湘教版八年级数学上册第2章三角形2.2命题与证明教学课件（共51张）

(共51张PPT)

命题与证明
教学课件
湘教版八年级上册
01 新课导入
目录
03 典型例题
02 新知探究
04 拓展提高
05 课堂小结
06 作业布置
01 新课导入

新课导入
神舟十号是中国神舟号系列飞船之一，主要由推进舱(服务舱)、返回舱、轨道舱组成．神舟十号在酒泉卫星发射中心“921工位”，于2013年6月11日17时38分02.666秒发射，由长征二号F改进型运载火箭(遥十)“神箭”发射成功．在轨飞行十五天左右，加上发射与返回，其中停留天宫一号十二天，共搭载三位航天员——聂海胜、张晓光、王亚平.6月13日与天宫一号进行对接.6月26日回归地球．
要读懂这段报道，同学们认为要知道哪些名称和术语的含义呢？这种叙述在数学我们该如何称呼它呢？
02 新知探究

新知探究
定义

对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义.
例如：“把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫作代数式”是“代数式”的定义.
“同一平面内没有公共点的两条直线叫作平行线”是“平行线”的定义.

新知探究
练一练

说出下列概念的定义：
(1)方程； (2)代数式； (3)三角形角平分线
答：（1）我们把含有未知数的等式叫做方程.
（2）把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫
作代数式.
（3）在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，
这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.

注意：
定义必须能清楚地规定出概念最本质的特征.


新知探究
命题

一般地，对某一件事情作出判断的语句（陈述句）叫做命题.
反之，如果对事情没有作出判断，就不是命题.

例如：三角形的内角和等于180?. 是命题
1月份有31天. 是命题
做一条线段等于已知线段. 不是命题
一个锐角与一个钝角互补吗？ 不是命题

新知探究
条件与结论

命题一般都可以写成“如果……,那么……”的形式. 其中“如果”引出的部分就是条件，“那么”引出的部分就是结论.
例如：如果两个角的和等于90?，那么这两个角互为余角.
“两个角的和等于90?”就是条件，“这两个角互为余角”就是结论.

新知探究
练一练

下列句子都是命题吗？
(1)熊猫没有翅膀.
如果一个动物是熊猫，那么它就没有翅膀.
(2)对顶角相等.
如果两个角是对顶角，那么它们就相等.
(3)平行于同一条直线的两条直线平行.
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

都是命题

新知探究
小归纳

命题的组成：
命题


题设
结论
已知事项
由已知事项推出的事项
两直线平行， 同位角相等


题设（条件）

结论

新知探究
练一练

下列命题的条件是什么？结论是什么？
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；
（2）如果a=b,b=c,那么a=c；
（3）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
（4）三角形的中线分三角形为面积相等的两部分.

新知探究
练一练

解:（1）条件：两个角相等，结论：它们是对顶角.
(2)条件： a=b,b=c ，结论： a=c.
(3)条件：已知三角形的一外角及与外角不相邻的两内角和，
结论：这一外角等于与该外角不相邻的两内角和.
(4)条件：三角形的中线把该三角形分成两小三角形，
结论：这两小三角形的面积相等.

新知探究
互逆命题

对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题.
例如，两直线平行，同位角相等与同位角相等，两直线平行就是互逆命题.
从上我们可以看出，只要将一个命题的条件和结论互换，就可得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题.

新知探究
练一练

写出下列命题的逆命题：
（1）若两数相等，则它们的绝对值也相等；
绝对值相等的两个数相等；
（2）如果m是整数，那么它也是有理数；
如果m是有理数，那么它也是整数；
（3）两直线平行，内错角相等；
内错角相等，两直线平行；
（4）两边相等的三角形是等腰三角形.
等腰三角形的两边相等.

新知探究
真命题与假命题

练一练：下列命题中，哪些正确，哪些错误？
（1）每一个月都有31天；
（2）如果a是有理数，那么a是整数；
（3）同位角相等；
（4）同角的补角相等.
错误
错误
错误
正确
我们把正确的命题称为真命题，把错误的命题称为假命题.

新知探究
练一练

1.下列四个命题中是真命题的有（ ）.
①同位角相等；②相等的角是对顶角；③直角三角形有一个角等于90°；④三边相等的三角形是等边三角形.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
解析：命题①：同位角相等是在两直线平行的前提下才有，所以它是错的；命题②：相等的角并不一定是对顶角；命题③和命题④均正确.
C

新知探究
证明

要判断一个命题是真命题，常常要从命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出其结论成立，从而判断这个命题为真命题，这个过程叫证明.
要判断一个命题是假命题，只需举出一个例子（反例），它符合命题的条件，但不满足命题的结论，从而就可判断这个命题为假命题.
我们通常把这种方法称为“举反例”.

新知探究
练一练

举反例说明下列命题是假命题.
（1）若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
（2）若ab=0，则a+b=0.
解：（1）如：两条直线平行时的内错角，这两个角
不是对顶角,但它们相等；
（2）如：当a=5，b=0时，ab=0，但a+b≠0.

新知探究
基本事实与定理

古希腊数学家欧几里得对数学知识作了系统的总结，把人们公认的真命题作为证明的原始依据，称这些真命题为公理.
我们把少数真命题作为基本事实.
例如，两点确定一条直线；两点之间线段最短等.

新知探究
基本事实与定理

人们可以用定义和基本事实作为推理的出发点，去判断其他命题的真假.
基本事实
同位角相等，
两直线平行.

内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行.
我们把经过证明为真的命题叫作定理.

新知探究
推论与互逆定理

定理也可以作为判断其他命题真假的依据，由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的推理.
例如：“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”称为“三角形内角和定理的推论”.
如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫作互逆定理.
例如：“内错角相等，两直线平行“和“两直线平行，内错角相等”是互逆定理.

新知探究
小归纳

定理证明的一般过程：
一些条件
基本事实或公理
+
推 理
推理的过程叫证明
证实其他命
题的正确性
经过证明的真命题叫定理

新知探究
小归纳

判断一个定理是否有逆定理，应写出这个定理的逆命题，再分析是否为真命题，若是真命题，则它就是原定理的逆定理；若逆命题是假命题，则原定理没有逆定理．

新知探究
证明的一般步骤

证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：
第一步

根据题意
画出图形
第二步
根据命题的条件和结论，结合图形

写出已知、求证
第三步

通过分析，找出证明的途径
写出证明的过程

新知探究
练一练

已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在线段BA的延长线上，射线AE平分∠DAC.
求证：AE∥BC.
证明：∵∠DAC =∠B +∠C（三角形外角定理），
∠B=∠C（已知），
∴ ∠DAC=2∠B（等式的性质）.
又∵AE平分∠DAC（已知），
∴∠DAC=2∠DAE（角平分线的定义）
∴∠DAE=∠B（等量代换）.
∴AE∥BC（同位角相等，两直线平行）

新知探究
反证法

已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.
求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.
解析：这个命题的结论是“至少有一个”，也就是说可能出现“有一个” “有两个” “有三个”这三种情况. 如果直接来证明，将很繁琐，因此，我们将从另外一个角度来证明.
证明：假设∠A，∠B，∠C 中没有一个角大于或等于60°，
即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，
则∠A+∠B+∠C＜180°.
这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，
所以假设不正确.
因此，∠A， ∠B， ∠C中至少有一个角大于或等于60°.

新知探究
反证法

像这样，先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证法.
反证法是一种间接证明的方法，其基本的思路可归结为“否定结论，导出矛盾，肯定结论”.

新知探究
小归纳

应用反证法的情形：
(1) 直接证明困难;
(2) 需分成很多类进行讨论;
(3) 结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”
的一类命题；
(4) 结论为 “唯一”类命题.

新知探究
小归纳

用反正法证明时，导出矛盾的几种可能：
（1）与原命题的条件矛盾；
（2）与假设矛盾;
（3）与定义、公理、定理、性质矛盾；
（4）与客观事实矛盾.

新知探究
练一练

命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是 (　　)
A．两个内角是直角
B．有三个内角是直角
C．至少有两个内角是直角
D．没有一个内角是直角
【解析】“最多只有一个”即为“至多一个”，反设应为“至少有两个”，故应选C.
C

新知探究
小归纳

原词语 否定词 原词语 否定词
等于 任意的
是 至少有一个
都是 至多有一个
大于 至少有n个
小于 至多有n个
对所有x成立 对任何x
不成立
不等于
不是
不都是
不大于
不小于
存在某个x不成立
某个
一个也没有
至少有两个
至多有（n-1)个
至少有（n+1)个
存在某个x成立
03 典型例题


例题讲解
1.在下列空格上填写适当的概念：
(1) 垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的 .
(2) 在数轴上，表示一个实数的点与原点的距离叫作这个实
数的　　　　.
垂直平分线
绝对值
2.指出下列语句中，哪些是命题？哪些不是？
(1)直线a⊥b;
(2)同位角都相等吗？
(3)如果∠1+∠2=90°,那么∠1与∠2互余；
(4)“0”不能做分母；
(5)如果邻补角相等，那么它们的公共边与另一边垂直.
×
×
√
√
√


例题讲解
3.下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？请说说你的理由.
（1）绝对值最小的数是0；
真命题
（2）相等的角是同位角；
假命题
（3）一个角的补角大于这个角；
假命题
（4）在同一平面内，如果直线a⊥l，b⊥l，那么a∥b.
真命题


例题讲解
4. 试写出两个命题，要求它们不仅是互逆命题，而且都是真命题.
解：两直线平行，同位角相等.

同位角相等，两直线平行.


例题讲解
5. 在括号内填上理由.
已知：如图，∠A+∠B= 180°.
求证：∠C+∠D= 180°.

证明：∵∠A+∠B= 180°（已知），
∴ AD∥BC（ ）.
∴ ∠C+∠D= 180°
（ ）.
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补


例题讲解
6．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用 (　　)
①结论相反判断，即假设　②原命题的结论
③公理、定理、定义等　　④原命题的条件
A．①④　　　　　　　　 B．①②③
C．①③④ D．②③
C


例题讲解
7.如图，四边形ABCD中，点E在BC上,∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．
解：∵∠A+∠ADE=180°，
∴AB∥DE，
∴∠CED=∠B=78°．
又∵∠C=60°，
∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）
=180°-（78°+60°）
=42°．
04 拓展提高

拓展提高
1. 将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式.
（1）两条直线相交，只有一个交点；
如果两条直线相交，那么这两条直线只有一个交点；
（2）个位数字是5的整数一定能被5整除；
如果一个整数的个位数字是5，那么这个数一定能被5整除；
（3）互为相反数的两个数之和等于0；
如果两个数是互为相反数，那么这两个数之和等于0；
（4）三角形的一个外角大于它的任何一个内角.
如果某角是三角形的外角，那么这个角大于它的任何一个内角.

拓展提高
2. 举反例说明下列命题是假命题：
（1）两个锐角的和是钝角；
直角三角形的两个锐角和不是钝角；
（2）如果数a，b的积ab＞0，那么a，b都是正数；
-1和-3的积是-1×(-3)>0，-1和-3不是正数；
（3）两条直线被第三条直线所截同位角相等.
两条相交的直线a、b被第三条直线l所截（如图），它们的同位角不相等.



a
b
l

拓展提高
3.求证：△ABC中不能有两个钝角．
证明：假设△ABC中能有两个钝角，
即∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°，
所以∠A＋∠B＋∠C＞180°，
与三角形的内角和为180°矛盾，
所以假设不成立，因此原命题正确，
即△ABC中不能有两个钝角．
05 课堂小结


课堂小结
定义与命题

定义
命题

概念：判断一个事件的句子
结构：如果……那么……
分类：互逆命题、原命题、逆命题


课堂小结
命题

证明
真命题
假命题
→
举反例
基本事实
少数
↓
逆定理
定理
推论


课堂小结
命题的证明

直接证明
反证法

（画图）写出已知、求证
写出证明过程

反设结论
推理
导出矛盾
证得结论
06 作业布置
完成课本习题 2.2 A、B组

作业布置
谢 谢 观 看