高中数学人教A版必修二教案 立体几何——三视图

立体几何专题------三视图
教学目标
1.以三视图为背景的几何体的识别问题．
2．空间几何体与三视图相结合，计算几何体的表面积和体积．
重、难点
球及有关组合体的表面积与体积．
教学过程1．一个物体的三视图的排列规则
俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样，即“长对正、高平齐、宽相等”．
2．(1)设长方体的相邻的三条棱长为a、b、c则体对角线长为 
(2)棱长为a的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即a＝2R.
(3)若球面上四点P、A、B、C构成的线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，则4R2＝a2＋b2＋c2，把有关元素“补形”成为一个球内接长方体(或其他图)
类型一　有关几何体的三视图的计算
例1　(1)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(　　)
A. 　B. C. D.
解析：基本法：由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为
V1＝××1×1×1＝，
剩余部分的体积V2＝13－＝.所以＝＝，故选D.
解法2：如图所示，
VA-A1B1D1＝VABD-A1B1D1＝V正方体 VA-A1B1D1＝VABCD-B1C1D1
方略点评：基本法是具体计算几何体的体积，解法2是根据几何体间的体积关系求得答案.
(2)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
解析：基本法：由已知可知，该几何体的直观图如图所示，其表面积为2πr2＋πr2＋4r2＋2πr2＝5πr2＋4r2.由5πr2＋4r2＝16＋20π，得r＝2.故选B.
解法2：由几何体特征可知，球的表面积，圆的面积，圆柱侧面积都含有“π”，只有圆柱的轴截面面积不含“π”，
∴即2r·2r＝16，∴r＝2，故选B.
答案：B
方略点评：?1?基本法是具体计算出几何体的表面积的表达式.解法2是根据几何体特征想出表面积表达式特征由部分几何体求r.
?2?此类题关键是将三视图恢复为直观图，并找清几何体的标量，代入公式计算.
1．如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为(　　)
A. B. C. D.
解析：基本法：该零件是两个圆柱体构成的组合体，其体积为π×22×4＋π×32×2＝34π cm3，
圆柱体毛坯的体积为π×32×6＝54π cm3，
所以切削掉部分的体积为54π－34π＝20π cm3，
所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为＝，故选C.
2．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(　　)
A．18＋36 B．54＋18 C．90 D．81
解析：先根据三视图确定几何体的形状，再求其表面积．由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×3)×2＝54＋18.故选B
类型二　球及其组合体
例2　(1)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　)
A．36π B．64π
C．144π D．256π
解析：基本法：画出球的直观图，利用锥体的体积公式求解．
如图，设球的半径为R，∵∠AOB＝90°，
∴S△AOB＝R2.
∵VO-ABC＝VC-AOB，而△AOB面积为定值，
∴当点C到平面AOB的距离最大时，VO-ABC最大，
∴当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VO-ABC最大为×R2×R＝36，
∴R＝6，∴球O的表面积为4πR2＝4π×62＝144π.故选C.
解法2：设球的半径为r, 则VO-ABC＝××r2h≤r3＝36，故r＝6.故S球＝4πr2＝144π.
方略点评：基本法是根据直观图，找到C点位置.解法2是利用VO-ABC的表达式的代数关系?≤r3?直接求得r.
(2)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的A. B．16π C．9π D.
解析：基本法：如图所示，R2＝(4－R)2＋2，
∴R2＝16－8R＋R2＋2，∴R＝，∴S表＝4πR2＝4π×＝，选A.
解法2：由几何体的直观图可看出R＞＝2(∵h＜2R)
∴S表＝4πR2＞16π，只能选A.
方略点评：?1?基本法是根据球的内接四棱锥的性质建立R的方程求R.解法2是估算球的半径的取值范围从而想到S表的范围而选答案，巧而快.
?2?有关球的组合体转化为球的轴截面中圆的性质.
1．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(　　)
表面积为(　　) A.cm3　　　　　　B.cm3
C.cm3 D.cm3
解析：基本法：设球半径为R，如图所示，B为弦的中点，OA＝OC＝R，由垂径定理，知△OBA为直角三角形．
BC＝2，BA＝4，OB＝R－2，OA＝R，
由R2＝(R－2)2＋42，得R＝5，
所以球的体积为π×53＝π(cm3)，故选A.
2．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)
A．12π B.π C．8π D．4π
解析：由正方体的体积为8可知，正方体的棱长a＝2.又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，即2R＝a(R为正方体外接球的半径)，所以R＝，故所求球的表面积S＝4πR2＝12π.
选择题、填空题的解法——范围分析法
方法诠释
对于某些计算问题，若从已知条件入手，计算量大而复杂，可以根据题设条件，分析出变量的取值范围，从而得出所求问题的大致范围，结合选项看其是否在这个范围内．