2019-2020学年必修1第三章训练卷
函数的应用（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数的图象如图所示，函数零点的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．若函数在区间上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，不存在实数使得
B．若，存在且只存在一个实数使得
C．若，有可能存在实数使得
D．若，有可能不存在实数使得
3．下列函数中能用二分法求零点的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若函数的零点是（），则函数的零点是（ ）
A． B．和 C． D．和
5．方程的解所在区间为（ ）
A． B． C． D．
6．下列方程在区间存在实数解的是（ ）
A． B．
C． D．
7．由表格中的数据可以判定方程的一个零点所在的区间是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的元降到元，则这种手机的价格平均每次降低的百分率是（ ）
A． B． C． D．
9．若方程（，且）有两个不同实数根，则的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
10．如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了小时，沿途休息了小时，骑摩托车者用了小时，根据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息：
①骑自行车者比骑摩托车者早出发了小时，晚到小时；
②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；
③骑摩托车者在出发了小时后，追上了骑自行车者．其中正确信息的序号是（ ）
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
11．如图，为等腰直角三角形，直线与边相交且，直线截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为，点到直线的距离为，则的图象大致为四个选项中的（ ）
A． B．
C． D．
12．若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过，则可以是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．函数的零点个数为 ．
14．若函数的有两个零点和，则 ．
15．某市出租车收费标准如下：起步价为元，起步里程为（不超过按起步价付费）；超过但不超过时，超过部分按每千米元收费；超过时，超过部分按每千米元收费，另每次乘坐需付燃油附加费元．现某人乘坐一次出租车付费元，则此次出租车行驶的路程为 ．
16．已知函数，若函数有且只有1个零点，则实数的取值范围是 ．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）已知实数．
（1）若函数有两个零点，求实数的取值范围；
（2）若函数在及上各有一个零点，求实数的取值范围．
18．（12分）设函数的两个零点分别是和．
（1）求的值；
（2）当函数的定义域是时，求函数的值域．
19．（12分）某公司制定了一个激励销售人员的阶梯奖励方案：当销售利润不超过万元时，按销售利润的进行奖励；当销售利润超过万元时，若超出万元，则超出部分奖励万元．记奖金为（单位：万元），销售利润为（单位：万元）．
（1）写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型；
（2）如果业务员小江获得万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
20．（12分）定义在上的奇函数，当时，．
（1）求的解析式；
（2）若方程有五个零点，求实数的取值范围．
21．（12分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资万元时两类产品的收益分别为万元和万元（如图）．
（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；
（2）该家庭有万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
22．（12分）已知函数．
（1）判断函数的奇偶性，并给与证明；
（2）若函数与的图象有且仅有一个公共点，求实数的取值范围．
2019-2020学年必修1第三章训练卷
函数的应用（一）答 案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】D
【解析】图象与轴有个交点，则函数共有个零点．
2．【答案】C
【解析】时，存在实数，使得；
时，可能存在实数，使得．
3．【答案】C
【解析】在A中，函数无零点，
在B和D中，函数有零点，但它们在零点两侧的函数值的符号相同，
因此它们都不能用二分法来求零点．
而在C中，函数图象是连续不断的，且图象与轴有交点，并且其零点两侧的函数值异号，所以C中的函数能用二分法求其零点．
4．【答案】B
【解析】由条件知，∴，∴的零点为和，故选B．
5．【答案】C
【解析】令，
∵，，且在单调递增，
∴在存在零点，即方程的解在区间内，故选C．
6．【答案】B
【解析】的实数解为和，不属于区间；
的实数解为，不属于区间；
在区间内无解，故选B，图示如下：
7．【答案】C
【解析】设函数，由表格分析，，，
故如果零点在区间内，则，故选C．
8．【答案】D
【解析】设平均每次降低的百分率为，则，解得，
故平均每次降低的百分率为，故选D．
9．【答案】B
【解析】方程有两个不同的实数根，等价于函数与的图象有两个不同的交点，显然当时，如图①有两个不同交点；
当时，如图②有且仅有一个交点，故选B．
10．【答案】A
【解析】由图象可得：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了小时，晚到小时，正确；
②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动，正确；
③骑摩托车者在出发了小时后，追上了骑自行车者，正确．
故选A．
11．【答案】C
【解析】设，则，其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在轴正半轴．故选C．
12．【答案】A
【解析】的零点为，的零点为，的零点为，的零点为．
现在我们来估算的零点，
因为，，，
且在定义域上是单调递增函数，
所以的零点，
又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过，只有的零点适合，故选A．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】依题意可知，当时，的零点为；
当时，的零点为．
故函数有个零点．
14．【答案】
【解析】∵函数有两个零点，
∴函数与函数有两个交点，
∵的图象关于对称，∴，∴．
15．【答案】11
【解析】设乘客每次乘坐出租车需付费用为元，
由题意，得，
令，显然，解得．
16．【答案】
【解析】画出的图象，如图所示：
由函数只有个零点，结合图象，得或．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）函数有两个零点，即方程有两个不等实根，则，∴或，
即实数的取值范围为．
（2）由已知可得，即，解得，
即实数的取值范围为．
18．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）∵得两个零点是和，∴函数图象过点，，
∴，①②，得，③
③代入②，得，即，解得或．
∵当时，函数只有一个零点，不满足题意，∴，∴．
（2）由（1）得，图象的对称轴是，
又，，，
∴函数的值域是．
19．【答案】（1）见解析；（2）万元．
【解析】（1）由题意，得．
（2），．
∵，∴，∴，∴．
∴小江的销售利润是万元．
20．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）设，则，所以，
又为奇函数，即，所以．
又，所以．
（2）因为为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，
即方程有五个不相等的实数根，得的图象与轴有五个不同的交点．
又，所以的图象与轴正半轴有两个不同的交点，即方程有两个不等正根，
记两根分别为，，所以，解得，
所以所求实数的取值范围是．
21．【答案】（1）见解析；（2）投资债券类产品16万元，则投资股票类产品4万元，最大收益为万元．
【解析】（1）设，，所以，，
即，．
（2）设投资债券类产品万元，则投资股票类产品万元，
依题意，得．
令，则，
所以当，即（万元）时，收益最大，最大收益为万元．
22．【答案】（1）为奇函数，证明见解析；（2）．
【解析】（1）∵定义域为，关于原点对称，
且，∴，
∴为奇函数．
与的图象有且仅有一个公共点
方程在区间上有且仅有一个实数解．
，
∵，∴，
∴当时，；
当时，．
2019-2020学年必修1第三章训练卷
函数的应用（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数的零点落在，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如果二次函数不存在零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
5．为了求函数的零点，某同学利用计算器得到自变量和函数的部分对应值如下表所示：
则方程的近似解（精确到）可取为（ ）
A． B． C． D．
6．向高为的圆锥漏斗注入化学溶液（漏斗下方口暂时关闭），注入溶液量与溶液深度的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
7．若方程至少有一个正根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：
①如果不超过元，则不给予优惠；
②如果超过元但不超过元，则按标价给予折优惠；
③如果超过元，其元内的按第②条给予优惠，超过元的部分给予折优惠．
某人两次去购物，分别付款元和元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
9．若一次函数有一个零点，则函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知是函数的一个零点，若，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
11．已知函数有个不同的零点，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
12．若对于定义在上的函数，其图象是连续的，且存在常数，使得对任意的实数成立，则称是“-同伴函数”．
下列关于“-同伴函数”的叙述中正确的是（ ）
A．“-同伴函数”至少有一个零点
B．是一个“-同伴函数”
C．是一个“-同伴函数”
D．是唯一一个常数“-同伴函数”
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．函数的零点的个数是 ．
14．根据表格中的数据，若函数在区间（）内有一个零点，则的值为 ．
15．定义在上的偶函数，当时，是单调递增的，，则的图象与轴的交点个数是 ．
16．设定义域为的函数，若关于的方程有且只有五个不同的实根，则的取值范围是 ．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）已知函数．
（1）若函数有两个零点，求实数的取值范围；
（2）若函数在及上各有一个零点，求实数的取值范围．
18．（12分）已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若方程有三个不同实数根，求实数的取值范围．
19．（12分）已知函数．
（1）证明有且只有一个零点；
（2）求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于．
20．（12分）某企业生产，两种商品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1所示；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润和投资单位：万元）．
（1）分别将，两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
（2）已知该企业已筹集到万元资金，并将全部投入，两种产品的生产．
①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？
②问：如果你是厂长，怎样分配这万元资金，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？
21．（12分）已知函数为偶函数．
（1）求的值；
（2）若方程有且仅有一个根，求实数的取值范围．
22．（12分）地某校准备组织学生及学生家长到地进行社会实践，为便于管理，所有人员必须乘坐同一列火车；根据报名人数，若都买一等座单程火车需元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需元；已知家长与教师的人数之比为，从到的火车票价格（部分）如下表所示：
（1）参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？
（2）由于各种原因，二等座火车票单程只能买张（小于参加社会实践的总人数），其余的须买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位坐的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）与之间的函数关系式；
（3）请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买单程火车票至少要花多少钱？最多要花多少钱？
2019-2020学年必修1第三章训练卷
函数的应用（二）答 案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．【答案】B
【解析】由题意，∴，故选B．
2．【答案】D
【解析】结合函数的图象可知，该函数在的左右两侧函数值的符号均为正，故其不能用二分法求零点．
3．【答案】D
【解析】二次函数不存在零点，二次函数图象开口向上，
∴，可得，解得，故选D．
4．【答案】C
【解析】∵，且的图象，
在上连续不断，故选C．
5．【答案】B
【解析】函数的零点在区间内，，
所以方程的近似解（精确到）可取为，故选B．
6．【答案】A
【解析】注入溶液量随溶液深度的增加增长越来越快，故选A．
7．【答案】A
【解析】当时，则，符合题意；
当时，由于判别式，方程的两根满足，则方程有一个正根和一个负根，符合题意；
当时，∵抛物线的对称轴为直线，
∴只需即可，解得．
综上，实数的取值范围是，故选A．
8．【答案】C
【解析】设该顾客两次购物的商品价格分别为，元，由题意可知，，∴，故（元），
故如果他一次性购买上述两样商品应付款（元）．
9．【答案】C
【解析】由题意知，，所以．
因此．
易知函数图象的对称轴为，排除A，D．
又令，得或，故选C．
10．【答案】B
【解析】∵函数和在上均为增函数，
∴在上为增函数，
又，为的一个零点，所以．
11．【答案】D
【解析】∵函数有个不同的零点，
∴函数与函数的图象有两个不同的交点，
又∵是减函数，∴，
∴，整理得，故选D．
12．【答案】A
【解析】令，得，所以．
若，显然有实数根；
若，．
又因为函数的图象是连续不断的，所以在上必有实数根，
即“-同伴函数”至少有一个零点．故A正确．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】由与的图象可知有两个交点．
14．【答案】
【解析】由表中数据可知，，，∴，的值为．
15．【答案】
【解析】∵且在单调递增，在区间内有且只有一个零点，由偶函数的对称性知，在区间内也有一个零点，所以共有个零点．
16．【答案】
【解析】，
解得或．根据题意作出函数的简图：
由图可知，当时，有三个根，即方程只有三个根，不合题意，舍去；
当时，方程有两个根，∵方程有五个不同的实根，则有三个根，根据图象可知，．
综上可得，的取值范围是．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）函数有两个零点，即方程有两个不等实根，则，∴或，
即实数的取值范围是．
（2）由已知可得，即，解得，
即实数的取值范围是．
18．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，不成立；当时，由，
得．
综上所述，不等式的解集为．
（2）方程有三个不同实数根，等价于函数与函数的图象有三个不同的交点．由图可知，
解得或．
所以，实数的取值范围．
19．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：易知在上是增函数，
∴至多有一个零点，
由于，，∴，
∴在内有一个零点，∴在上只有一个零点．
（2）由（1）知，，取，，∴，∴的零点．
取，则，
∴，∴．
∵，∴满足题意的区间为．
20．【答案】（1）产品：，产品：；（2）①万元；②当，两种产品分别投入万元、万元时，最大利润约为万元．
【解析】（1）设，两种产品投资均为万元，，所获利润分别为万元、万元，由题意可设，，
根据图象可解得，．
（2）①由（1）得，，∴总利润万元．
②设产品投入万元，产品投入万元，该企业可获总利润万元．
则，．
令，，则．
∴当时，，此时，．
∴当，两种产品分别投入万元、万元时，可使该企业获得最大利润，
最大利润约为万元．
21．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵为偶函数，∴，
即，
∴，∴，∴．
（2）依题意知，，
整理得，∴，（*）
令，则（*）变为（**）只需其仅有一正根，
①当时，不合题意；
②当（**）式有一正一负根时，，得；
③当（**）式有两相等的正根时，，
∴，且，∴．
综上所述，的取值范围为．
22．【答案】（1）人、人与人；（2）见解析；（3）至少要花元，最多要花元．
【解析】（1）设参加社会实践的老师有人，学生有人，则家长有人，
若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座火车票，
依题意，得，解得，则，
答：参加社会实践的老师、家长与学生各有人、人与人．
（2）由（1）知所有参与人员总共有人，其中学生有人，
①当时，最经济的购票方案为：学生都买学生票共有张，名成年人买二等票火车票，名成年人买一等座火车票．
所以火车票的总费用（单程）与之间的函数关系式为，
即．
②当时，最经济的购票方案为：一部分学生买学生票共张，其余的学生与家长、老师一起购买一等座火车票共张，
所以火车票的总费用（单程）与之间的函数关系式为，
即．
（3）由（2）小题知，当时，，
由此可知，当时，的值最小，最小值为元，
当时，的值最大，最大值为元．
当时，，
由此可知，当时，的值最小，最小值为元，当时，的值最大，最大值为元．
所以可以判断按第（2）小题中的购票方案，购买单程火车票至少要花元，最多要花元．
