湘教版八年级数学上册第2章 三角形2.1 三角形教学课件（共56张）

(共56张PPT)

三角形
教学课件
湘教版八年级上册
01 新课导入
目录
03 典型例题
02 新知探究
04 拓展提高
05 课堂小结
06 作业布置
01 新课导入

新课导入
对于生活中的这些图形，同学们能找出其中三角形吗？又是怎样找出来的呢？下面我们就来学习有关三角形的数学知识。
02 新知探究

新知探究
三角形的概念

观察下面三角形的形成过程，说一说什么叫三角形?


定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
A
B
C
三角形中有几条线段?有几个角?
有三条线段，三个角.
边：线段AB，BC，CA是三角形的边，
顶点：点A，B，C是三角形的顶点，
角：∠A，∠B，∠C叫做三角形的内角，简称三角形的角.

新知探究
三角形的概念

记法：三角形ABC用符号表示________.

边的表示：三角形ABC的边AB、AC和BC可用小写字母分别表示为________.
△ABC
c，b，a

顶点A
顶点C
顶点B
c
a
b
角
角
角




新知探究
三角形的对边与角








A
B
C
在△ABC中，
AB边所对的角是：
∠A所对的边是：
∠C
BC
再说几个对边与对角的关系试试.

新知探究
小归纳

三角形应满足以下两个条件：
①位置关系：不在同一直线上；
②联接方式：首尾顺次相接.
表示方法：
三角形用符号“△”表示；记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，除此△ABC还可记作△BCA,
△CAB, △ACB等.

新知探究
练一练

(1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形？
A
B
C
D
E
5个，它们分别是△ABE,△ABC,△BEC,△BCD,△ECD.
(2)以AB为边的三角形有哪些？
△ABC、△ABE.
（3）以E为顶点的三角形有哪些？
△ ABE 、△BCE、 △CDE.

新知探究
练一练

A
B
C
D
E
（4）以∠D为角的三角形有哪些？
△BCD、 △DEC.
（5）说出△BCD的三个角和三个顶点所对的边.
△BCD的三个角是∠BCD、∠BDC、∠CBD.
顶点B所对应的边为DC，顶点C所对应的边为BD，顶点D所对应的边为BC.

新知探究
三角形的分类

两条边相等的三角形叫作等腰三角形.如右图：△ABC.
相等的两边叫作腰，另一边叫作底边.
两腰的夹角叫作顶角.如图：∠A.
腰和底边的夹角叫作底角.如图：∠B，∠C.

新知探究
三角形的分类


三边都相等的三角形叫作等边三角形（或正三角形）.
注意：等边三角形是特殊的等腰三角形——腰和底边相等的等边三角形.

新知探究
小归纳

三条边各不相等的三角形叫做不等边三角形；
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；
三条边都相等的三角形叫做等边三角形．
思考：等边三角形和等腰三角形之间有什么关系？

新知探究
小归纳

我们可以把三角形按照三边情况进行分类

三角形按边分类
不等边三角形
等腰三角形

腰和底不等的等腰三角形
等边三角形（三边都相等的三角形）

新知探究
练一练

判断：
（1）等边三角形是特殊的等腰三角形.（ ）
（2）等腰三角形的腰和底一定不相等.（ ）
（3）等边三角形是等腰三角形.（ ）
√
×
√

新知探究
三角形的三边关系

在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A B 路线，而不选择A C B路线，难道小狗也懂数学？



A
C
B

新知探究
三角形的三边关系

路线1：从A到C再到B路线走；
路线2：沿线段AB走.

思考：路线1、路线2哪条路程较短，你能说出你的根据吗？
解：路线2较短. 根据“两点之间线段最短”.
由此，你能得出什么结论？
B
C
A

新知探究
三角形的三边关系


还能得出其他的三边关系吗？
小归纳：三角形的任意两边之和大于第三边.
只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形；若不满足，则不能构成三角形.
C
A
B

新知探究
练一练

1.判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？
（1）3cm、8cm、4cm； （2）5cm、6cm、11cm；
（3）5cm、6cm、10cm.
解：（1）不能，因为3cm+4cm<8cm；
（2）不能，因为5cm+6cm=11cm；
（3）能，因为5cm+6cm>10cm.
归纳：判断三条线段是否可以组成三角形，只需说明两条较短线段之和大于第三条线段即可.

新知探究
三角形的高

同学们知道什么是三角形的高？那么又怎样画三角形的高？
定义 如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.



垂足
A
B

D
C
注意:标明垂直的记号和垂足的字母.
由三角形的高你能得到什么结论？
∠ADB= ∠ADC=90 °

新知探究
小归纳

高的叙述方法（如图）：有三种.
①AD是△ABC的高.
②AD⊥BC,垂足为D.
③点D在BC上，且∠BDA=∠CDA=90°.


A
B
C
D

新知探究
练一练

作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(　　)

方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．
D

新知探究
三角形的角平分线

如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？
A
C
B
O
∠AOC= ∠BOC
你能用同样的方法画出任意一个三角形的一个内角的平分线吗?




A
B
C
思考：三角形的角平分线与角的角平分线相同吗?
相同点是： ∠ BAD= ∠ CAD;
不同点是：前者是线段，后者是射线.

新知探究
练一练

如图，DC平分∠ACB，DE∥BC,∠AED=80°，求∠ECD的度数.
解：∵DC平分∠ACB,
∴∠ECD=∠BCD= ∠ACB.
又 DE∥BC,
∴∠AED=∠ACB=80°.
∴∠ECD=40°.

新知探究
三角形的中线

如图，如果点D是线段BC的中点，那么线段AD就称为△ABC的中线．类比三角形的高的概念，试说明什么叫三角形的中线？
A
B
D

C
定义：
如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线.
思考：由三角形的中线能得到什么结论？
BD=CD= BC

新知探究
练一练

如图,在△ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法的正误.








⌒
2
⌒
1
E
A
F
G
H
D
B
C
①AD是△ABE的角平分线( )
②BE是△ABD边AD上的中线( )
③BE是△ABC边AC上的中线( )
④CH是△ACD边AD上的高( )
×
×
×
√

新知探究
小归纳

三角形的
重要线段 概念 图形 表示法
三角形
的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 ∵AD是△ABC的高线.
∴AD⊥BC
∠ADB=∠ADC=90°.
三角形
的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边中的线段 ∵ AD是△ABC的BC上的中线.
∴ BD=CD= ?BC.
三角形的
角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 ∵.AD是△ABC的∠BAC的平分线
∴ ∠1=∠2= ? ∠BAC

新知探究
三角形内角与外角

三角形三个内角的和等于180°.












已知：△ABC.
说明：∠A+∠B+∠C=180°.
过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1.
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2.
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.


1
2

同学们还有其他的方法吗？

新知探究
想一想

多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？




A
B
C
D





E
C
A
B
1
2
3
4
5
l
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.

新知探究
练一练

如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °，∠B=75 °，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
解：由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线，得
A
B
C
D
∠BAD= ∠BAC=20 °.
在△ABD中，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°
=85°.

新知探究
思考

一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？
直角三角形、 锐角三角形 、 钝角三角形.
三角形中，三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形.
三角形的内角和等于180°，因此最多有一个直角或钝角.

新知探究
直角三角形

直角三角形可用符号“Rt△”来表示，例如直角三角形ABC可以记作“Rt△ABC”.
在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，例如AB，BC.
直角的对边叫作斜边.例如AC.
两条直角边相等的三角形叫作等腰直角三角形.
A
B
C

新知探究
三角形外角的概念

定义
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
∠ACD是△ABC的一个外角



C
B
A

D


新知探究
三角形外角的性质

因为∠ACD+ACB=180°,
∠A+∠B+ACB=180°,
所以∠ACD-∠A-∠B=0
即∠ACD=∠A+∠B
结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
∠ACD与∠A，∠B之间有什么大小关系？

新知探究
练一练

如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC
的度数.
∵ ∠BEC是△AEC的一个外角，
∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE，
∵∠A=42° ，∠ACE=18°，
∴ ∠BEC=60°.
∵ ∠BFC是△BEF的一个外角，
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF，
∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°，
∴ ∠BFC=88°.
解：






F

A


C

D

E






B





新知探究
练一练

说出下列图形中∠1和∠2的度数：
A
B
C
D
(
(
(
80 °
60 °
(
2
1
(1)
A
B
C
(
(
(
(
2
1
50 °
32 °
(2)
∠1=40 °, ∠2=140 °
∠1=18 °, ∠2=130 °
03 典型例题


例题讲解
1.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
（1） 3，4，8 （ ）
（2） 2，5，6 （ ）
（3） 5，6，10 （ ）
（4） 3，5，8 （ ）
不能
能
能
不能


例题讲解
2.若三角形的两边长分别是2和7,第三边长为奇数,求第三边的长.
解：设第三边长为x,根据三角形的三边关系，可得，
7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9，
又x为奇数，则第三边的长为7.


例题讲解
3．下列说法正确的是 （　　）
A．三角形三条高都在三角形内
B．三角形三条中线相交于一点
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可
能在三角形外
D．三角形的角平分线是射线
B


例题讲解
4.如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△AEC=3cm2，则S△ABC =______.

12


例题讲解
5.（1）如图，∠BDC是________
的外角,也是 的外角；
(2)若∠B=45 °， ∠BAE=36 °,
∠BCE=20 °,试求∠AEC的度数.





E

解：根据三角形外角的性质有
∠ADC= ∠B+ ∠BCE,
∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE.
所以∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE
=45 °+20 °+36 °=101 °.
△ADC
△ADE
A
C
D
B


例题讲解
6.如图，四边形ABCD中，点E在BC上,∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．
解：∵∠A+∠ADE=180°，
∴AB∥DE，
∴∠CED=∠B=78°．
又∵∠C=60°，
∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）
=180°-（78°+60°）
=42°．
04 拓展提高

拓展提高
1.用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么 ？
解：(1)设底边长为xcm，则腰长为2xcm,
x+2x+2x=18.
解得 x=3.6.
所以三边长分别为3.6cm、7.2cm、7.2cm.

拓展提高
(2)因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论.
①若底边长为4cm，设腰长为xcm,则有
4+2x=18.
解得 x=7.
②若腰长为4cm,设底边长为xcm，则有
2×4+x=18. 解得 x=10.
因为4+4＜10，不符合三角形两边的和大于第三边，
所以不能围成腰长是4cm的等腰三角形.
由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形.

拓展提高
2.在ΔABC中,CD是中线,已知BC－AC=5cm,ΔDBC的周长为25cm,求ΔADC的周长.
A




D
B
C
解：∵CD是△ABC的中线，
∴BD＝AD，
∴△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝25cm，
则BD+CD＝25－BC.
∴△ADC的周长＝AD＋CD＋AC
＝BD＋CD＋AC
＝25-BC＋AC
＝25－(BC－AC)＝25－5＝20cm.

拓展提高
3.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.




A
B
C
D
E

解：∵∠1是△FBE的外角,
∴∠1=∠B+ ∠E,
同理∠2=∠A+∠D.
在△CFG中,
∠C+∠1+∠2=180?,
∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E= 180?.

1
F

2
05 课堂小结


课堂小结
三角形的有关概念及三边关系

三角形的定义：不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形.
三角形按边分类
三角形的三边关系：任意两边之和
大于第三边.

不等边三角形
等腰三角形（包括等边三角形）


课堂小结
三角形重要线段

高
角平分线
中线

会把原三角形面积平分
一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差


课堂小结
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形

三角形
三个内角和为180°
↑

三角形内角和定理
三角形外角的性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
↓
06 作业布置
完成课本习题 2.1 A、B组

作业布置
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