：顾客转动如图所示的圆盘，当指针指向阴影部分(图中两个阴影部分均为扇形，且每个扇形的圆心角均为，边界忽略不计)即为中奖．
乙商场：从装有个红球、个蓝球和个白球(这些球除颜色外完全相同)的盒子中一次性摸出2球，若摸到的是2个相同颜色的球，则为中奖．
试问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?请说明理由．
19．（12分）是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国标准采用世界卫生组织设定的最宽限值，日均值在微克/立方米以下空气质量为一级；在微克/立方米微克/立方米之间空气质量为二级;在微克/立方米及其以上空气质量为超标．
某试点城市环保局从该市市区年上半年每天的监测数据中随机抽取天的数据作为样本，监测值茎叶图(十位为茎，个位为叶)如图所示，若从这天的数据中随机抽出天，
（1）求两天空气质量都不超标的概率；
（2）求至少有一天空气质量超标的概率．
20．（12分）袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为的小球个，标号为的小球个，标号为的小球个，已知从袋子中随机抽取个小球，取到标号为的小球的概率是．
（1）求的值；
（2）从袋子中不放回地随机抽取个球，记第一次取出小球标号为，第二次取出的小球标号为．
①记“”为事件，求事件的概率；
②求事件“恒成立”的概率．
21．（12分）我校对高二600名学生进行了一次知识测试，并从中抽取了部分学生的成绩(满分100分)作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图．
（1）填写频率分布表中的空格，补全频率分布直方图，并标出每个小矩形对应的纵轴数据；
（2）请你估算该年级学生成绩的中位数；
（3）如果用分层抽样的方法从样本分数在和的人中共抽取人，再从人中选人，求人分数都在的概率．
22．（12分）江西脐橙是橙类的名优品种，某果农选取一片山地种植江西脐橙，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量(单位：)，获得的所有数据按照区间，，，进行分组，得到频率分布直方图如图所示．已知样本中产量在区间上的果树株数是产量在区间上的果树株数的倍．
（1）求的值；
（2）从样本中产量在区间上的果树里随机抽取两株，求产量在区间上的果树至少有一株被抽中的概率．
2019-2020学年必修3第三章训练卷
概率（一）答 案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】D
【解析】随机摸拟法求其概率，只是对概率的估计．
2．【答案】B
【解析】两个事件不可同时发生，但也可都不发生，所以这两者互斥但不对立，
故答案为B．
3．【答案】D
【解析】由题意知事件互斥事件，记事件“抽到收到一类院校或二类院校的录取通知书的学生家长”，则，故选D．
4．【答案】B
【解析】由题意知，从这张卡片中随机抽取张卡片，取出的张卡片上的数字之和为奇数包括，，共有种结果．故选B．
5．【答案】B
【解析】由概率的意义可知每个人被抽到的可能性都为．故选B．
6．【答案】B
【解析】方程，有实根，则，
解得，的区间长度为，的区间长度为，
所以方程，有实根的概率为，故选B．
7．【答案】C
【解析】∵中间正方形小孔的面积，铜钱的面积，
∴油恰好落入孔中的概率，故选C．
8．【答案】B
【解析】函数在上为减函数时，满足条件，
∵第一次朝上一面的点数为，第二次朝上一面的点数为，
∴当取时，可取；
当取时，可取；
，
当取时，可取，
共种．
∵将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，共有种等可能发生的结果，
∴所求概率为，故选B．
9．【答案】D
【解析】试题分析：产品数量为的人数有人，产品数量为的人数有人，共人，
设来自组的五人分别为，来自组的三人分别为，
总共的事件有
共种，
不是同一个组的事件共有
共种，
故这位工人不在同一组的概率．
10．【答案】A
【解析】由已知中的矩形长为，宽为，则到矩形的面积为，
利用几何概型的概率计算公式，得阴影部分的面积约为．
11．【答案】B
【解析】由已知得，，，．
则矩形面积为，阴影部分面积为，
故该点取自阴影部分的概率等于．
12．【答案】C
【解析】列表得：
所以一共有种等可能的结果，
两个骰子点数之和不超过的有种情况，点数之和大于的有种情况，点数之和为偶数的有18种情况，
所以向上的点数之和不超过的概率，
点数之和大于的概率，点数之和为偶数的概率记为．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】因为为互斥事件，有，
所以．
14．【答案】
【解析】安排甲、乙、丙三人在3天中值班，每人值1天，甲排在乙丙之间值班，
故甲在第二天值班，所以概率为．
15．【答案】
【解析】先后两次取卡片．形成的有序数对有，共个．
因为是的倍数，这些数对有
，，共个，
故是的倍数的概率为．
16．【答案】
【解析】如图，为圆内接正三角形，当点位于劣弧上时，弦，
所以．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．【答案】．
【解析】记过点且与该直径垂直的弦的长度不超过为事件A，如图所示：
设，则在中，，即，
所以，即当时符合题意．
由几何概型的概率公式得．
故过点且与该直径垂直的弦的长度不超过的概率为．
18．【答案】见解析．
【解析】设顾客去甲商场转动圆盘，指针指向阴影部分为事件，试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为(为圆盘的半径)，阴影区域的面积为，所以在甲商场中奖的概率．
设顾客去乙商场一次摸出两个相同颜色的球为事件B，
记个红球为；个蓝球为；个白球为．
则从盒子中一次性摸出球，一切可能的结果有：
，，，，，，，，，
，，，，，共15种，
其中摸到的是个相同颜色的球有，，，共种，
由古典概型概率公式，得．
，所以在商场中奖的可能性大．
19．【答案】（1）；（2）．
【解析】由茎叶图知：6天有4天空气质量未超标，分别为，有天空气质量超标，分别为．
从天抽取天的情况：
，基本事件数为个．
（1）记“6天中抽取2天，两天空气质量都不超标”为事件A，
可能结果为，事件数为个，．
（2）记“至少有一天空气质量超标”为事件，是对立事件，
故．
20．【答案】（1）；（2）①；②．
【解析】（1）由题意可得，解得．
（2）①可设小球为，由于是不放回抽取，事件总共有：共个，
事件只有，所以．
②记“恒成立”为事件，则事件共有，
种，事件“恒成立”的概率为．
21．【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【解析】（1）填写频率分布表中的空格，如下表:
分 组
频 数
频 率
[50，60)
2
0．04
[60，70)
8
0．16
[70，80)
10
0．2
[80，90)
16
0．32
[90，100]
14
0．28
合 计
50
1．00
全频率分布直方图，如下图：
（2）设中位数为，依题意得，
解得，所以中位数约为．
（3）由题意知样本分数在有人，样本分数在有人，
用分层抽样的方法从样本分数在和的人中共抽取人，
则抽取的分数在和的人数分别为人和人．
记分数在的为，在的为．
从已抽取的人中任选两人的所有可能结果有种，分别为，
设“2人分数都在”为事件，
则事件包括共6种，
所以．
22．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）样本中产量在区间上的果树有(株)，
样本中产量在区间上的果树有(株)，
依题意，有，即．①
根据频率分布直方图可知，②
由①②得：．
（2）样本中产量在区间上的果树有0．04×5×20＝4(株)，分别记为
产量在区间上的果树有(株)，分别记为．
从这株果树中随机抽取株共有种情况：
．
其中产量在上的果树至少有一株被抽中共有9种情况
．
记“从样本中产量在区间上的果树中随机抽取株，产量在区间上的果树至少有一株被抽中”为事件，则．
2019-2020学年必修3第三章训练卷
概率（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某人将一枚硬币连掷了次，正面朝上的次数为，若用表示正面朝上这一事件，则的（ ）
A．概率为 B．频率为 C．概率为 D．频率为
2．在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多人，从这些同学中随机挑选一人表演节目．若选到女同学的概率为，则这班参加聚会的同学的人数为（ ）
A． B． C． D．
3．在张卡片中，有张风景卡和张人物卡，从中任取张，如果张全是风景卡的概率是，那么概率是的事件是（ ）
A．至少有一张人物卡 B．恰有一张风景卡
C．至多有一张人物卡 D．至少有一张风景卡
4．将一个骰子抛掷一次，设事件表示向上的一面出现的点数不超过，事件表示向上的一面出现的点数不小于，事件表示向上的一面出现奇数点，则（ ）
A．与是对立事件 B．与是互斥而非对立事件
C．与是互斥而非对立事件 D．与是对立事件
5．袋中共有个除了颜色外完全相同的球，其中有个红球、个白球和个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一红的概率等于（ ）
A． B． C． D．
6．在不透明的黑盒子里放着标有的四个小球，它们只有标号不同，随机抽一个，放回后再随机抽一个，记下两次的标号分别为，则能使不等式成立的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．某班有名学生，其中女同学名，若这个班的一个男学生甲在大街上碰到一位同班同学，假定这个班每两名学生碰面的概率相等，那么甲碰到异性同学的概率和碰到同性同学的概率分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．如图为一半径为的扇形(其中扇形中心角为)内切于直角等腰三角形，在三角形内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知实数满足，则函数的值域为的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．抛掷一枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数），记骰子朝上的面的点数为，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数)，记骰子朝上的面的点数分别为，设点的坐标为，则点到坐标原点的距离的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．电子钟一天显示的时间从到，每一时刻都由四个数字组成，
则一天中任一时刻的四个数字之和为的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．口袋内装有一些除了颜色外都相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为，摸出白球的概率是，若红球有个，则黑球有________个．
14．从正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取三点，则这三点可连成一条直线的概率是________．
15．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金生水，水生木，木生火，火生土，土生金，”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相生的概率是________．
16．已知一颗小弹珠等可能地落入如图所示的四边形内的任意位置，如果通过大量的试验发现粒子落入内的频率稳定在附近，那么点和点到直线的距离之比约为________．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）某高校举行象棋比赛，最后有名女学生和名男同学共计名同学参加决赛，现从这名同学中随机抽取名参加第一场比赛，求两人中至少有一名女同学的概率．
18．（12分）部队在经过新兵训练后，对新战士的射击水平进行测试一次，问：
（1）若中靶的概率为，则不中靶的概率为多少？
（2）若一名战士命中环的概率是，命中环的概率为，命中环的概率为，则该战士至少命中环的概率为多少？不够环的概率为多少？
19．（12分）现有编号分别为的五道不同的政治题和编号分别为的四道不同的历史题．甲同学从这七道题中一次性随机抽取两道题，每道题被抽到的概率是相等的，用符号表示事件“抽到的两道题的编号分别为，且．
（1）问有多少个基本事件，并列举出来；
（2）求甲同学所抽取的两道题的编号之和是的倍数的概率．
20．（12分）已知关于的一元二次函数．设集合和，分别从集合和中随机取一个数作为和，求函数在区间上是增函数的概率．
21．（12分）袋中有若干个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也为．
（1）试求得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率各是多少？
（2）试求得到的小球不是黑球也不是黄球的概率．
22．（12分）现有名世博会志愿者，其中志愿者通晓英语，通晓俄语，通晓韩语．从中选出通晓英语、俄语和韩语的志愿者各名，
组成一个小组．
（1）求被选中的概率；
（2）求与恰有一人被选中的概率．
2019-2020学年必修3第三章训练卷
概率（二）答 案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】B
【解析】注意频率与概率的区别，概率是固定的，频率可变但它接近概率．
2．【答案】C
【解析】设女同学有人，则该班到会的共有人，所以，得，
故该班参加聚会的同学有人．故选C．
3．【答案】A
【解析】不全是风景卡即至少有一张人物卡．
4．【答案】A
【解析】由题意知，事件包含的基本事件为向上点数为，
事件包含的基本事件为向上的点数为，
事件包含的点数为．
与是对立事件，故选A．
5．【答案】B
【解析】标记红球为，白球分别为，黑球分别为，
记事件为“取出的两球一白一红”．
则基本事件有：，，、，，，，，，，，，，，共个．
其中事件包含的基本事件有：，，共个．
根据古典概型的概率计算公式可得其概率为．
6．【答案】D
【解析】连续抽两次，会产生组不同的数对，其中，组可以满足不等式，所以概率为．
7．【答案】C
【解析】可能碰到的同学共有个，其中女同学有个，男同学有个，
所以，，故选C．
8．【答案】D
【解析】三角形的边长为，面积，
扇形面积，阴影部分的面积为，
由几何概型概率公式得黄豆落在阴影部分的概率．
9．【答案】D
【解析】若的值域为，则，解得或．
由几何概型概率公式得概率．
10．【答案】B
【解析】只有，∴的概率为．
11．【答案】C
【解析】抛掷两枚均匀的正方体骰子，会产生种结果，即可组成个点的坐标，
其中到坐标原点的距离的点有
八个，
所以概率为．
12．【答案】A
【解析】数字之和为的只有，，
九种可能，一天显示的时间总共有种，
故所求概率为．故选A．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】，，．
14．【答案】
【解析】设此正方形为，中心为，则任取三个点即去掉两个点，不同的去法有去掉共种，
三点连成一条直线只有两条对角线种，
故所求概率为．
15．【答案】
【解析】从五种不同属性物质中抽取两种共有
，，
，种情况．
其中相生的，，五种情况，
故所求的事件的概率为．
16．【答案】
【解析】由几何概型的概率计算公式得粒子落在与中的概率之比等于与的面积之比，
而与的面积之比又等于点和点到直线的距离之比，
所以点和点到直线的距离之比约为，
故点和点到直线的距离之比约为．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．【答案】．
【解析】记名女学生为，名男同学为，
从这名同学中选出名的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共15种．
其中至少有一名女同学的事件有，，，，，，，，共9种．
故所求概率．
18．【答案】（1）；（2）至少环的概率为，不够环的概率为．
【解析】（1）记中靶为事件，不中靶为事件，根据对立事件的概率性质，
有．
∴不中靶的概率为．
（2）记命中环为事件，命中环为事件，命中环为事件，至少环为事件，不够环为事件．
由事件互斥，，根据概率的基本性质，
有；
．
∴至少环的概率为，不够环的概率为．
19．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）共有个等可能的基本事件，列举如下：
，，
，，，．
（2）记“甲同学所抽取的两道题的编号之和是的倍数为事件．
由（1）可知事件共包含个基本事件，列举如下：，所以．
即甲同学所抽取的两道题的编号之和是的倍数的概率为．
20．【答案】．
【解析】∵函数的图像的对称轴为，
要使在区间上为增函数，
当且仅当且，即．
若，则；
若，则；
若，则，
∴该事件包含基本事件的个数是，总的基本事件个数为．
∴所求事件的概率为．
21．【答案】（1），，；（2）．
【解析】（1）设得到黑球的概率为，得到黄球的概率为，得到绿球的概率为．
由已知得，
解得，，．
（2）不是黑球也不是黄球的概率为．
22．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）从人中选出通晓英语、俄语和韩语志愿者各名，
所以必有人入选，所以被选中的概率为．
（2）从中选出通晓英语、俄语和韩语的志愿者各名，组成一个小组共有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件组成，
与恰有一人被选中的事件有，，，，，，，，，共种，
与恰有一人被选中的概率．
